2023-2024學(xué)年河北省高二年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在等差數(shù)列｛4“｝中，a2+ai=?0,則％=()

A.5B.6C.8D.9

2.已知/(x0)=3,如的值是()

A.3B.1C.2D.-

2

3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.B.(Iog3X)=-J--

X)XXln3

C.(5，=5'Iog5eD.COSX)=-2XSinX

①/(x)在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù)；

②χ=-l是/(χ)的極小值點(diǎn)；

③/(X)在區(qū)間［-1,2］上是增函數(shù)，在區(qū)間［2,4］上是減函數(shù);

④X=I不是/(X)的極大值點(diǎn).

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

π則廣(

5.已知函數(shù)/(X)=XCosx-Sinx+-,的值為()

2

A.-B.--C.-ID.-π

22

6.若直線y=x-2α與曲線N=XlnX-X相切，則。二()

A.?c

B.e?1D.e2

e

%+3'v,X≤0

7.若函數(shù)/(X)=13，Z在其定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)。的最小

?-x-4x+a9x>0

值為()

A.4B.5C.6D.7

8.已知/(x)=e*,g(x)=24.若f(x∣)=g(x2),d=∣X2F|，則"的最小值為()

11

l-ln2

-一

B.l-ln24e

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

3

9.可能把直線y=]X+"i作為切線的曲線是()

A.y=--B.V=COSx

X

C.y=?nxD.y=e”

10.已知直線V=米-2與拋物線χ2=4y相切，貝M=()

A.√2B.-√2C.-2D.2

11.已知函數(shù)/(x)=XIn(I+x),則()

A./(x)在(O,+s)單調(diào)遞增

B./(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.曲線y=∕(x)在點(diǎn)(OJ(O))處切線的斜率為0

D./(x)是偶函數(shù)

12.如下圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三

角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第N層

有個(gè)球，從上往下"層球的總數(shù)為S,,,則()

A.S?=20B.aιl+l-aιl=n

C.SLS.T=誓2,"≥21111200

D.-----1-------1-------F…4--------=

6f∣Q)%6rIOOToI

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線/(x)=3sinx+4χ2+5在點(diǎn)(OJ(O))處切線的斜率為.

14.若函數(shù)/(x)=χ3+w,+χ+2023在R上無極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

15.已知等比數(shù)列應(yīng)｝為遞減數(shù)列，且di，2(α,,+αz)=5α川,則數(shù)列｛七｝的通

項(xiàng)公式見=.

16.已知函數(shù)/(x)=；/—2x+e-其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若

/(2α-3)+∕(√)≤0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為d,等比數(shù)列他,｝公比為9,已知％="=1也=64,g=2d.

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)記C11=α2π.l+b2n,求數(shù)列｛q,｝的前"項(xiàng)和Sn.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=-g/+V+(〃/T)X,其中機(jī)>0.

⑴當(dāng)M=I時(shí)，求/(x)在區(qū)間卜3,2]上的最大值與最小值；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

19.已知函數(shù)/(x)=x+±,g(x)=2x+α.

4「1-

⑴求函數(shù)/(χ)=χ+?在-,I上的值域；

X_N

⑵若"e；』，切e[l,3],使得/您)*區(qū))，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.在數(shù)列｛《,｝中，q=l,對(duì)V〃eN*,"J-(〃+1)凡="("+1).

⑴求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式；

,1

(2)若“=/證明數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S,<l.

Ma“7

21.已知數(shù)列｛見｝滿足α,,=2%τ+2,α∣=2,"≥2,"WN'.

⑴求證：數(shù)列｛4+2｝為等比數(shù)列;

(2)設(shè)”=log2(απ+2),求數(shù)列也(a?+2)｝的前n項(xiàng)和Tn.

22.已知函數(shù)/(x)=?nx+ax2-3x(a∈R).

⑴若函數(shù)/(x)在點(diǎn)(Ij⑴)處的切線方程為歹=-2,求〃值；

(2)若α=l,對(duì)于任意占戶2e[l,l°]，當(dāng)時(shí),，不等式/(x∣)-于(％)>“(”")恒成

X\X2

立，求實(shí)數(shù)〃？的取值范圍.

