不定積分練習(xí)題 帶答案

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)不定積分練習(xí)題題目一求下列函數(shù)的不定積分:$$\\int(4x^3+5x^2-2x+7)dx$$解：將每一項(xiàng)依次求積分并相加，即可求得不定積分。$$\\begin{align*}\\int(4x^3+5x^2-2x+7)dx&=\\int4x^3dx+\\int5x^2dx-\\int2xdx+\\int7dx\\\\&=\\frac{4}{4}x^4+\\frac{5}{3}x^3-\\frac{2}{2}x^2+7x+C\\\\&=x^4+\\frac{5}{3}x^3-x^2+7x+C\\end{align*}$$因此，不定積分為$x^4+\\frac{5}{3}x^3-x^2+7x+C$。其中，C為常數(shù)。題目二求下列函數(shù)的不定積分:$$\\int(2e^x+3\\sin(x)+4\\cos(x))dx$$解：對(duì)于指數(shù)函數(shù)ex，積分后仍然是指數(shù)函數(shù)，即$\\inte^xdx=e^x+C$對(duì)于正弦函數(shù)$\\sin(x)$，積分后變?yōu)樨?fù)余弦函數(shù)，即$\\int\\sin(x)dx=-\\cos(x)+C$。對(duì)于余弦函數(shù)$\\cos(x)$，積分后變?yōu)檎液瘮?shù)，即$\\int\\cos(x)dx=\\sin(x)+C$。因此，根據(jù)線性性質(zhì)，可將不定積分分解為每一項(xiàng)的積分并相加。$$\\begin{align*}\\int(2e^x+3\\sin(x)+4\\cos(x))dx&=\\int2e^xdx+\\int3\\sin(x)dx+\\int4\\cos(x)dx\\\\&=2\\inte^xdx+3\\int\\sin(x)dx+4\\int\\cos(x)dx\\\\&=2e^x-3\\cos(x)+4\\sin(x)+C\\end{align*}$$因此，不定積分為$2e^x-3\\cos(x)+4\\sin(x)+C$。其中，C為常數(shù)。題目三求下列函數(shù)的不定積分:$$\\int\\frac{1}{x}dx$$解：對(duì)于x的倒數(shù)$\\frac{1}{x}$，可以使用換元法進(jìn)行求解。令$u=\\ln|x|$，則$du=\\frac{1}{x}dx$。將原式代入u和du$$\\int\\frac{1}{x}dx=\\intdu=u+C$$將u換回x：$$u+C=\\ln|x|+C$$因此，不定積分為$\\ln|x|+C$。其中，C為常數(shù)。題目四求下列函數(shù)的不定積分:$$\\int\\frac{x^2+1}{x}dx$$解：首先將被積函數(shù)展開：$$\\frac{x^2+1}{x}=\\frac{x^2}{x}+\\frac{1}{x}=x+\\frac{1}{x}$$由于x和$\\frac{1}{x}$都是已知的函數(shù)的不定積分，可以通過分解成兩個(gè)子問題進(jìn)行求解。對(duì)于x，不定積分為$\\intxdx=\\frac{1}{2}x^2+C_1$，其中C1對(duì)于$\\frac{1}{x}$，不定積分為$\\int\\frac{1}{x}dx=\\ln|x|+C_2$，其中C2因此，不定積分為$\\int(\\frac{x^2}{x}+\\frac{1}{x})dx=\\frac{1}{2}x^2+\\ln|x|+C$。其中，C為常數(shù)?？偨Y(jié)本文介紹了四道不定積分的練習(xí)題，并給出了逐題的解答過程和最終結(jié)果。通過這些練習(xí)題的求解，我們可以更加熟悉不定積