2023年中考數(shù)學(xué)考前第25講：數(shù)學(xué)文化性問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第25講：數(shù)學(xué)文化性問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)作為

一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識(shí)。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來(lái)越

多，只要我們平時(shí)注意積累和了解這方面的常識(shí)，解題時(shí)注意審題，實(shí)現(xiàn)載體與考點(diǎn)的有效

轉(zhuǎn)化，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，問(wèn)題便可迎刃而解.

此類問(wèn)題涉及到古代數(shù)學(xué)名著中關(guān)于數(shù)學(xué)計(jì)算的典例事例分析，或者典型問(wèn)題展示，也

會(huì)涉及到古代著名數(shù)學(xué)家提出的相關(guān)問(wèn)題，首先理解問(wèn)題內(nèi)容，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行解答

即可，難度一般不大。

主要類型有以科技或數(shù)學(xué)時(shí)事為題材、以數(shù)學(xué)名著為題材、以數(shù)學(xué)名人為題材.

【例題1】《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它

的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成

就.《九2x=-6章算術(shù)》中記載：“今有人共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問(wèn)

人數(shù)、雞價(jià)各幾何？"

譯文："假設(shè)有幾個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞，如果每人出九錢(qián)，那么多了十一錢(qián)；

如果每人出六錢(qián)，那么少了十六錢(qián).問(wèn)：有幾個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞？雞的價(jià)錢(qián)是多少？”

設(shè)有X個(gè)人共同買(mǎi)雞，根據(jù)題意列一元一次方程，正確的是（）

A.9x+ll=6x-16B.9x-ll=6x+16

「X-Ilx+16Cx+11χ-16

C.---------z:---------D.---=----

9696

【例題2】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一道題："今

有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及

之？”這是一道行程問(wèn)題，意思是說(shuō)：走路快的人走100步的時(shí)候，走路慢的才走了60步；

走路慢的人先走IOO步，然后走路快的人去追趕，問(wèn)走路快的人要走多少步才能追上走路慢

的人？如果走路慢的人先走100步，設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，那么,

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下面所列方程正確的是（）

λX_XTOo_X_X-IOo_X_x+100CX_x+100

-6O^IOO100-6060^100-100-60

一、選擇題：

1.秦九韶算法是中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，對(duì)于求一個(gè)〃

次多項(xiàng)式函數(shù)工（X）=即/+?！耙槐籸+…+α∣x+ao的具體函數(shù)值,運(yùn)用常規(guī)方法計(jì)算出結(jié)果最

多需要〃次加法和“?L-次乘法，而運(yùn)用秦九韶算法由內(nèi)而外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值

2

的算法至多需要”次加法和〃次乘法.對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，做一次乘法運(yùn)算所用的時(shí)間比做一

次加法運(yùn)算要長(zhǎng)得多，所以此算法極大地縮短了CPU運(yùn)算時(shí)間，因此即使在今天該算法仍

具有重要意義.運(yùn)用秦九韶算法計(jì)算7（x）=0.5∕+4χ5-χ4+3χ3-5χ當(dāng)X=3時(shí)的值時(shí)，最先

計(jì)算的是（）

A.-5×3=-15

B.0.5×3+4=5.5

C.3x33-5x3=66

D.0.5×36+4×35=l336.6

2.“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸.問(wèn)井深幾何？”

這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問(wèn)題，它的題意可以由圖獲得，則井深

為（）

ESD

A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺

3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題："今有黃金九枚，白銀一十

一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問(wèn)金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃

金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金重量相同），稱重兩袋相等,

兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13輛（袋子重量忽略不計(jì)），問(wèn)黃金、白銀每枚各重

多少兩？設(shè)每枚黃金重X輛，每枚白銀重y輛，根據(jù)題意得（）

PIX=即OQy+x=8τ+y

hθy+jr）-（Sr÷y）=13?+13=Ily

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fftχ?=1Iy網(wǎng)=IlP

C.?D.