1.A

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出?5的值.

【詳解】由題意，"eN?,

在等差數(shù)列｛4｝中，%+4=10,

Λa2+?=2α5=10,解得：a5=5,

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定

∕(?+2^)-∕(?)-2../(x+2Δr)-∕(x)

義lim002

.IlIll-Illil=§/'(%)=2

?XTo3?x3AYTO2?x

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，(X-B)=1+*,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，(log?%)=一，，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，(5，)'=5'In5,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，(X2cosx)=-2xcosx-χ2sinx，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

4.D

【分析】由導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象，可判斷/(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性與極值，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐

一判斷可得答案.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象可知，當(dāng)-2<x<-l時(shí)/'(x)<0,

當(dāng)-ICX<2時(shí)f'(x)>0,當(dāng)2<x<4時(shí)/'(x)<0,當(dāng)4<x<5時(shí)/'(x)>0,

所以/(X)在區(qū)間［-2,-1］上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；

在區(qū)間［T2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞減，［4,5］上單調(diào)遞增,

在X=-I和x=4處取得極小值，X=2處取得極大值，故②③④正確；

故選：D.

5.B

【分析】求導(dǎo)后，代入X=5即可.

【詳解】：/'(X)=COSX-XSinX-CoSX=-XSinX,.'.∕,^-∣-^=-ysin^?=-?,

故選：B.

6.C

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入直線V=x-2a求解即可.

【詳解】因?yàn)閥=χlnχ-χ,所以y'=lnx,

令V=InX=1,解得x=e,

將X=e代入y=xlnx-x得：y=0,

所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(e,0),代入N=X-2α得：

e-2α=0,解得α=^∣.

故選：C.

7.C

【分析】先根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷出在(-∞,o］上/(x)有唯一實(shí)數(shù)根，于是x>0時(shí)，/O)無

解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷X>O時(shí)，/V)有最小值，只需最小值大于零即可.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)y=3、在(-8,0］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x≤0時(shí)，則/(x)=x+3*在(-8,0］上單調(diào)遞增，

2

/(O)=1>O,∕(-1)=--<O,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，/(X)在(-∞,0］存在唯一零點(diǎn)，

則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=%3-4x+α無零點(diǎn)

x>0時(shí)，∕,(X)=X2-4,

令/心)>0,貝∣Jχ>2,/'(x)<0時(shí)，則0<x<2;

/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+s)上單調(diào)遞增,

于是x>0時(shí)，/O)有最小值/(2)

依題意，〃2)="竽>0,解得α>g,所以最小整數(shù)為6

故選：C

8.A

【分析】令∕α)=g(w)=左>0,則々-再=f一19,構(gòu)造函數(shù)g(A)="-InN左>0)，

通過求導(dǎo)，分析單調(diào)性求出最值，即可求得d的最小值.

【詳解】令/(x,)=g(x2)=&>0,則芭=InA,&=?，所以工2一項(xiàng)=ITn發(fā)

令g(k)=+TnM左>0),則g'(")=3-(=?^

當(dāng)O<A<√Σ時(shí)，g'(%)<0;當(dāng)√∑<k時(shí)，g")>0;

所以g(4)在(0,&)上單調(diào)遞減，在(6+8)上單調(diào)遞增，

則g(AL=g(0)=g^>O

所以“=H-M=Ig(A),上詈，則d的最小值為上詈

故選：A

9.ACD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】因?yàn)橹本€>=》+加的斜率心全

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閥=-L則y=L

XX

令二=：，解得x=±",故A正確；

%1223

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镹=COSX,則∕=-sinx,

又因?yàn)?SinX∈[fl],則方程-SinX=M>1無解，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閥=Inx,則_/=1，

X

132

令人==，解得X=:,故C正確；

X23

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閥=e，，則j∕=e',

令e*=：3,解得X=In3=,故D正確；

22

故選：ACD.

