2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練7　等和線、奔馳定理、三角形四心

微專題7等和線、奔馳定理、三角形四心

1知識(shí)拓展

L平面向量等和線定理

平面內(nèi)一組基底蘇，麗及任一向量?>,OP=λOA+μσB[λ,;∕∈R),若點(diǎn)P在直

線AB上或在平行于A3的直線上，且Z=U=讖I=符，則A+〃=-定值)，

反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為平面向量基本定理系

數(shù)的等和線.

(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=?,

(2)當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，?∈(0,1)；

(3)當(dāng)直線AB在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，?∈(1,+∞);

(4)當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=O.

2.三角形“四心”

(1)點(diǎn)O是4P1P2P3的重心=OPl+。。2+。尸3=0=5曠2。戶3=5q0戶3=5*022=；

S?PiP2P3i

⑵點(diǎn)O是APιP2P3的垂心=辦I?辦2=辦2?辦3=辦3?辦ι=>tanPi?OPi+tan

P2?OP2+tanP3?OP3=OQS△尸2平：S?oPl:S△尸]θP2=tanPi:

tanP2:tanP3（Z?P]P2P3不是直角三角形）；

（3）點(diǎn)。是4P∣P2P3的內(nèi)心辦1+分辦2+cδ>3=00S△尸2OP3：S?P3OP↑:S?

PIoP2=4：匕：c（其中α,b,C是4P∣P2P3的三邊，分別對(duì)應(yīng)角Pi,Pi,P3）;

⑷點(diǎn)O是MP2P3的外心Ql辦11=|分21=I辦31Q辦ISinNP2OP3+辦2

0p0p=sn

SinNPloP3+OP3sinNP1OP2=OOSAP2%:ΔP3P??△∣2*2Pι：sin

2P2：sin2P3.

3.奔馳定理

如圖，已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，則有SMBC?成+SΔPAC?PB+S^AB?PC=0.

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和

“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.

題型聚焦分類突破研題型求突破

類型一利用等和線求基底系數(shù)和的值

I核心歸納

利用等和線求基底系數(shù)和的步驟

(1)確定值為1的等和線；

(2)平移該線，作出滿足條件的等和線；

(3)從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算滿足條件的等和線的值.

I2

例1設(shè)。,E分別是aABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AO=1A8,BE=￥C若斯=小病

+λ2AC(λl,22為實(shí)數(shù))，則為十丸2的值為.

答案2

解析法一(通法)由題意作圖如圖.

A

工

BEC

V??Λ5C中，DE=Dfi+BE=?+∣BC=?+?ΛC-AB)=-?+?=

λlAβ+λ2AC,

…1.2

??力=_不Z2=β.

故2l+22=g?

法二(利用等和線)如圖，過點(diǎn)A作能=方及連接OH

A

設(shè)AF與BC的延長線交于點(diǎn)H,易知AF=F”，

：.AF=^AH,

因此2l+%2=g.

訓(xùn)練1如圖，在平行四邊形ABCr）中，AC,8。相交于點(diǎn)O,E為線段A。的中

點(diǎn).若防=力麗+〃防（九∕z∈R）,則％+〃等于（）

A.lB.,

C.∣D.^

答案B

解析法一（通法）

:E為線段AO的中點(diǎn)，

.,_1_1

??Λ2'〃4'

則2+ju=∣.

法二（等和線法）如圖，A。為值是1的等和線，過E作Ao的平行線，設(shè)

=k,

rτ,1,∣BEI

人IJ仁麗

由圖易知，黑4故選B.

?DΓ?4

類型二利用等和線求基底系數(shù)和的最值(范圍)

I核心歸納

求解步驟：

(1)確定值為1的等和線；

(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的允許存在的區(qū)域，分析何處取得最大值和

最小值；

(3)從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)方面，計(jì)算最大值和最小值.

例2給定兩個(gè)長度為1的平面向量次和彷，它們的夾角為竽，如圖所示，點(diǎn)C

在以。為圓心的弧檢上運(yùn)動(dòng)，若δb=xδλ+y為(x,y∈R),則x+y的最大值是

答案2

解析法一(通法)

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，宓所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A(l,O),fif-?