H8,x+>,)-(10j,+j)=13KlQy+x)-(8x+y)=13

4.我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢(qián)，甜果苦

果買(mǎi)一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢(qián)，試問(wèn)甜苦果幾個(gè)，又問(wèn)各該幾個(gè)錢(qián)？若設(shè)買(mǎi)

甜果X個(gè)，買(mǎi)苦果N個(gè)，則下列關(guān)于X,y的二元一次方程組中符合題意的是(D)

f+y=999,(fc+y=1000,

?-lgx+*l000

BI1+4=999

4+尸1000,

fv+y=1000,I

CInJx+3=999

b9x+28y=999DJ

5.如圖示，若aABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足NPAC=NPBA=NPCB,則點(diǎn)P為AABC的布洛卡點(diǎn).三角

形的布洛卡點(diǎn)(BroCardPoint)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-

1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一

個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡(BrOCard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問(wèn)

題：已知在等腰直角三角形DEF中，∕EDF=9tr,若點(diǎn)Q為ADEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=I,則EQ+FQ=

A.5B.4C.3+√2D-2+72

二、填空題：

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦,

已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬、大馬各有多少匹.若設(shè)小馬有X

匹，大馬有y匹，依題意，可列方程組為.

7.《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問(wèn)牛、羊

各直金幾何？"

譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩：2頭牛、5只羊，值金8兩.問(wèn)每頭牛、只羊

各值金多少兩？"

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5x+2y=10

設(shè)每頭牛值金X兩，每只羊值金y兩，可列方程組為「

2x+5y=8

8.閱讀理解：如圖ZIl①，。。與直線”,b都相切.不論。。如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線0,6之間的

距離始終保持不變（等于。。的直徑）.我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線圖②是

利用圓的這一特性的例子.將等直徑的圓棍放在物體下面，通過(guò)圓棍滾動(dòng)，用較小的力就可

以推動(dòng)物體前進(jìn).據(jù)說(shuō)，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

3:

圖ZIl

拓展應(yīng)用：如圖8①所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖②，夾在平

行線c,"間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變.若直線c,d之間的距

離等于2cm,則萊洛三角形的周長(zhǎng)為cm.

9.2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)

的.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖Zl1—5）.如

果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為仇那么COSe的

值等于.

10.我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題："枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏

繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？"題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，

因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五

周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是一尺.

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三、解答題：

II.閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)α,b,C稱為勾股數(shù).世界上第一

次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：

a=%12-吟，

2

<b=mn,

22

c=l(m+n).

2

其中m>n>O,m,n是互質(zhì)的奇數(shù).

應(yīng)用：當(dāng)〃=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng).

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13.【閱讀教材】

寬與長(zhǎng)的比是U(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,

2

世界各國(guó)許多著名的建筑為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面我們用寬

為2的矩形紙片折疊黃金矩形.(提示：≡=2)

第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平.

第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平.

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線NB,并把N8折到圖③中所示的4。處.

第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)。折出。區(qū)使DELND,則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形.

【問(wèn)題解決】

⑴圖③中/8=_3_(保留根號(hào))；

(2)如圖③，判斷四邊形8/1。。的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)請(qǐng)寫(xiě)出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由.

【實(shí)際操作】

(4)結(jié)合圖④.請(qǐng)?jiān)诰匦蜝CQE中添加一條線段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來(lái)，

并寫(xiě)出它的長(zhǎng)和寬.

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14.閱讀以下材料：

對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(jNa加er,1550—1617年)，納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)

書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(EHer,1707—1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間

的聯(lián)系.

對(duì)數(shù)的定義：一般地，若a'=N(a>0,a≠l),那么X叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：x=ZogaN.

比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=∕og216,對(duì)數(shù)式2=∕ogs25可以轉(zhuǎn)化為52≈25.

