江蘇省南京市六校2023-2024學年高二上學期1月期末調研測試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校2023-2024學年高二上學期1月期末調研測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點到準線的距離等于（）A.12 B.9 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗由拋物線中的幾何意義為焦點到準線的距離，拋物線的.所以拋物線的焦點到準線的距離等于6.故選：C2.若直線與直線平行，則實數a的值為（

）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，解得，當時，兩直線均為（重合），經檢驗滿足題意.故選：B.3.設為等差數列的前n項和，已知，，則的值為（

）A.5 B.7 C.9 D.10〖答案〗C〖解析〗由等差數列性質可得，故，解得.故選：C4.如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方，從1開始箭頭所示的數組成一個鋸齒形數列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前n項和為Sn，則S10等于（

）A.60 B.81 C.89 D.117〖答案〗A〖解析〗設為題設中的鋸齒形數列，則，，，，而，，，，，.故選：A.5.已知函數在區(qū)間上單調遞增，則實數a的最小值為（

）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因為函數在上單調遞增，所以對恒成立，即恒成立，設，，當時，，所以，則，所以實數a的最小值為.故選：B.6.若直線與曲線有兩個交點，則實數k的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示：直線過定點，曲線與軸負半軸交于點，設直線與曲線（半圓）相切于點，若直線與曲線有兩個交點，則，而，若與半圓（圓心，半徑）相切，則圓心到直線的距離滿足，解得，即，綜上所述，實數k的取值范圍為.故選：D.7.已知橢圓與雙曲線的公共焦點是，點A是與的一個交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C.2 D.2〖答案〗A〖解析〗由橢圓定義得，，由勾股定理得，即，所以，不妨設在第一象限，為左焦點，則，設雙曲線，則，解得，又，故，故雙曲線的離心率為.故選：A8.已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據式子結構，構造函數，則，令，則，令，得，因此在單調遞增，在單調遞減，而，，因為，所以.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓O：()與圓M：，則下列說法正確的有（

）A.若，則兩圓外切B.若，直線為兩圓的公切線C.若，則兩圓的公共弦所在直線方程為D.若，則兩圓外離〖答案〗ABD〖解析〗若r＝1，兩圓心間距離為，即兩圓心間距離等于兩圓半徑之和，故A對；若r＝1，則兩圓心到距離分別為，，即兩圓心到距離分別為圓的半徑，故B對；若，則，，兩式相減得兩圓的公共弦所在直線方程為，故C錯；兩圓心間距離為，因為兩圓外離，所以，即，故D對故選：ABD10.橢圓C：的左、右焦點分別為和，為橢圓上一點，則下列說法正確的有（

）A.過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為16B.若，則的面積為C.橢圓C上存在點P，使得D.的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗由可得：對于A，的周長為：，故A錯誤；對于B，令，則，所以，所以的面積為，故B正確；對于C，若，則點在以為直徑的圓上，即圓，因為，，所以圓與橢圓有交點，所以橢圓C上存在點P，使得，故C正確；對于D，因為，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.11.已知數列滿足，則下列說法正確的有（

）A.數列的前9項和為295 B.數列為等比數列C.數列的前12項和為288 D.數列的前項和為〖答案〗BD〖解析〗A選項，①，令得，當時，②，式子①-②得，，化簡得，又滿足要求，綜上，，故，所以為等差數列，數列的前9項和為，A錯誤；B選項，，，故數列為等比數列，B正確；C選項，，當時，，當時，，其中，，的前12項和為，C錯誤；D選項，，設數列的前項和為，則，D正確.故選：BD12.已知函數，則下列說法正確的有（