設(shè)NAoC=α(α∈0,都

則C(COSα,sina),

由沆=%5X+y訪,

1

cosa=χ-^^y,

得q

._√3

sina—2)'，

所以X=CoSα+苧Sinα,y=ɑ,

所以x+y=cosα÷√3sina=2sin(α+g,

r「八2兀

又1∈0,—,

TT

所以當(dāng)α=3時(shí)，x+y取得最大值2.

法二（等和線法）如圖所示，設(shè)無+y=K則直線AB為攵=1的等和線，所有與直

線AB平行的直線中，切線離圓心。最遠(yuǎn)，即此時(shí)攵取得最大值，

易知OELAB,

VOA=1,NAoB=與,

???I則仁需=*2

2

即x+y的最大值為2.

訓(xùn)練2如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，點(diǎn)。在OA的延長線上，且

OD=2,點(diǎn)、P是ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），設(shè)?>=2δt+〃歷，則λ+μ的取

值范圍為.

3-

答案I,

解析法一(通法)

分別以邊。4,OC所在直線為X,y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則沆'=((),1),OD

=(2,0),

設(shè)P(x,y),OP=(x,y),

.?.(x,y)=λ(0,1)+//(2,0)=(2〃,λ),

x=2〃，

.??A+∕∕=]x+y,

設(shè)z=1x+y,則y=-]x+z,

所以Z是直線y=~γ+z在y軸上的截距，

3

由圖可知，當(dāng)該直線過點(diǎn)8(1,1)時(shí)，它在y軸上的截距最大，為東

「「

和直線Co重合時(shí)，在y軸上的截距最小，為1,故z∈[l,131，即2+〃∈[1,531.

法二(等和線法)如圖，設(shè)=A則直線8為Z=I的等和線，所有與直線

Co平行的直線中，過點(diǎn)B的直線離點(diǎn)。最遠(yuǎn)，此時(shí)Z的值最大，且此時(shí)左=㈱，

3

易知Af)=OE=I,故此時(shí)

顯然上的最小值為1,

「31

即2+∕∕∈1,J.

類型三利用奔馳定理解決與三角形面積比有關(guān)的問題

I核心歸納

已知產(chǎn)為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且工a+y而+z無=O(X,y,z∈R,xyz≠O,x+y+z≠O),

則有

(I)SAPBC:S^PAC:SΔΛ4B=∣Λ∣:Iyl：|z|；

SAPBC、

⑵SAABIx+y+z,

5Δ∕?CySΛPABZ

,

SΛABC~x+y+z'SΛABC~x+y+z

例3（1）（2022?青島模擬）已知。是AABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足為+2浦+“Q灣=0,且

驍4則實(shí)數(shù)m等于（）

A.2B.3C.4D.5

(2)已知點(diǎn)A,B,C,P在同一平面內(nèi)，PQ=^PA,QR=^QB,RP=^RC,則

SΛABC:S*BC等于()

A.14：3B.19:4

C.24：5D.29：6

答案(I)C(2)B

解析（1）法一（通法）延長Co到點(diǎn)M,使得血=—￡虎,

因?yàn)殄?2萬?+"H無=0,

所以一拳無=（?λ+］為,

A1O『

即?λl=/

所以A,B,M三點(diǎn)共線，

又因?yàn)榉磁c南反向共線,

所以黑年

dI、,SzsAOBIOMm4

5ΔABC?CM?機(jī)+37'

解得"2=4.

法二（奔馳定理法）由奔馳定理得S^BθcOA+S^Aθc?OB+S^AθβOC=d,

又用+2浦+〃?灰?=0,

'SdBOC:SMOC:S^AOB=1：2：m.

.SAAOBm4）

??sZ^=l+2+/^7^m=4?

（2）法一（通法）'：QR=\QB,

.?.以尸。為底的APQE與APQB的高之比為1:3,

:?SMQB=3SAPQR,SpSAPRB=2S&PQR,

Y以BR為底的aPBR與aBCR的高之比為1:3,

.*.SABCR=3S"BR=6SΛPQR,

?*?SAPBC=2SAPBR=4SAPQR,

同理可得S>ACP=S>ABQ=6S^PQR,

SMBCSΔBCR+5ΔACP+SMBQ+S^PQR

所以^---=--------------------------

MPBC、叢PBC

19S^PQR19

4S?QR4.

