2.1 兩條直線的位置關系 北師大版七年級數(shù)學下冊專項提升訓練(含解析)

專題2.1兩條直線的位置關系專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋?鐵力市校級期末）已知∠A＝65°，則∠A的余角等于（）A．25° B．35° C．115° D．45°2．（2023秋?雁山區(qū)校級期末）下列說法：①等角的余角相等；②兩點確定一條直線；③同角的補角相等；④兩點之間直線最短．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022秋?泗洪縣期末）如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，若∠AOD＝150°，則∠BOC等于（）A．20° B．25° C．30° D．45°4．（2022秋?東城區(qū)校級月考）一副三角板按如圖所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)是∠2的3倍，則∠1的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．67.5°5．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是點D，則下列說法正確的是（）A．線段AC的長表示點C到AB的距離 B．線段CD的長表示點A到CD的距離 C．線段BC的長表示點B到AC的距離 D．線段BD的長表示點C到DB的距離6．（2022春?新樂市校級月考）如圖，在直線l外任取一點Q，過點Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條7．（2022秋?唐河縣期中）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，且∠BOD＝2∠BOC，若以點O為端點的射線OE⊥CD，則∠BOE的度數(shù)為（）A．30° B．150°或30° C．150° D．以上都不正確8．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°9．（2022秋?和平區(qū)期末）如圖，O為直線AB上一點，∠DOC為直角，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列結論：①∠AOE與∠BOG互余②∠EOF與∠GOF互補③∠DOE與∠DOG互補④∠AOC﹣∠BOD＝90°，其中正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．110．（2022?天津模擬）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOF＝∠DOF，點E為OF反向延長線上一點（圖中所有角均指小于180°的角）．下列結論：①∠COE＝∠BOE；②∠AOD+∠BOC＝180°；③∠BOC﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正確結論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022秋?豐滿區(qū)期末）若一個角等于38°15'，則這個角的余角度數(shù)等于°．12．（2023秋?海港區(qū)期末）如果∠1和∠2互補，∠1比∠2的2倍少15°，則∠1＝°．13．（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，∠AOC＝∠DOE＝90°，如果∠AOE＝65°，那么∠COD的度數(shù)是．14．（2023秋?長樂區(qū)期末）如圖，平面內(nèi)∠AOB＝∠COD＝90°，OF平分∠AOC，則以下結論：①；②∠BOD﹣∠AOC＝90°；③∠AOC+∠BOD＝180°；④OF平分∠BOD．其中正確的是．（填序號）15．（2022?叢臺區(qū)校級三模）如圖，直線a，b，c在同一平面內(nèi)，直線a，c交于點O，∠1＝75°，∠2＝50°．（1）a，b相交所成的銳角為；（2）保持直線b，c固定不動，直線a繞點O最少旋轉(zhuǎn)°時，可使直線a⊥b．16．（2022?南京模擬）如圖，直線AB、CD相交于點O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個角，且，將射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°時，α的度數(shù)是．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022春?漢陰縣月考）如圖，在鐵路旁邊有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，使李莊的人乘火車最方便（即距離最近），請你在鐵路邊選一點來建火車站，并說明理由．18．（2023秋?南丹縣期末）已知：如圖，O是直線AB上的一點，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度數(shù)．19．（2023春?珠海校級期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）畫出點C到AB的最短路徑CD；（2）請指出B到AC的距離是線段的長度．20．（2023秋?麥積區(qū)期末）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數(shù)．21．（2022春?東莞市期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，已知∠BOC＝75°，ON將∠AOD分成兩個角，且∠AON：∠NOD＝2：3．（1）求∠AON的度數(shù)．（2）若OM平分∠BON，則OB是∠COM的平分線嗎？判斷并說明理由．22．（2023秋?道縣期末）將一副三角板中的兩塊直角三角板按如圖的方式疊放在一起，直角頂點重合．