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

Zoga(M-N)=∕ogaM+∕ogaN(a>0,a≠l,M>0,N>0)i理由如下：

設(shè)∕ogaM=m,∕ogaN=n,則M=anι,N=an,

ΛM?N=am?an=am+n,

由對(duì)數(shù)的定義得m+n=∕oga(M?N).

又:m+n=IogaM+IogaN,

?*?∕θga(MN)=∕θgaM+∕θgaN.

解決以下問(wèn)題：

⑴將指數(shù)43=64轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式；

(2)證明：IogP-=log,M-togaN(a>O,a≠l,M>0,N>0)；

N

(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算∕og32+log36—∕og34=.

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15.閱讀與計(jì)算：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

斐波那契（約1170-1250）是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為

斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）.后來(lái)人們?cè)谘芯克倪^(guò)程中，發(fā)

現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬(wàn)壽菊等）的瓣數(shù)

恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù).斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)

用.

斐波那契數(shù)列中的第n個(gè)數(shù)可以用」［（JY、尸-（＞、'力表示（其中，n”）.這是用

√522

無(wú)理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例.

任務(wù)：請(qǐng)根據(jù)以上材料，通過(guò)計(jì)算求出斐波那契數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù).

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第25講：數(shù)學(xué)文化性問(wèn)題答案解

析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)作為

一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識(shí)。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來(lái)越

多，只要我們平時(shí)注意積累和了解這方面的常識(shí)，解題時(shí)注意審題，實(shí)現(xiàn)載體與考點(diǎn)的有效

轉(zhuǎn)化，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，問(wèn)題便可迎刃而解.

此類問(wèn)題涉及到古代數(shù)學(xué)名著中關(guān)于數(shù)學(xué)計(jì)算的典例事例分析，或者典型問(wèn)題展示，也

會(huì)涉及到古代著名數(shù)學(xué)家提出的相關(guān)問(wèn)題，首先理解問(wèn)題內(nèi)容，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行解答

即可，難度一般不大。

主要類型有以科技或數(shù)學(xué)時(shí)事為題材、以數(shù)學(xué)名著為題材、以數(shù)學(xué)名人為題材.

【例題1】《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它

的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成

就.《九2x=-6章算術(shù)》中記載：“今有人共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問(wèn)

人數(shù)、雞價(jià)各幾何？"

譯文："假設(shè)有幾個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞，如果每人出九錢(qián)，那么多了十一錢(qián)；

如果每人出六錢(qián)，那么少了十六錢(qián).問(wèn)：有幾個(gè)人共同出錢(qián)買(mǎi)雞？雞的價(jià)錢(qián)是多少？”

設(shè)有X個(gè)人共同買(mǎi)雞，根據(jù)題意列一元一次方程，正確的是（）

C.-X-----I--l--=-x--+--1--6--DC.-x--+-1--1---=-x---T--6---

9696

【分析】可設(shè)有X個(gè)人共同買(mǎi)雞，等量關(guān)系為：9χ買(mǎi)雞人數(shù)-ll=6χ買(mǎi)雞人數(shù)+16,即可解

答.

【解答】解：設(shè)有X個(gè)人共同買(mǎi)雞，可得：9χ-ll=6x+16,

故選：B.

第9頁(yè)共19頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】此題考查考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)雞價(jià)得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

【例題2】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，《九章算術(shù)》方程篇中有這樣一道題："今

有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及

之？”這是一道行程問(wèn)題，意思是說(shuō)：走路快的人走IOO步的時(shí)候，走路慢的才走了60步；

走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追趕，問(wèn)走路快的人要走多少步才能追上走路慢

的人？如果走路慢的人先走100步，設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，那么,

下面所列方程正確的是()

λXXTOodXXTOoXHlOO??+100

'60?100100二6060^100-100^60

【分析】設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，根據(jù)走路快的人走100步的時(shí)候，走

路慢的才走了60步可得走路快的人與走路慢的人速度比為IOO：60,利用走路快的人追上

走路慢的人時(shí)，兩人所走的步數(shù)相等列出方程，然后根據(jù)等式的性質(zhì)變形即可求解.

