專題12空間直線平面的平行（知識梳理精講）

專題12空間直線、平面的平行知識點一直線與直線的平面例1、（2022下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)線與線的位置關(guān)系，結(jié)合充要條件的定義即可求解.【詳解】解：若，又，則，故充分性成立，反之，若，又，則，故必要性成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.例2、（2022·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點或所在棱的中點，則A、B、C、D四點共面的圖形（填上所有正確答案的序號）．【答案】①③④【分析】四點共面主要通過證明兩線平行說明，本題利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性進(jìn)行說明，證明平行時絕不能憑直觀感覺或無理論依據(jù)．圖①：證明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；圖③：證明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；圖④：證明GH∥EF，AC∥EF，BD∥GH，可得BD∥AC．【詳解】圖①：取GD的中點F，連結(jié)BF、EF，∵B、F均為相應(yīng)邊的中點，則：∥又∵∥，則∥即ABFE為平行四邊形∴AB∥EF同理:CD∥EF則AB∥CD即A、B、C、D四點共面，圖①正確；圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；圖③：連結(jié)AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE為平行四邊形∴BD∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點，則AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四點共面，圖③正確；圖④：連結(jié)AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH為平行四邊形，則GH∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點，則AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四點共面，圖④正確．故答案為：①③④．例3、（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，A，B分別為圓、圓上的點，若，則異面直線，所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】做平行線，將所求的異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的直線夾角，構(gòu)造三角形即可求解.【詳解】如上圖，過點A做平面的垂線，垂足為D，即AD是母線，連接DB，平面，，所以四邊形是平行四邊形，，與的所成的角就是或其補(bǔ)角；由題意可知AB=2，AD=1，在中，，在等腰中，由余弦定理，，由于異面直線的夾角范圍是，故取的補(bǔ)角，故選：B.1．（2017·高一課時練習(xí)）若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB與不平行 D．OB與不一定平行【答案】D【分析】畫出圖形，當(dāng)滿足題目中的條件時，出現(xiàn)的情況有哪些，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1時，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1是不一定平行．故選：D．2．（2021·高一課時練習(xí)）如圖是正方體的表面展開圖，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點，則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為.【答案】平行【分析】將正方體的表面展開圖還原構(gòu)造成正方體，取AB，AA1的中點Q，P，連接EP，F(xiàn)Q，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根據(jù)PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.【詳解】由題意，將正方體的表面展開圖還原構(gòu)造成正方體，如圖所示:分別取AB，AA1的中點Q，P，連接EP，F(xiàn)Q，PQ，A1B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得EF∥PQ，又因為點Q，P，H，G分別是AB，AA1，A1B1，BB1的中點，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.故答案為：平行3．（2023下·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，E是的中點，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點，中點，連接，可得為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理求解即可得答案.【詳解】如圖，取中點，中點，連接在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，則因為分別為中點，所以又可得，則四邊形為平行四邊形所以，則為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角由平面，平面，可得，所以，在中，，，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得所以異面直線與所成的角的余弦值.故選：B.知識點二直線與平面平行的性質(zhì)定理與判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b例4、（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，，，，，點在線段上，且，為線段的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線線平行得到線面平行，進(jìn)而得到面面平行，由面面平行的性質(zhì)證明出線面平行；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而得到，由勾股定理求出各邊長，并利用余弦定理和面積公式求出各個面的面積，求出表面積.【詳解】（1）由已知可得，又平面，平面，平面．且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．又，且，平面，平面平面．又平面，平面．（2）在中，，，，由余弦定理可得，，．∵為線段的中點．∴，，由勾股定理得，，由余弦定理得，故，則，又，，，故三棱錐的表面積為．例5、（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，E是的中點.(1)求證：平面；(2)設(shè)正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證，再用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）利用等體積法，求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.例6、（2023上·河北承德·高三校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點．(1)證明：平面；(2)若平面經(jīng)過點，且與棱交于點．請作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．【答案】(1)證明見解析(2)圖見解析，【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，即可根據(jù)線面平行的判定求證，（2）根據(jù)平行線可得共面，即可根據(jù)相似求解.【詳解】（1）連接，則為的中點，因為為的中點，所以．又平面平面，所以平面．（2）如圖，過作直線與平行，則，故共面．延長與交于點，連接，與的交點即為點．因為底面是正方形，是的中點，所以，且，因為是的中點，所以，則，所以．例7、（2023上·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谥校┮阎比庵ㄈ鐖D所示），底面是邊長為2的正三角形，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用錐體體積公式求解.【詳解】（1）

連接交與O，則為的中點，連接，則,因為平面，平面，所以平面.（2）由（1）可得，平面，所以.知識點三直線與平面垂直的性質(zhì)定理與判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形ABCD為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形ABFE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線．求證：平面平面ADE．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線線平行可得線面平行即可求證面面平行.【詳解】在圓柱中，，平面，平面，故平面；連接，因為等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，，故，則為正三角形，故，則，平面，平面，故平面；又平面，故平面平面．例9、（2023下·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知點是正方形所在平面外一點，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若中點為，求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點，連接，，根據(jù)題意得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，然后利用線面平行的判定即可證明；（2）根據(jù)題意，利用中位線定理得到，利用線面平行的判定得到平面，再利用面面平行進(jìn)行證明.【詳解】（1）取的中點，連接，，因為是的中點，所以且，又是的中點，是正方形，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為為的中點，是的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.例10、（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）如圖，已知棱長為6的正方體中，點P在線段AB上運(yùn)動.(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)36【分析】（1）先根據(jù)線面平行的判定定理證明平面，平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（2）先說明點到平面的距離等于，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1）因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因為平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離等于，則.例11、（2023下·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱中，分別在棱上，，．(1)證明：平面∥平面；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，再利用面面平行的判定定理證明；（2）法一：取的中點，連接，過點作，垂足為，則平面，從而的長度為點到平面的距離，然后利用等面積法，由求解；法二：取的中點，連接，利用等體積法，由，即求解.【詳解】（1）證明：因為，所以．又，所以．又平面平面，所以平面．因為，所以．又平面平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）解：法一：如圖，取的中點，連接，因為，所以．又平面平面，所以．因為平面，所以平面．又平面，所以平面平面．過點作，垂足為，則平面，所以的長度為點到平面的距離．在中，，所以，即點到平面的距離為．法二：因為平面平面，所以，所以．如圖，取的中點，連接，因為，所以，所以，所以的面積．設(shè)點到平面的距離為，由，得，所以，即點到平面的距離為．例12、（2023下·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，，且，，分別是，的中點