高考數學理北師大版一輪復習測評3-2利用導數研究函數的單調性

核心素養(yǎng)測評十四利用導數研究函數的單調性(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數y=f(x)=x3x2+QUOTE的圖像大致是 ()【解析】選A.因為f(0)=QUOTE,所以排除C;因為f′(x)=3x22x,令f′(x)>0,所以x∈(∞,0)或x∈QUOTE時f(x)單調遞增,令f′(x)<0,所以x∈QUOTE時f(x)單調遞減,排除B,D.2.下列函數中,在(0,+∞)上為增函數的是 ()A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3x D.f(x)=x+lnx【解析】選B.對于A,f(x)=sin2x的單調遞增區(qū)間是QUOTE(k∈Z);對于B,f′(x)=ex(x+1),當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,所以函數f(x)=xex在(0,+∞)上為增函數;對于C,f′(x)=3x21,令f′(x)>0,得x>QUOTE或x<QUOTE,所以函數f(x)=x3x在QUOTE和QUOTE上單調遞增;對于D,f′(x)=1+QUOTE=QUOTE,令f′(x)>0,得0<x<1,所以函數f(x)=x+lnx在區(qū)間(0,1)上單調遞增.3.函數f(x)=cosxx在(0,π)上的單調性是 ()A.先增后減 B.先減后增C.單調遞增 D.單調遞減【解析】選D.易知f′(x)=sinx1,x∈(0,π),則f′(x)<0,所以f(x)=cosxx在(0,π)上遞減.4.若函數f(x)=QUOTE在(0,+∞)上單調遞增,那么實數a的取值范圍是()A.a≥0 B.a>0C.a≤0 D.a<0【解析】選A.因為f(x)=QUOTE=axQUOTE,所以f′(x)=a+QUOTE.因為函數f(x)=QUOTE在(0,+∞)上單調遞增,所以f′(x)=a+QUOTE≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒為零,即a≥QUOTE在(0,+∞)上恒成立且不恒為零,所以a≥0.【變式備選】若函數f(x)=kex+x在(0,+∞)上單調遞減,則k的范圍為 ()A.k≥1 B.k≤1C.k≥1 D.k≤1【解析】選B.f′(x)=kex+1.由題意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,即k≤QUOTE,x∈(0,+∞).當x∈(0,+∞)時,QUOTE∈(1,0),所以k≤1.5.(2020·南昌模擬)已知函數f(x+1)是偶函數,當x∈(1,+∞)時,函數f(x)=sinxx,設a=fQUOTE,b=f(3),c=f(0),則a,b,c的大小關系為 導學號()A.b<a<c B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c【解析】選A.因為函數f(x+1)是偶函數,所以函數f(x)的圖像關于直線x=1對稱,所以a=fQUOTE=fQUOTE,b=f(3),c=f(0)=f(2).又因為當x∈(1,+∞)時,函數f(x)=sinxx,所以當x∈(1,+∞)時,f′(x)=cosx1≤0,即f(x)=sinxx在(1,+∞)上為減函數,所以b<a<c.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知函數y=f(x)(x∈R)的圖像如圖所示,則不等式xf′(x)≥0的解集為________________.

【解析】由f(x)圖像特征可得,在QUOTE和[2,+∞)上f′(x)≥0,在QUOTE上f′(x)<0,所以xf′(x)≥0等價于QUOTE或QUOTE解得0≤x≤QUOTE或x≥2,所以xf′(x)≥0的解集為QUOTE∪[2,+∞).答案:QUOTE∪[2,+∞)【變式備選】設函數y=f(x),x∈[a,b]其導函數的圖像如圖所示,則函數y=f(x)的單調遞減區(qū)間是________________.

【解析】因為函數y=f(x)的減區(qū)間是導函數小于零的區(qū)間,由題干圖知函數y=f(x)的單調遞減區(qū)間是(x2,x4).答案:(x2,x4)7.已知函數f(x)=ax+lnx,則當a<0時,f(x)的單調遞增區(qū)間是________________,單調遞減區(qū)間是________________.

【解析】由已知得f(x)的定義域為(0,+∞).當a<0時,因為f′(x)=a+QUOTE=QUOTE,所以當x>QUOTE時,f′(x)<0,當0<x<QUOTE時,f′(x)>0,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為QUOTE,單調遞減區(qū)間為QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.(2020·西安模擬)已知函數f(x)=ax3+bx2的圖像經過點M(1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直.若函數f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,則m的取值范圍是________________. 導學號