【解答】解：設(shè)走路快的人要走X步才能追上走路慢的人，而此時(shí)走路慢的人走了衛(wèi)工步,

100

根據(jù)題意，得X=2興+100,

100

整理，得/=上要

10060

故選：B.

一、選擇題：

1,秦九韶算法是中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，對(duì)于求一個(gè)〃

次多項(xiàng)式函數(shù)A(X)=αwx"+""一出r+…+mx+αo的具體函數(shù)值,運(yùn)用常規(guī)方法計(jì)算出結(jié)果最

多需要〃次加法和次乘法，而運(yùn)用秦九韶算法由內(nèi)而外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值

2

的算法至多需要〃次加法和〃次乘法.對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，做一次乘法運(yùn)算所用的時(shí)間比做一

次加法運(yùn)算要長(zhǎng)得多，所以此算法極大地縮短了CPU運(yùn)算時(shí)間，因此即使在今天該算法仍

具有重要意義.運(yùn)用秦九韶算法計(jì)算/(x)=0.5χ6+4χ5-K+3χ3-5X當(dāng)χ=3時(shí)的值時(shí)，最先

計(jì)算的是()

A.-5×3=-15

B.0.5x3+4=5.5

C.3x33-5x3=66

D.0.5x36+4x35=1336.6

解析：y(x)=0.5x6÷4x5-x4÷3x3-5x=(((((0.5x÷4)χ-l)x÷3)x÷0)χ-5)x,

然后由內(nèi)向外計(jì)算，最先計(jì)算的是0.5x3+4=5.5.答案B

第10頁(yè)共19頁(yè)

2.“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸.問(wèn)井深幾何？”

這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何'’問(wèn)題，它的題意可以由圖獲得，則井深

為（）

4D

A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺

【解析】如圖，由題意，BC//DE,從而B(niǎo)FSAADE,因此西=坐，即空=_^―,

DEAD55+BD

解得80=57.5,所以井深為57.5尺.

3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題："今有黃金九枚，白銀一十

一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問(wèn)金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃

金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金重量相同），稱重兩袋相等,

兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13輛（袋子重量忽略不計(jì)），問(wèn)黃金、白銀每枚各重

多少兩？設(shè)每枚黃金重X輛，每枚白銀重y輛，根據(jù)題意得（）

ph=9rilO>?+x=8Λ+}'

klO>,+x）-（8Lr÷>>）=13Iftr+13=1Iv

rthr=1Iy產(chǎn)=[1），

k&x+y,）-（10>,+x）=13H10y+x）-（8lv+y）=13

【分析】根據(jù)甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金

重量相同），稱重兩袋相等，由此得9x=11y;兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13輛

（袋子重量忽略不計(jì)）,由此得（IOy+x）-（8×+y）=13,從而得出答案.

/=1Iy

【解析】【解答】解：依題可得:

Hl0y+.x)-(8,v+))=13

故答案為：D

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4.我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢(qián)，甜果苦

果買(mǎi)一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢(qián)，試問(wèn)甜苦果幾個(gè)，又問(wèn)各該幾個(gè)錢(qián)？若設(shè)買(mǎi)

甜果X個(gè)，買(mǎi)苦果y個(gè)，則下列關(guān)于X,y的二元一次方程組中符合題意的是(D)

x+y=999,'x+y=?000,

卜+為=999

1OOO

k+y=IOo0,

x+y=?000,J

c'[99x+28y≈999?,曲+》=999

分析：先設(shè)甜果、苦果的個(gè)數(shù)分別是X個(gè)和y個(gè)，根據(jù)共買(mǎi)了Iooo個(gè)和花去999文錢(qián)，列

出代數(shù)式，求出X,y的值即可.