法二（奔馳定理法）由球=最無，

得際_的4麗一用），

整理得成=；而+|而=；麗+|成，

由價(jià)=;病,得能=;（無一曲），

整理得而=—T的，

整理得4項(xiàng)+6而+9無=0,

.?SΛABC：SΔPBC=(4+6+9)：4=19：4.

訓(xùn)練3設(shè)。在AABC的內(nèi)部，。為AB的中點(diǎn)，且次+西+2無=0,則AABC

的面積與AAOC的面積的比值為.

答案4

解析法一（通法）

:D為AB的中點(diǎn)，則歷游+0方）,

又宓+為+2灰'=0,

：.OD=-OC,.?.。為CO的中點(diǎn).

又?.?。為AB的中點(diǎn)，

??S∕sAOC~~~^S^ADCWSZ?4BC,

SAABC

則=4.

SMOC

法二（奔馳定理法）

因?yàn)樘K+<?+2沆=0,

根據(jù)奔馳定理，

S∕?ABC1+1+2

所以或嬴=-i—=4?

類型四與三角形四心有關(guān)的問題

I核心歸納

所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心.當(dāng)三角形是正三角

形時(shí)，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心.解題時(shí)，要結(jié)合題目已知條件，充

分利用各“心”的性質(zhì)，巧妙轉(zhuǎn)化.

例4過4ABC重心。的直線PQ交AC于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)Q,危=聲，QC=

nBC,則〃的值為.

3

答案5

解析如圖，因?yàn)?。是重?

所以昂+油+反=0,

即為=一為一元

PC=^AC^OC-OP=^OC-OA)^>OP=^OA+^OC

=-^OB-^OC.

QC=nBC^OC-OQ=n{OC-OB^OQ

=nOB+(1—Ii)OC,

因?yàn)槭?，O,。三點(diǎn)共線，

所以〃曲，

31

所以一4(l-")=-]",

3

解得〃=1.

訓(xùn)練4在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,重心為G,若αGA+

、行

?GB+-γcGC=0,則A=.

答案I

解析由G是AABC的重心，

則氏：=一第一函

因此“游+。彷+坐c(一游一訪)=Q一坐,扇+卜—坐C)成=0,

又GA,GB不共線，

所以a—乎C=〃一半c=0,

即a=b=^~c,

b2+c2-a1?/?

由余弦定理得

cosA=Ibc~2,

JT

又°<A<兀，^a=6

高分訓(xùn)練對(duì)接高考重落實(shí)迎高考

一'基本技能練

^Cb=CA+λCB,則

1.在AABC中，已知。是AB邊上一點(diǎn),?f2=()

A.∣

β?3

C.-?D.-|

答案A

12

解析由于。是AB邊上一點(diǎn)，所以A,B,。三點(diǎn)共線，所以g+A=l,λ=y

2.在AABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn)，AN=λAB+μAC,則％

+μ的值為（）

A,^Bq

C.∣D,1

答案A

解析法一（通法）設(shè)血=f的,

法二（等和線法）如圖，BC為值是1的等和線，過N作BC的平行線，設(shè)2+〃

=k,

則-國

?AM?

由圖易知，國=今故選A.

1AM∣

A

3.（2022?武漢質(zhì)檢）已知AABC,平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足宓+2坐'+公，則

WiIAqJ

動(dòng)點(diǎn)P過AABC的（）

A.內(nèi)心B.外心

C.重心D.垂心

答案A

解析?.?迪，尤分別表示AkAC方向上的單位向量，

的IACI

AC

???乖+必的方向與NBAC的角平分線一致.

的?AC?

'JOP=OA+λ

IlABIIAClJ

→fλβ,AC^

.?AP=λ——+——，

Wl∣AC∣J

.?.A＞的方向與NBAC的角平分線一致，

.?.一定通過AABC的內(nèi)心.

4.已知AABC和點(diǎn)M滿足必+說?+沆=0,若存在實(shí)數(shù)〃2,使得筋+危=總拓

則m等于（）

A.2B.3

C.4D.5

答案B

解析'：MA+MB+MC=O,.?.M為aABC的重心，

A

c∕4?c

BDC

連接AM并延長交BC于。，則。為BC的中點(diǎn)，

.?AM=^AD,又疝=/(屈+位)

ΛAM=∣(ΛB+ΛC),

即防+危=3贏，

.?m=3.

