中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例說信息型一次函數(shù)應(yīng)用題

例說信息型一次函數(shù)應(yīng)用題信息型一次函數(shù)應(yīng)用問題，就是根據(jù)實際問題中所呈現(xiàn)出來的文字信息、圖形（圖象）信息、表格信息等，要求同學(xué)們正確地提取所呈現(xiàn)出來的信息，通過整理、分析、加工等手段解決的一類問題，主要考查同學(xué)們識圖讀表的能力以及處理文字信息的能力．解答這類問題的關(guān)鍵是對文字、圖形、表格等信息認真分析、合理利用，按照題意要求，解決一些實際問題，下面舉例說明這類試題的一般特點及常見的解題策略．1文字信息型所謂文字信息型問題就是實際問題中的數(shù)量關(guān)系，是以文字描述的一類問題．解答這類問題的關(guān)鍵是要讀懂文字，對文字所提供信息進行分析，去掉干擾信息，合理利用有效信息．例1某電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分鐘0.1元的價格按實際上網(wǎng)時間計費；方式B除收月租費20元外再以每分鐘0.05元的價格按實際上網(wǎng)時間計費．如何選擇收費方式能使上網(wǎng)者更合算？分析從題中所給的文字信息可以看出，兩種方式的計費都與上網(wǎng)時間有關(guān)，因此確定其上網(wǎng)時間x為自變量，其收費方式的數(shù)學(xué)模型即是一次函數(shù)，分別計算出這兩種收費方式的函數(shù)關(guān)系式，再進行比較即可．解設(shè)上網(wǎng)時間為xmin，若按方式A收費，則費用y1＝0.1x（元）；若按方式B收費，則費用y2＝0.05x＋20（元）．在同一平面直角坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象（如圖1）．根據(jù)題意，得解得所以，兩圖象交點為(400，40)．由圖象易知：當0<x<400時，有y1<y2；當x＝400時．有y1＝y(tǒng)2；當x>400時，有y1>y2．因此，當一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于400min時，選擇方式A省錢；當上網(wǎng)時間等于400min時，選擇方式A.方式B沒有區(qū)別；當上網(wǎng)時間多于400min時，選擇方式B省錢．說明本題還可以考慮直接設(shè)兩種計費的差額為y，寫出y隨上網(wǎng)時間x變化的函數(shù)關(guān)系式來解決．2表格信息型所謂表格信息問題，就是實際問題中數(shù)量關(guān)系是以表格形式描述的問題，要求同學(xué)們依據(jù)這些信息通過數(shù)據(jù)整理與分析來解決，解答這類問題的關(guān)鍵是要對表中所給數(shù)據(jù)所反映出來的信息進行合理地猜測和驗證．例2某出版社出版一種適合中學(xué)生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數(shù)不少于5000冊時投入的成本與印數(shù)間的相應(yīng)數(shù)據(jù)如下：(1)經(jīng)過對上表中數(shù)據(jù)的探究，發(fā)現(xiàn)這種讀物的投入成本y（元）是印數(shù)x（冊）的一次函數(shù)，求這個一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)如果該出版社投入成本48000元，那么能印該讀物多少冊？分析表中給出了y與x的一些對應(yīng)數(shù)據(jù)，并且已經(jīng)給出信息“發(fā)現(xiàn)這種讀物的投入y（元）是印數(shù)x（冊）的一次函數(shù)”，因此，只需選擇其中任意兩組（如前兩組）對應(yīng)量代入所設(shè)的關(guān)系式中，就可求出一次函數(shù)關(guān)系式．解(1)設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝kx＋b．根據(jù)題意，得解得所以所求函數(shù)的關(guān)系式為y＝x＋16000．(2)因為48000＝x＋16000，所以x＝12800．答：能印該讀物12800冊．說明本題看似給出了四組對應(yīng)量，其實只需要兩組就夠了，從計算的角度看，選取中間兩組參與計算，稍微簡便一些．3圖形（圖象）信息型所謂圖象信息型問題，就是實際問題中數(shù)量關(guān)系是以圖象形式來描述的問題，要求同學(xué)們依據(jù)這些給出的信息通過整理、分析、加工等手段解決的一類問題．