高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練2-4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡與求值

1.下列等式成立的是 ()A.(2)2=4 B.2a3=QUOTE(a>0)C.(2)0=1 D.(QUOTE)4=QUOTE(a>0)2.(2019·全國卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為QUOTE+QUOTE=(R+r)QUOTE.設(shè)α=QUOTE,由于α的值很小,因此在近似計(jì)算中QUOTE≈3α3,則r的近似值為 ()A.QUOTER B.QUOTER C.QUOTER D.QUOTER3.設(shè)2x=8y+1,9y=3x9,則x+y的值為________.

4.已知f(x)=2x+2x,若f(a)=3,則f(2a)等于________.

【解析】1.選D.對于A,(2)2=QUOTE,故A錯誤;對于B,2a3=QUOTE,故B錯誤;對于C,(2)0=1,故C錯誤;對于D,(QUOTE)4=QUOTE.2.選D.由題可知QUOTEM1+QUOTEM2=QUOTEM1,把α=QUOTE代入得:QUOTEM1+QUOTEM2=QUOTEM1,QUOTE=[QUOTEQUOTE]M1=QUOTEM1=QUOTEM1,由題中給出的QUOTE≈3α3,所以QUOTE≈3QUOTE,r3≈QUOTER3,r≈QUOTER.3.因?yàn)?x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因?yàn)?y=3x9=32y,所以x9=2y,解得x=21,y=6,所以x+y=27.答案:274.由f(a)=3得2a+2a所以(2a+2a)2=9,即22a+2所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2答案:7指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號的先算括號里的,無括號的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答.(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù),形式力求統(tǒng)一.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

【典例】1.已知0<a<1,b<1,則函數(shù)y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.函數(shù)f(x)=1e|x|的圖像大致是 ()3.若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍為________. 導(dǎo)學(xué)號

【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由0<a<1,b<1,y=ax+b,想到指數(shù)函數(shù)的圖像2由f(x)=1e|x|,想到偶函數(shù)以及函數(shù)值小于等于03由|y|=2x+1,想到討論y≥0與y<0【解析】1.選A.y=ax+b(0<a<1,b<1)的圖像如圖.由圖像可知,y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過第一象限.2.選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1e|x|是偶函數(shù),且值域是(∞,0],只有A滿足上述兩個性質(zhì).3.分別作出兩者的圖像,通過圖像的交點(diǎn)個數(shù)來判斷參數(shù)的取值范圍.曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖像如圖所示,由圖像可得若|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b應(yīng)滿足的條件是b∈[1,1].答案:[1,1]1.指數(shù)函數(shù)圖像的畫法(判斷)及應(yīng)用方法(1)畫(判斷)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖像,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),QUOTE.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像,通過平移、對稱變換得到其圖像.(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖像越高,底數(shù)越大.【秒殺絕招】T2可用排除法解決,T3可利用2x+1的取值范圍直接求解.1.不論a為何值,函數(shù)y=(a1)2xQUOTE恒過定點(diǎn),則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.y=(a1)2xQUOTE=aQUOTE2x,令2xQUOTE=0,得x=1,故函數(shù)y=(a1)2xQUOTE恒過定點(diǎn)QUOTE.2.函數(shù)y=axQUOTE(a>0,且a≠1)的圖像可能是 ()【解析】選D.若a>1,則y=axQUOTE在R上是增函數(shù),當(dāng)x=0時,y=1QUOTE∈(0,1),A,B不滿足.若0<a<1,則y=axQUOTE在R上是減函數(shù),當(dāng)x=0時,y=1QUOTE<0,C錯,D項(xiàng)滿足.3.(2020·吉安模擬)若函數(shù)y=|2x1|的圖像與直線y=b有兩個公共點(diǎn),則b的取值范圍為________.

【解析】作出曲線y=|2x1|的圖像與直線y=b如圖所示.由圖像可得b的取值范圍是(0,1).答案:(0,1)考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小、求值或解不等式、求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:指數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對稱性等知識單獨(dú)或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn).3.新趨勢:以指數(shù)函數(shù)為載體,單調(diào)性與比較大小、求參數(shù)值或范圍交匯考查,指數(shù)函數(shù)與其他基本初等函數(shù)交匯,指數(shù)函數(shù)的圖像與對稱性、交點(diǎn)個數(shù)、不等式交匯考查.學(xué)霸好方法1.比較指數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小.(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1”“0”(3)在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時,當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時,要分類討論2.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)求單調(diào)區(qū)間必須先求定義域.(2)根據(jù)底數(shù)a進(jìn)行判斷,0<a<1為減函數(shù),a>1為增函數(shù).(3)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”.比較指數(shù)式的大小【典例】已知f(x)=2x2x,a=QUOTE,b=QUOTE,則f(a),f(b)的大小關(guān)系是________.