5.若"為aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，K∣ft4∣2+∣?=∣Pθ∣2+∣C?∣2=∣^C∣2+∣AB∣2,則

點(diǎn)H是aABC的()

A.重心B.外心

C.內(nèi)心D.垂心

答案D

解析V∣i?4∣2-∣≡∣2

=?CA?2-?BC?1,

Λ(tt4+WBA=(C?+CB)?BA,

即(兩+證一球1—兩屈=0,

即配+而海=0,

：.ABLHC,

同理屐:，崩，BCLHA,

故”是AABC的垂心.

6.4A3C的外接圓的圓心為。，半徑為1,若蘇+磊+?t=0,jl∣OA∣=∣AB∣,則

G4?CB^≠()

A弓B.yβ

C.3D.2√3

答案C

解析'.,OA+AB+OC=0,

：.OB=-OC,

故點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，且AABC是直角三角形，又AABC的外接圓半徑為1,

∣(7A∣=IABI,

ΛBC=2,AB=I,CA=木,NBe4=30。，

ΛCA?CB=√3×2×^=3.

7.點(diǎn)。為aABC內(nèi)一點(diǎn)，若SAAoB：SBOC:SΔAOC=4：3：2,^M)=λAB+μAC,

則實(shí)數(shù)％和〃的值分別為()

2442

--B-

9一

A.夕9

9,

C?g,9D.g,§

答案A

解析根據(jù)奔馳定理，得

30A+20S+40C=0,

即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0,

24

--

99

8.（2022?廣州調(diào)研）已知。是aABC內(nèi)一點(diǎn)，?λ+為+δt=0,Ak危=2且NBAC

=60°,則△（：）BC的面積為（）

A.坐B.y∣3

C坐D.∣

答案A

解析VOA+δB+δC=0,

.?.O是aABC的重心，

?"?SAOBC=qSAABC,

VABAC=2,

Λ∣AB∣∣AqcosZBAC=2,

VZBAC=60o,Λ?AB??AC?=4,

又SAABC=/筋∣∣R∣sinN3AC=√5,

.?.AOBC的面積為乎.

9.若M是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足就+反：=4麗，則AABM與AACM的面積之比

為（）

A.gB.∣

e?D.2

答案A

解析法一（通法）設(shè)AC的中點(diǎn)為。，

則成+病=2由），于是2位）=4麗/,

從而屈）=2前，

即M為8。的中點(diǎn)，

sS^ABMSΛAMD1

,

^SΔACM2SΔAMD2

法二（奔馳定理法）由通+反1=4腦,

得Q/+2麗f+口/=0,

SMBM1

根據(jù)奔馳定理得,

S^ACM2

10.在平行四邊形ABCQ中，AC與8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是線段0。的中點(diǎn)，AE

的延長線與CO交于點(diǎn)尸，若危=G,BD=b,且由s*7=2α+曲則2+〃等于（）

DF

C.|D,^

答案A

解析（等和線法）如圖，作廢;=防，延長CD與AG相交于G,因?yàn)镃凡G

三點(diǎn)共線，所以2+〃=1.故選A.

GDFC

AB

11.如圖所示，在aABC中，D,尸分別是A3,AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)0,

設(shè)屈=",AC=b,向量Ab=Z1。+油，則2+〃的值為.

A

2

答案3

解析如圖，BC為值是1的等和線，過O作5C的平行線，

A

設(shè)2+〃=%,則Z=

由題設(shè)知。為aABC重心，^=I

12.設(shè)。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且A?=∣?+%h則S：S.OBC=.

3

答案W

解析由Ad=；油+鋁可得一12宓=4（為一醇）+3（元一方），

整理得5OA+4OB+3OC=Q,

.._3

??S^iOAB?SGOBC5.

二'創(chuàng)新拓展練

13.如圖，ABCD與AABC的面積之比為2,點(diǎn)P是區(qū)域ABC。內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊

界），且分=2筋+〃而，則2+〃的取值范圍為（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,3]D.[0,4]

答案C

解析（等和線法）設(shè)/+〃=%,則直線BC為左=1的等和線，所有與B