中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破訓(xùn)練專題17 二次函數(shù)中幾何存在性的問題（重點(diǎn)突圍）(學(xué)生版)

專題17二次函數(shù)中幾何存在性的問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問題】 1【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問題】 8【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問題】 16【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問題】 23【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問題】 33【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問題】 42【直擊中考】【考向一二次函數(shù)中構(gòu)成等腰三角形存在性問題】例題：（2022秋·青海西寧·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)(3)在坐標(biāo)軸是否存在一點(diǎn)．使得是等腰三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西商洛·九年級?？计谀┤鐖D，已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若為拋物線上一點(diǎn)，連接，是否存在以為底的等腰？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·廣西南寧·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及這個最小周長；(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考向二二次函數(shù)中構(gòu)成直角三角形存在性問題】例題：（2022秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸為直線，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)求出點(diǎn)A點(diǎn)、點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是對稱軸與軸的交點(diǎn)，直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式；(2)連接、，判斷是什么特殊三角形，并說明理由；(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使為以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．3．（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，連接．點(diǎn)P是線段下方拋物線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交于M，交x軸于N．(1)求該拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②連接，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考向三二次函數(shù)中構(gòu)成三角形相似存在性問題】例題：（2022秋·廣西百色·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，和坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：是直角三角形；(3)若點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線的表達(dá)式為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在直線上存在一點(diǎn)P，使的值最小，求此最小值；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2023秋·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線相交于點(diǎn)C，與拋物線對稱軸DF交于點(diǎn)E，．(1)求該拋物線解析式；(2)在對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、E、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長度最大時，求P點(diǎn)坐標(biāo)與的最大值．【考向四二次函數(shù)中構(gòu)成矩形存在性問題】例題：（2023秋·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求線段長的最大值(3)如圖②，若點(diǎn)是拋物線上另一動點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)，且以為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．(1)求直線的解析式；(2)如圖，直線上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，求線段的最大值；(3)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．（2023秋·廣東江門·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其對稱軸為，(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)Q，連接，求面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點(diǎn)Q，得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線的對稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考向五二次函數(shù)中構(gòu)成菱形存在性問題】例題：（2022秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市廣全學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖：已知直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接、，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在直線上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P使得以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時，直接寫n的取值范圍；(3)連接，點(diǎn)Q是直線上不與A、B重合的點(diǎn)，若，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(4)在x軸上有一動點(diǎn)H，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、H、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【考向六二次函數(shù)中構(gòu)成正方形存在性問題】例題：（2022秋·遼寧撫順·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1)求直線及拋物線的解析式；(2)C為拋物線上的一點(diǎn)，的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)P在拋物線上，Q在直線上，M在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以A，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖南長沙·九年級?？计谀┤鐖D，拋物線與x軸交于，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E，P為拋物線的對稱軸上的動點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)最小時，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且M在x軸上方，N為平面內(nèi)一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，M，N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2022春·江蘇鹽城·九年級