解答：設(shè)甜果、苦果的個(gè)數(shù)分別是X個(gè)和y個(gè)，根據(jù)題意得：

∫z+ι∕=IOOO

I??+:y=999

fz=657

解得:I?,-313.

則甜果、苦果的個(gè)數(shù)分別是657和343.

故選C.

5.如圖示，若AABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足NPAC=/PBA=NPCB,則點(diǎn)P為AABC的布洛卡點(diǎn).三角

形的布洛卡點(diǎn)(Brocardpoint)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-

1855)于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一

個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡(BroCard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問(wèn)

題：已知在等腰直角三角形DEF中，NEDF=9(Γ,若點(diǎn)Q為aDEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=I,則EQ+FQ=

()

A.5B.4C.3+√2D?2+√2

【分析】由ADQFS∕?FQE,推出坐=坐="=下=,由此求出EQ、FQ即可解決問(wèn)題.

FQQEEF√2

【解答】解：如圖，在等腰直角三角形ADEF中，ZEDF=90°,DE=DF,/1=/2=/3,

第12頁(yè)共19頁(yè)

i

VZl+ZQEF=Z3+ZDFQ=45o,

ΛZQEF=ZDFQ,VZ2=Z3,

???△DQFs△FQE,

,DQ_FQ_DF_X

β,FQ"QE'EF"√2,

VDQ=I,

?*?FQ=√2>EQ=2,

/.EQ+FQ=2+√2>

故選D

二、填空題：

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：IOO匹馬恰好拉了IOO片瓦,

已知3匹小馬能拉1片瓦，1匹大馬能拉3片瓦，求小馬、大馬各有多少匹.若設(shè)小馬有X

匹，大馬有y匹，依題意，可列方程組為.

【分析】設(shè)小馬有X匹，大馬有y匹，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①大馬數(shù)+小馬數(shù)=IO0；②

大馬拉瓦數(shù)+小馬拉瓦數(shù)=IOo,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

fx+y=100

【解答】解：設(shè)小馬有X匹，大馬有y匹，依題意，可列方程組為IX

∣y+3y=100

x+y=100

故答案是：

?3y=100

?

7.《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問(wèn)牛、羊

各直金幾何？"

譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問(wèn)每頭牛、只羊

各值金多少兩？"

設(shè)每頭牛值金X兩，每只羊值金y兩，可列方程組為儼+2-10.

2x+5v=8

【分析】根據(jù)"假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩"，得到等量

關(guān)系，即可列出方程組.

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【解答】解：根據(jù)題意得：!5x+1尸］:

I2x+5y=8

故4.答_案.λ為,：《f5x+2'y=10.

I2x+5y=8

8.閱讀理解：如圖ZIl①，。。與直線”，b都相切.不論。。如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線”，b之間的

距離始終保持不變（等于。。的直徑）.我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線圖②是

利用圓的這一特性的例子.將等直徑的圓棍放在物體下面，通過(guò)圓棍滾動(dòng)，用較小的力就可

以推動(dòng)物體前進(jìn).據(jù)說(shuō)，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

Φ②

圖ZIl

拓展應(yīng)用：如圖8①所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖②，夾在平

行線。，"間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變.若直線c,d之間的距

離等于2cm,則萊洛三角形的周長(zhǎng)為cm.

【解析】由題意知，萊洛三角形周長(zhǎng)是半徑為2,圓心角是60。的三段弧長(zhǎng)的和，他出χ3

180

=2π.

9.2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)

的.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖Z11-5）.如

果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為仇那么cos0的

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∣Z)

3

ΛC

?；大正方形的面積為25,小正方形的面積為1,

二大正方形邊長(zhǎng)/0=5,小正方形的邊長(zhǎng)EF=I.設(shè)DE=AF=x,

2

在如E中，由勾股定理，得∕E+DE2=J4D2,

Λ（x+l）2+x2=52,解得Xi=-4（舍去），X2=3,

AF4

即￡>E=3,AE—3+1—4,.'.cosθ-cosZDAE-----=-.