【解析】因為f(x)=ax3+bx2的圖像經過點M(1,4),所以a+b=4,①f′(x)=3ax2+2bx,則f′(1)=3a+2b.由題意可得f′(1)·QUOTE=1,即3a+2b=9.②聯立①②兩式解得a=1,b=3,所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤2.因為函數f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,所以[m,m+1]?(∞,2]∪[0,+∞),所以m≥0或m+1≤2,即m≥0或m≤3.答案:(∞,3]∪[0,+∞)三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖像過點P(1,2),且在點P處的切線斜率為8.(1)求a,b的值.(2)求函數f(x)的單調區(qū)間.【解析】(1)因為函數f(x)的圖像過點P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.①又函數圖像在點P處的切線斜率為8,所以f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②解由①②組成的方程組,可得a=4,b=3.(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x3,令f′(x)>0,可得x<3或x>QUOTE;令f′(x)<0,可得3<x<QUOTE.所以函數f(x)的單調增區(qū)間為(∞,3),QUOTE,單調減區(qū)間為QUOTE.10.設函數f(x)=xex+QUOTEax2+ax(a∈R).討論函數f(x)的單調性. 導學號【解析】f′(x)=ex+xex+ax+a=(x+1)(ex+a),①當a≥0時,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得x<1,所以f(x)在(∞,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.②當QUOTE<a<0時,由f′(x)>0得x<ln(a)或x>1,由f′(x)<0得ln(a)<x<1,所以f(x)在(ln(a),1)上遞減,在(∞,ln(a)),(1,+∞)上遞增.③當a=QUOTE時,f′(x)≥0,所以f(x)在R上遞增.④當a<QUOTE時,由f′(x)>0得x<1或x>ln(a),由f′(x)<0得1<x<ln(a),所以f(x)在(1,ln(a))上遞減,在(∞,1),(ln(a),+∞)上遞增.(15分鐘35分)1.(5分)(2020·南昌模擬)已知函數f(x)=xsinx,x1,x2∈QUOTE,且f(x1)<f(x2),那么 ()A.x1x2>0 B.x1+x2>0C.QUOTEQUOTE>0 D.QUOTEQUOTE<0【解析】選D.由f(x)=xsinx,得f′(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),當x∈QUOTE時,f′(x)>0,即f(x)在QUOTE上是增加的,又因為f(x)=xsin(x)=xsinx=f(x),所以f(x)為偶函數,所以當f(x1)<f(x2)時,有f(|x1|)<f(|x2|),所以|x1|<|x2|,QUOTEQUOTE<0.2.(5分)(2020·東莞模擬)已知函數f(x)=e|x|ax2,對任意x1<0,x2<0,且x1≠x2,都有(x2x1)(f(x2)f(x1))<0,則實數a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意可知函數f(x)是(∞,0)上的單調遞減函數,且當x<0時,f(x)=exax2,f′(x)=QUOTE2ax=QUOTE≤0,可得:2axex+1≥0,即a≤QUOTE恒成立,令g(x)=xex(x<0),則g′(x)=ex(x+1),據此可得函數g(x)在區(qū)間(∞,1)上單調遞減,在區(qū)間(1,0)上單調遞增,函數g(x)的最小值為g(1)=QUOTE,則QUOTE=QUOTE,故實數a的取值范圍是QUOTE.3.(5分)已知y=f(x)是定義在R上的函數,且f(2)=5,對任意的x都有f′(x)<QUOTE,則f(x)<QUOTEx+4的解集是________________.

【解題指南】構造函數F(x)=f(x)QUOTEx4,則F′(x)<0,故而F(x)為減函數,且F(2)=0,從而得出F(x)<0的解集,即f(x)<QUOTEx+4的解集.【解析】設F(x)=f(x)QUOTEx4,則F′(x)=f′(x)QUOTE<0,所以F(x)是減函數,因為F(2)=f(2)5=0,所以當x>2時,F(x)<0,即f(x)<QUOTEx+4,當x<2時,F(x)>0,即f(x)>QUOTEx+4.答案:(2,+∞)【變式備選】函數f(x)的定義域為R,f(1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為________________.

【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)2x4>0,設F(x)=f(x)2x4,則F′(x)=f′(x)2,因為f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上單調遞增,而F(1)=f(1)2×(1)4=2+24=0,故不等式f(x)2x4>0等價于F(x)>F(1),所以x>1.答案:(1,+∞)4.(10分)已知函數f(x)=x3ax1. 導學號(1)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數,求a的取值范圍.(2)若f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數,求a的取值范圍.(3)若f(x)的單調遞減區(qū)間為(1,1),求a的值.【解析】(1)因為f′(x)=3x2a,且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數,所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范圍是(∞,3].(2)由題意得f′(x)=3x2a≤0在(1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(1,1)上恒成立.因為1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3,即當a的取值范圍是[3,+∞)時,f(x)在(1,1)上為減函數.(3)由題意知a>0.因為f(x)=x3ax1,所以f′(x)=3x2a.由f′(x)=0,得x=±QUOTE,因為f(x)在區(qū)間(1,1)上單調遞減,所以QUOTE=1,即a=3.5.(10分)已知函數f(x)=QUOTEx2+(a+1)x+2ln(x1). 導學號(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與直線2xy+1=0平行,求出這條切線的方程.(2)討論函數f(x)的單調區(qū)間.【解析】(1)f′(x)=ax+a+1+QUOTE,得切線斜率為k=f′(2)=3a+3,據題設,k=2,所以a=QUOTE,故有f(2)=QUOTE,所以切線方程為yf(2)=2(x2),即6x3y10=0.(2)f′(x)=ax+a+1+QUOTE=QUOTE=QUOTE(x>1).當a=0時,f′(x)=QUOTE,由于x>1,所以f′(x)=QUOTE>0,可知函數f(x)在定義區(qū)間(1,+∞)上單調遞增,當a≠0時,f′(x)=QUOTE.若a>0,則QUOTE<1,可知當x>1時,有f′(x)>0,函數f(x)在定義區(qū)間(1,+∞)上單調遞增,若a<0,則QUOTE>1,得當x∈QUOTE時,f′(x)>0;當x∈QUOTE時,f′(x)<0.所以,函數f(x)在區(qū)間QUOTE上單調遞增,在區(qū)間QUOTE上單調遞減.綜上,當a≥0時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+∞);當a<0時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間為QUOTE