【解析】易知f(x)=2x2x在R上為增函數(shù),又a=QUOTE=QUOTE>QUOTE=b.所以f(a)>f(b).答案:f(b)<f(a)如何比較指數(shù)式的大小?提示:首先將指數(shù)式化為同底,再考慮相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,最后得出結(jié)論.解簡單的指數(shù)方程或不等式【典例】1.已知實(shí)數(shù)a≠1,函數(shù)f(x)=QUOTE若f(1a)=f(a1),則a的值為________.

2.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE若f(a)<1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】1.當(dāng)a<1時,41a=21,解得a=QUOTE;當(dāng)a>1時,代入不成立.故a的值為QUOTE.答案:QUOTE2.當(dāng)a<0時,不等式f(a)<1可化為QUOTE7<1,即QUOTE<8,即QUOTE<QUOTE,因?yàn)?<QUOTE<1,所以a>3,所以3<a<0;當(dāng)a≥0時,不等式f(a)<1可化為QUOTE<1,所以0≤a<1.故a的取值范圍是(3,1).答案:(3,1)如何解簡單的指數(shù)方程或不等式?提示:充分利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),將指數(shù)方程或不等式轉(zhuǎn)化為一次、二次方程或不等式,即可解決.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例】1.若對于任意x∈(∞,1],都有(3m1)2x<1成立,則m的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(∞,1) D.(∞,1]2.已知函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為“局部奇函數(shù)”,若函數(shù)f(x)=4xm·2x3是定義在R上的“局部奇函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 導(dǎo)學(xué)號()A.[2,2) B.[2,+∞)C.(∞,2) D.[4,2)【解析】1.選C.因?yàn)?x>0,所以不等式(3m1)2x<1對于任意x∈(∞,1]恒成立,等價于3m1<QUOTE=QUOTE對于任意x∈(∞,1]恒成立.因?yàn)閤≤1,所以QUOTE≥QUOTE=2.所以3m1<2,解得m<1,所以m的取值范圍是(∞,1).2.選B.根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知,方程f(x)=f(x)有解即可,即4xm·2x3=(4xm·2x3),所以4x+4xm(2x+2x)6=0,化為(2x+2x)2m(2x+2x)8=0有解,令2x+2x=t(t≥2),則有t2mt8=0在[2,+∞)上有解,設(shè)g(t)=t2mt8,則g(2)≤0,得m≥2,綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2,+∞).任意x∈[2,1],都有3m1<QUOTE成立與存在x∈[2,1],使得3m1<QUOTE成立一樣嗎?提示:不一樣,前者3m1比QUOTE的最小值還要小,而后者只需小于它的最大值即可.1.(2020·西安模擬)已知f(x)=2x2x,a=QUOTE,b=QUOTE,c=log2QUOTE,則f(a),f(b),f(c)的大小關(guān)系為 ()A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a)【解析】選B.易知f(x)=2x2x在R上為增函數(shù),又a=QUOTE=QUOTE>QUOTE=b>0,c=log2QUOTE<0,則a>b>c,所以f(c)<f(b)<f(a).2.若QUOTE≤QUOTE,則函數(shù)y=2x的值域是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.[2,+∞)【解析】選B.因?yàn)镼UOTE≤QUOTE=242x,則x2+1≤42x,即x2+2x3≤0,所以3≤x≤1,所以QUOTE≤y≤2.3.若函數(shù)f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域?yàn)閇1,+∞),則f(4)與f(1)的關(guān)系是 ()A.f(4)>f(1) B.f(4)=f(1)C.f(4)<f(1) D.不能確定【解析】選A.由題意知a>1,所以f(4)=a3,f(1)=a2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知a3>a2,所以f(4)>f(1).1.已知0<a<1,x>y>1,則下列各式中正確的是 ()A.xa<ya B.ax<ayC.ax>ay D.ax>ya【解析】選B.對于A,因?yàn)镼UOTE>1,所以QUOTE=QUOTE>QUOTE=1,所以xa>ya,所以A錯誤;0<a<1,所以f(x)=ax為減函數(shù),又x>y>1,所