AD5

10.我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題："枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏

繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？"題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，

因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五

周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是25尺.

【分析】這種立體圖形求最短路徑問(wèn)題，可以展開(kāi)成為平面內(nèi)的問(wèn)題解決，展開(kāi)后可轉(zhuǎn)化下

圖，所以是個(gè)直角三角形求斜邊的問(wèn)題，根據(jù)勾股定理可求出.

【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長(zhǎng)20尺，

另一條直角邊長(zhǎng)5x3=15（尺），

因此葛藤長(zhǎng)為面耳"亨=25（尺）.

三、解答題:

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11.閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)。，h9Cf稱為勾股數(shù).世界上第一

次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：

a=1(m2-吟，

2

?b=mn,

22

c=l(m+n).

2

其中m>">0,m,〃是互質(zhì)的奇數(shù).

應(yīng)用：當(dāng)〃=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng).

解：當(dāng)〃=1時(shí)，a=—?—D①,b=m②,C=；(加2+1)③，

因?yàn)橹苯侨切斡幸贿呴L(zhǎng)為5,分情況如下：

情況1：當(dāng)〃=5時(shí)，即:(〃於一1)=5,解得〃7=±∕Π(舍去)；

情況2：當(dāng)6=5時(shí)，即加=5,再將它分別代入①③得〃=；X(52—1)=12,c=∣×(52+1)=13；

情況3：當(dāng)c=5時(shí)，即;(〃/+1)=5,m=±39因〃?>0,所以M=3,把加=3分別代入①②

得α=^x(32-1)=4,b=3.

綜上所述，直角三角形的另兩邊長(zhǎng)為12,13或3,4.

12..我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五

頭，下有九十四足.問(wèn)雞兔各幾何.”其大意是：“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一

共有35個(gè)頭，94條腿.問(wèn)籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程(組)解應(yīng)用題的方法求出

問(wèn)題的解.

解：設(shè)雞有X只，兔有歹只.

依題意，得卜+'=35，解得『=23,

2x+4y=94,Iy=I2.

答：雞有23只，兔有12只.

13.【閱讀教材】

寬與長(zhǎng)的比是嚀與約為0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，

世界各國(guó)許多著名的建筑為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面我們用寬

為2的矩形紙片折疊黃金矩形.(提示：腦V=2)

第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平.

第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平.

第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線/18,并把/8折到圖③中所示的/。處.

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第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)。折出OE,使。NZ),則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形.

【問(wèn)題解決】

(1)圖③中/8=_遭_(保留根號(hào))；

(2)如圖③，判斷四邊形從的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)請(qǐng)寫(xiě)出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由.

【實(shí)際操作】

(4)結(jié)合圖④.請(qǐng)?jiān)诰匦?。E中添加一條線段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來(lái),

并寫(xiě)出它的長(zhǎng)和寬.

解：(2)四邊形氏4。0是菱形.

理由如下：；四邊形/C8/是矩形，.?.8Q/∕1O,...NE°∕=∕0∕D,由折疊得：/BAQ=

404,∕8=4O,.?.4=.?.8Q=48,.?.80=NO,?.?80∕^%O,四邊形

是平行四邊形????∕5=∕Z),.?.四邊形8/0。是菱形；

MFTBE_______]

NACD

⑶圖④中的黃金矩形有矩形8C0E、矩形"NOE,以黃金矩形BCDE為例，理由如下：YZO

=√5,AN=AC=?,.,.CD=AD-AC=?[5-?,又Y8C=2,故矩形BCOE

BC2

是黃金矩形；

(4)如圖，在矩形8COE上添加線段GH,使四邊形GCD，為正方形，此時(shí)四邊形8G//E為

所要作的黃金矩形長(zhǎng)GH=4—1,寬BG=3一石,成=Ai=或二1

GH√5-