10.AB

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€丁=米-2與拋物線/="相切，

2

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(4,%),因?yàn)閽佄锞€χ2=4y,所以y=Z,

4

所以y=/所以①,

由切點(diǎn)(x°,%l)在直線y=h-2與拋物線χ2=4y上，

所以y-且%吟，所以為_2=予②，

由①②可得：4=子或卜=；啦

?o=21為=2

所以±2√2Λ—2=2>所以左=+y∕2-

故選：AB

11.AC

【分析】通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，χ∈(-i,+∞),

在/(x)=xln(l+x)中，∕,(x)=ln(l+x)+y^-,

.?.當(dāng)X=O時(shí)，/(O)=OJ'(0)=0,

曲線y=∕(x)在點(diǎn)(O,y(O))處切線的斜率為O,C正確；

A項(xiàng),當(dāng)Xe(O,+∞)時(shí)，/C(x)>O,

故/(X)在(0,+∞)單調(diào)遞增，A正確；

B項(xiàng)，當(dāng)-l<x<0時(shí)，ln(l+x)<0,/(X)=Xlna+x)>0,

當(dāng)x>0時(shí),ln(l+x)>0,∕(Λ)>0,所以/(χ)只有。一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+<?),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.?.∕(x)不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.ACD

【分析】根據(jù)題意分析可得：q=l,α,,-α,ι="("≥2),利用累加法求得a="D,進(jìn)而

可以判斷選項(xiàng)A、B、C；再利用裂項(xiàng)相消法分析判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由題意可知：αl=l,α2=3sα3=6,

可得。2-4=2,ai-a2=3,...,an-al^l=n(n≥2),

以上〃個(gè)式子累加可得：αn-α,=2+3+L+π(n≥2),

所以α,,=l+2+3+L+〃=W/≥2),

且q=l也滿足上式，所以凡=歸生.

則為=號(hào)=10,所以5=1+3+6+10=20,故選項(xiàng)A正確;

由遞推關(guān)系可知：an+t-aπ≈n+l,故選項(xiàng)B不正確；

當(dāng)〃≥2,SZ,-S-=%=四羅，故選項(xiàng)C正確；

所以一+—+???÷---=2+???+2

,^I+2100101

,故選項(xiàng)D正確;

故選：ACD.

13.3

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出了'(0),即可得解.

【詳解】因?yàn)?(x)=3SinX+4x2+5,所以/"(x)=3cosx+8x,

所以/"(0)=3COSo+8x0=3,即曲線/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處切線的斜率為3.

故3

14.[-√3,√3]

【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義結(jié)合二次函數(shù)分析求解.

【詳解1因?yàn)閒'(x)=3X2+2mx+l,

若函數(shù)/(x)在R上無極值點(diǎn)，等價(jià)于/(X)在R上至多有一個(gè)零點(diǎn),

貝IJA=4"∕-i2≤0,解得一√i≤機(jī)≤石，

所以實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是卜有,6].

故答案為.卜百,?/?

【分析】設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為％,公比為4,依題意由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出％、q,即可

得解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公比為4,顯然*=0,

由片=40,可得αjV=qq9,所以4=?,

由2（%+?！?2）=5%+1,即2（%+%Q=5”,q,可得獷-5q+2=0,

解得4=2或q=g,因?yàn)閿?shù)列｛《,｝為遞減數(shù)列，所以4=；,則q=g,

所以V.

16.[-3,1]

【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】由/(x)=；x3-2x+e、-5，

則/(-x)=g(-x)3-2(-x)+e'-占=一；/+2工+9—8'=—/(力，即函數(shù)為口上的奇函數(shù).

,22x22

Xf(x)=x-2+e'+-^≥x-2+2^s-^Γ=X-2+2=X≥0,函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù),

又/(2ɑ-3)+√?(”2)≤0,所以/(2q-3)4∕(-/),^2a-3≤-a2,

解得-3≤α≤l,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-3,1].

