（湖北專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)（十五）第15講 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)配套作業(yè) 理（解析版）

專題限時集訓(xùn)(十五)[第15講圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)](時間：45分鐘)1．已知雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,5)＝1(m>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的離心率為()A．6B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(3,4)2．已知橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的離心率e＝eq\f(\r(10),5)，則m的值為()A．3B.eq\f(5\r(15),3)或eq\r(15)C.eq\r(5)D.eq\f(25,3)或33．已知雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)M到x軸的距離為()A.eq\r(3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)4．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x＝－2的距離之和等于5，則這樣的直線()A．有且僅有一條B．有且僅有兩條C．有無窮多條D．不存在5．已知A1，A2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓C上異于A1，A2的點(diǎn)P恒滿足kPA1·kPA2＝－eq\f(4,9)，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(\r(5),3)6．已知P點(diǎn)是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上的一點(diǎn)，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，tan∠PF1F2＝2，則此雙曲線的離心率等于()A.eq\r(5)B．5C．2eq\r(5)D．37．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左，右焦點(diǎn)，過F1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|的長為()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)8．已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則()A．a(chǎn)2＝13B．a(chǎn)2＝eq\f(13,2)C．b2＝2D．b2＝eq\f(1,2)9．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則該雙曲線的離心率為________．10．短軸長為eq\r(5)，離心率e＝eq\f(2,3)的橢圓的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為________．11．F是拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)，A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝6，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________．12．已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離．(1)試判斷點(diǎn)P的軌跡C的形狀，并寫出其方程；(2)是否存在過N(4，2)的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點(diǎn)N所平分？13．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為eq\r(2)＋1.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C(m，0)是線段OF上一個動點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B點(diǎn)，使|AC|＝|BC|，并說明理由．14．設(shè)直線l：y＝k(x＋1)與橢圓x2＋3y2＝a2(a>0)相交于A，B兩個不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明：a2>eq\f(3k2,1＋3k2)；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．專題限時集訓(xùn)(十五)【基礎(chǔ)演練】1．C[解析]拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，所以m2＋5＝9，解得m＝2，所以雙曲線的離心率為eq\f(3,2).2．D[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，eq\f(\r(5－m),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)，解得m＝3；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，eq\f(\r(m－5),\r(m))＝eq\f(\r(10),5)，解得m＝eq\f(25,3).3．B[解析]方法1：根據(jù)已知得點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝3，與雙曲線方程聯(lián)立消掉x得y2＝eq\f(4,3)，解得|y|＝eq\f(2\r(3),3)，即為點(diǎn)M到x軸的距離．方法2：設(shè)|eq\o(MF1,\s\up6(→))|＝m，|eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝n，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝|F1F2|2＝12，,|m－n|＝2，))得m·n＝4，由S△F1MF2＝eq\f(1,2)m·n＝eq\f(1,2)|F1F2|·d，解得d＝eq\f(2\r(3),3).故選B.4．D[解析]設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)锳，B兩點(diǎn)到直線x＝－2的距離之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5.所以x1＋x2＝1.由拋物線的定義得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而過拋物線焦點(diǎn)弦的最小值(當(dāng)弦AB⊥x軸時，是最小焦點(diǎn)弦)為4，所以不存在滿足條件的直線．【提升訓(xùn)練】5．D[解析]設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝－eq\f(4,9)，化簡得eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，可以判斷eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9)，e＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3).6．A[解析]根據(jù)eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，tan∠PF1F2＝2，可得△PF1F2為直角三角形且|PF2|＝2|PF1|，根據(jù)雙曲線定義得|PF2|－|PF1|＝2a，由此得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，根據(jù)勾股定理(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，由此得eq\f(c2,a2)＝5，即e＝eq\r(5).7．C[解析]根據(jù)橢圓定義|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，兩式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，即(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝4，而|AF1|＋|BF1|＝|AB|，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，所以3|AB|＝4，即|AB|＝eq\f(4,3).8．D[解析]因?yàn)闄E圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦點(diǎn)，所以c2＝5，a2＝b2＋5；取C2的一條漸近線l：y＝2x，設(shè)l與C1的交點(diǎn)為M，N，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(4a2＋b2)x2－a2b2＝0，則|MN|＝eq\r(1＋22)·eq\r(\f(4a2b2,4a2＋b2))，因?yàn)镃1恰好將線段AB三等分，所以|MN|＝eq\f(2a,3)，所以eq\f(a2,9)＝eq\f(5a2b2,b2＋4a2)＝eq\f(5a4－25a2,5a2－5)，a2＝eq\f(11,2)，b2＝eq\f(1,2).9.eq\r(17)[解析]因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，所以b＝4a，c2＝17a2，e＝eq\r(17).10．6[解析]由題知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝\r(5)，,\f(c,a)＝\f(2,3)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\r(5),2)，,\f(a2－b2,a2)＝\f(4,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(\r(5),2).))由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a＝4×eq\f(3,2)＝6.11.eq\f(5,2)[解析]|AF|＋|BF|＝6，由拋物線的定義即|AD|＋|BE|＝6，又線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(1,2)(|AD|＋|BE|)＝3，拋物線的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(1,2)，所以線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為eq\f(5,2).12．解：(1)因點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，所以點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x.(2)方法1：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8，,y1＋y2＝4.))①當(dāng)直線m的斜率不存在時，不合題意．②當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y－2＝k(x－4)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－2＝k（x－4），,y2＝4x，))消去y，得k2x2－(8k2－4k＋4)x＋(2－4k)2＝0，(*)∴x1＋x2＝eq\f(8k2－4k＋4,k2)＝8，解得k＝1.此時，方程(*)為x2－8x＋4＝0，其判別式大于零，∴存在滿足題設(shè)的直線m.且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.方法2：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8，,y1＋y2＝4，))易判斷直線m不可能垂直于y軸，∴設(shè)直線m的方程為x－4＝a(y－2)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4＝a（y－2），,y2＝4x，))消去x，得y2－4ay＋8a∵Δ＝16(a－1)2＋48>0，∴直線與軌跡C必相交．又y1＋y2＝4a＝4，∴a∴存在滿足題設(shè)的直線m，且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.方法3：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8，,y1＋y2＝4.))∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在軌跡C上，∴有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝4x1，①,yeq\o\al(2,2)＝4x2，②))將①－②，得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)．當(dāng)x1＝x2時，弦AB的中點(diǎn)不是N，不合題意，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝1，即直線AB的斜率k＝1，注意到點(diǎn)N在曲線C的張口內(nèi)(或：經(jīng)檢驗(yàn)，直線m與軌跡C相交)，∴存在滿足題設(shè)的直線m，且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.13．解：(1)因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a＋c＝\r(2)＋1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,c＝1.))∴b＝1，橢圓方程為：eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由(1)得F(1，0)，所以0≤m≤1，假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1)，①∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝eq\f(－2k,2k2＋1)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則Meq\f(2k2,2k2＋1)，－eq\f(k,2k2＋1)，∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，∴eq\f(\f(k,2k2＋1),m－\f(2k2,2k2＋1))·k＝－1?(1－2m)k2＝m，∴當(dāng)0≤m<eq\f(1,2)時，k＝±eq\r(\f(m,1－2m))，即存在這樣的直線l；當(dāng)eq\f(1,2)≤m≤1，k不存在，即不存在這樣的直線l.14．解：(1)證明：依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，故y＝k(x＋1)可化為x＝eq\f(1,k)y－1.將x＝eq\f(1,k)y－1代入x2＋3y2＝a2，消去x，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,