解決這類問題的關(guān)鍵是識別圖象，善于從圖象中捕捉有效信息．例3如圖2，兩摞相同規(guī)格的飯碗整齊地疊放在桌面上，請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)信息，回答下列問題：(1)求整齊擺放在桌面上飯碗的高度y(cm)與飯碗數(shù)x（個）之間的一次函數(shù)關(guān)系式；(2)把這兩摞飯碗整齊地擺成一摞時，這摞飯碗的高度是多少？分析將圖中信息數(shù)學(xué)化，即是：當飯碗數(shù)x＝4時，高度y＝10.5cm；當飯碗數(shù)x＝7時，高度y＝15cm．解請同學(xué)們自行完成．說明諸如這類“求高度與個數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系”問題，其關(guān)鍵是對所給的圖形信息進行數(shù)學(xué)化，從中捕捉“兩組對應(yīng)量”的信息．例4某加油站五月份的一種油品的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（萬升）之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖3中所示，該加油站截止到13日調(diào)價時的銷售利潤為4萬元，截止至15日進油時的銷售利潤為5.5萬元．（銷售利潤＝（售價－成本價）×銷售量）請你根據(jù)圖象及加油站五月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題：(1)銷售量為多少時，銷售利潤為4萬元？(2)分別求出線段AB與BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(3)我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大（直接寫出答案）?分析將圖象所呈現(xiàn)的信息與所給出的“五月份銷售記錄”結(jié)合起來可得到如下信息：圖象中點0、點A.點B.點C的橫坐標與縱坐標所表示的實際意義，分別表示1日、13日、15日、31日總的銷售量與總的銷售利潤，另外，點A,B分別給出了13日、15日的總的銷售利潤，點C給出了31日的總的銷售量，OA,AB,BC三段均為線段，說明在各段中“銷量利潤與銷售量之間是一次函數(shù)關(guān)系”，為此，需要求出點A,B所對應(yīng)的總的銷售量以及點C所對應(yīng)的銷售利潤，利用“五月份的銷售記錄”不難得出．解(1)由題意知，當銷售利潤為4萬元，銷售量為4÷(5－4)＝4（萬升）．當銷售量x為4萬升時，銷售利潤為4萬元．(2)點A的坐標為(4，4)，從13日到15日利潤為5.5－4＝1.5，所以銷售量為1.5÷(5.5－4)＝1（萬升），所以點B的坐標為(5，5.5)．設(shè)線段AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，則，解得．所以線段AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝1.5x－2(4≤x≤5)．從15日到31日共銷售5萬升，利潤為1×1.5＋4×1＝5.5（萬元）．所以本月銷售該油品的利潤為5.5＋5.5＝11（萬元），則點C的坐標為(10，11)．設(shè)線段BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx＋n，則，解得．所以線段BC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)線段AB．說明本題也可以直接利用題中所給出的公式“銷售利潤＝（售價－成本價）×銷售量”來解決．對于OA段來說，其售價為5元／L，成本價為4元／L，則該段的銷售利潤與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝(5－4)x，即y＝x；對于AB段來說，其銷售價變?yōu)榱?.5元／L，而其成本價沒變，而其銷售利潤的起點為4萬元，銷售量的起點為4萬升，因此該段的銷售利潤與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝4＋(5.5－4)×（x－4），即y＝1.5x－2．這與出租車的計費有點類似；對于BC段來說，其銷售價為5.5元／升沒有改變，但其成本價變?yōu)椋◣齑娴?萬升與15日所進的4萬升）＝4.4元，其銷售利潤的起點為5.5萬元，銷售量的起點為5萬升．因此，該段的銷售利潤與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系為y