故答案為.[-3,1]

、2,,+I

,>124-4

17.(1)an=2n-lfbn=4~'9(2)2n-n+

15

(!)由4=47=64求得夕,即可得到d,進(jìn)而求解即可；

(2)由(1)可得?,=%ι+%=4〃-3+421,則利用分組求和法求解即可

【詳解】(1)因?yàn)?=64,所以如:64,

又A=I,所以4=4,

又因?yàn)間=2",所以為=2,

因?yàn)?=1,

n

所以%=q+S-l)d=2"-1也=biq-'=4"T.

2u2n

(2)cn=α2π.l+b2l,=2(2π-l)-l+4-'=4π-3+4^'.

所以S“=(1+5+9+…+4〃-3)+(4+43+???+42"T)

n(l+4π-3)4×(l-42^,)

=^~2~^+1-42

本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查等差數(shù)列、等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考

查分組求和法求數(shù)列的和

18?(l)∕(xLx=18-AjfLn=0

(2)(l-w,w+l)

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)可確定一(X)在卜3,2］上的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值點(diǎn)和最值；

(2)求導(dǎo)后，根據(jù)/'(x)=0的兩根可確定∕%x)>0的解集，由此可得單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】(1)當(dāng)，"=1時(shí)，f(x)=-^x3+x2,：.∕,(x)=-X2+2x=-x(x-2),

,

.?.當(dāng)xe［-3,0)時(shí)，∕(x)<0ζ當(dāng)xe(0,2)時(shí)，f^(x)>0；

?/(x)在卜3,0)上單調(diào)遞減，在(0,2］上單調(diào)遞增，

24

又〃-3)=9+9=18,/(2)=-→4^-,/(0)=0,

?"'(x)mj∕(-3)=18,/(XL=/(0)=0.

(2)由題意知：/(x)定義域?yàn)镽,∕,(χ)=-χ2+2x+(w2-1)=-[x-(,π+1)](?^÷^-l);

令/'(x)=0,解得：x=m+l或X=I一加；

???加>0,.??-m<m+↑9.?.當(dāng)x∈(l-九加+1)時(shí)，/￠(^)>0,

?f(?)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1+1).

「《17]

19.(1)5,y

⑵(7,3]

【分析1(1)利用導(dǎo)數(shù)可求得了(X)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定最值，由此可得/(x)值域;

(2)將問題轉(zhuǎn)化為∕α)nra,2g(xjm.,結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】(1)?.?r(x)=Y=(x+2)f-2),當(dāng)χe?,ι］時(shí)，∕f(χ)<0:

\/(。在［川上單調(diào)遞減，”(力2=/04+8=?,/(x)mn=/⑴=1+4=5;

「［^l「］7"

?/(x)在上的值域?yàn)?,y.

(2)V?Xl∈,加€［1,3］,使得/(xJ≥g(Xz),"(XiLNgKL;

當(dāng)今41,3］時(shí)，g(X2)min=g(l)=2+a；

由(1)知：當(dāng)Xle?,l時(shí)，/(x1)min=5,..5≥2+α,解得：a≤3,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-*3］.

20.⑴%=M

(2)證明見解析

【分析】(1)化簡(jiǎn)已知遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可

整理推導(dǎo)得到%;

(2)利用裂項(xiàng)相消法可求得S,,,由此可推理得到結(jié)論.

【詳解】(1)由〃。向-(“+I”,,=""+1)得：馬力_%=1,又?=1,

/?+1n1

...數(shù)列圖

是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，???%=l+("-l)=",

n

.?.an=n-.

1111

b=,—______=----------

(2)由(1)得:,"J?("+1)2n(rt+l)nH+1,

1____1X1-L

；S+???+=1-

77-1n?nn+1n+1

?.?H∈N*>-->0,?-??--------<1>即S”<1.

n+1/7+1

21?(1)證明見解析

+2

(2)Tll=n?2"

【分析】(I)根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明;

(2)由(1)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得b,,(%+2)=("+l)?2向，利用錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.

【詳解】(1)當(dāng)“≥2時(shí)，則%=2%T+2,

可得α,,+2=2(%+2),且4=2,即q+2=4κθ,

M+2C

所以一r=2,