）A.2是函數的極小值點 B.當時，函數取得最小值C.當時，函數存在2個零點 D.若函數有1個零點，則或〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意，所以當或時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以2是函數的極大值點，故A錯誤；對B，由A知，且當時，，且大于，則當時，函數取得最小值，故B正確；對于C，若，則令，即，設，則，所以當或時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，則，，且當，，且大于0，作出函數圖象如圖所示，則直線與函數有兩個交點，則當時，函數存在2個零點，故C正確；對于D，若函數有1個零點，即方程有一個根，則轉化為直線與的圖象只有一個交點，由圖可知，若函數有1個零點，則或，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.數列的通項公式為，若該數列的前k項之和等于7，則k＝________．〖答案〗63〖解析〗，設該數列的前k項之和為，故，所以，解得.故〖答案〗為：6314.以直線為漸近線且經過點的雙曲線的標準方程是________．〖答案〗〖解析〗由題意雙曲線以直線為漸近線，設雙曲線方程為，將點代入得，所以以直線為漸近線且經過點的雙曲線的標準方程是.故〖答案〗：.15.某個體戶計劃同時銷售A，B兩種商品，當投資額為x千元時，在銷售A，B商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個體戶準備共投入5千元銷售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投________千元．〖答案〗〖解析〗設投入經銷B商品x千元，則投入經銷A商品的資金為千元，所獲得的收益千元，則，可得，當時，可得，函數單調遞增；當時，可得，函數單調遞減；所以當時，函數取得最大值，最大值為.故〖答案〗為：16.已知橢圓，斜率不為0的直線過橢圓的左焦點F且與橢圓交于A，B兩點，點P在y軸上，若是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，則直線的斜率是________．〖答案〗〖解析〗由題意焦點，不妨設直線，將其與橢圓方程聯(lián)立得，，化簡并整理得，，，設的中點為，則，點P在y軸上，若是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，則垂直平分，且，所以的中垂線方程為，令，得，所以，又，所以，解得，所以直線的斜率是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數列的前n項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）已知，求數列的前n項和為．解：（1）①，當時，，解得，當時，②，式子①-②得，故，因為，所以，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數列，所以；（2），.18.已知函數，若曲線在處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求函數在區(qū)間上的最值．解：（1）函數，，由題意得：.解得：（2）由（1）知，，令，解得：列表如下：x(，2)2(2，e)e

0+

2e－2↘ln2↗由上表可知，函在區(qū)間[上的最大值是，最小值是.19.已知圓C的圓心在直線上，并且經過點，與直線相切．（1）求圓C的標準方程；（2）若直線l：與圓C相交于M，N兩點，且滿足，求實數k的值．在下面三個條件中任選一個，補充在上面橫線中，并解答.①②為正三角形③直線l將圓C分成的兩段弧的弧長之比為注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）因為圓心在直線上，與直線相切，故設圓心，由題意可得：＝，解得，所以圓C的標準方程為．（2）選①：由（1）和已知條件可得因為，所以，則,因為，所以，所以弦心距．所以圓心到直線的距離為＝，解得.選②：因為為正三角形，所以，所以弦心距．所以圓心到直線的距離為＝，解得選③：因為直線l將圓C分成的兩段弧的弧長之比為，所以，所以弦心距．所以圓心到直線的距離為＝，解得20.已知數列滿足，且.（1）求的通項公式；（2）已知，在數列中剔除與的公共項后余下的項按原順序構成一個新數列，求數列的前192項和．解：（1）當時，，所以；當時，，所以；當n為偶數時，；當n為奇數時，；綜上所述：（2）設的前n項和為，的前n項和為，由（1）可知，，當時，可知與的公共項為4，8，16，，共8項，所以數列的前192項和.21.已知拋物線，為拋物線C的焦點，點P為直線上任意一點，以P為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準線交于A，B兩點，過A，B分別作準線的垂線交拋物線C于點，D．且當點P的坐標是時，線段的中點是(1，)．（1）求拋物線C的方程；（2）證明：直線過定點，并求出定點的坐標．解：（1）由題得，圓P的方程為，令得：，設，則，則，化簡得：，拋物線C的方程是.（2）設，圓P的方程為，令得，設，則，設的方程為，由，消y得，則，即，又，得直線的方程，直線過定點.22.已知函數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，，求a的取值范圍．解：（1），當時，解得或.①當時，恒成立，即函數在上單調遞增；②當時，令，解得或，令，解得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，令，解得或，令，解得，即函數上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