（1）若∠ACB＝115°時，則∠DCE的度數(shù)等于；（2）當CE平分∠ACD時，求∠ACB的度數(shù)；（3）猜想并直接寫出∠ACB與∠DCE的數(shù)量關系（不必說明理由）．23．（2023秋?廣陵區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠AOF的余角是（把符合條件的角都填出來）．（2）圖中除直角相等外，還有相等的角，請寫出三對：①；②；③．（3）①如果∠AOD＝140°．那么根據(jù)，可得∠BOC＝度．②如果，求∠EOF的度數(shù)．24．（2023秋?門頭溝區(qū)期末）已知，點O在直線AB上，在直線AB外取一點C，畫射線OC，OD平分∠BOC．射線OE在直線AB上方，且OE⊥OD于O．（1）如圖1，如果點C在直線AB上方，且∠BOC＝30°，①依題意補全圖1；②求∠AOE的度數(shù)（0°＜∠AOE＜180°）；（2）如果點C在直線AB外，且∠BOC＝α，請直接寫出∠AOE的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示，且0°＜∠AOE＜180°）專題2.1兩條直線的位置關系專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋?鐵力市校級期末）已知∠A＝65°，則∠A的余角等于（）A．25° B．35° C．115° D．45°【分析】根據(jù)互余兩角之和等于90°即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝65°，∴∠A的余角＝90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°．故選：A．2．（2023秋?雁山區(qū)校級期末）下列說法：①等角的余角相等；②兩點確定一條直線；③同角的補角相等；④兩點之間直線最短．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由余角，補角的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，即可判斷．【解答】解：①等角的余角相等，正確，故①符合題意；②兩點確定一條直線，正確，故②符合題意；③同角的補角相等，正確，故③符合題意；④兩點之間線段最短，故④不符合題意，因此正確的是①②③，有3個，故選：C．3．（2022秋?泗洪縣期末）如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，若∠AOD＝150°，則∠BOC等于（）A．20° B．25° C．30° D．45°【分析】由∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，求出∠AOB，再由∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD，∴∠AOB＝150°﹣90°＝60°，∵∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB，∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故選：C．4．（2022秋?東城區(qū)校級月考）一副三角板按如圖所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)是∠2的3倍，則∠1的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．67.5°【分析】根據(jù)∠1+∠2＝90°以及∠1＝3∠2求出∠2的度數(shù)，進而可得∠1的度數(shù)．【解答】D解：根據(jù)圖形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠1的度數(shù)是∠2的3倍，即∠1＝3∠2，∴4∠2＝90°，∴∠2＝22.5°，∴∠1＝90°﹣∠2＝67.5°，故選：D．5．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是點D，則下列說法正確的是（）A．線段AC的長表示點C到AB的距離 B．線段CD的長表示點A到CD的距離 C．線段BC的長表示點B到AC的距離 D．線段BD的長表示點C到DB的距離【分析】根據(jù)點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離判斷即可得到答案．【解答】解：A、線段AC的長是點A到BC的距離，錯誤正確，不合題意；B、線段CD的長是點C到AB的距離，錯誤，不合題意；C、線段BC的長是點B到AC的距離，正確，符合題意；D、線段BD的長是點B到CD的距離，錯誤，不合題意；故選：C．6．（2022春?新樂市校級月考）如圖，在直線l外任取一點Q，過點Q畫直線l的垂線，可畫出的垂線有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，即可選出答案．【解答】解：在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．故選：B．7．（2022秋?唐河縣期中）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，且∠BOD＝2∠BOC，若以點O為端點的射線OE⊥CD，則∠BOE的度數(shù)為（）A．30° B．150°或30° C．150° D．以上都不正確【分析】分兩種情況討論，由鄰補角的性質(zhì)，垂直的定義，即可求解．【解答】解：∵∠BOD＝2∠BOC，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝60°，當射線OE在AB下方，∵OE⊥CD，∴∠COE＝90°，∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°；當射線OE在AB上方，∵OE⊥CD，∴∠COE＝90°，∴∠BOE＝90°+60°＝150°．∴∠BOE的度數(shù)為：30°或150°．故選：B．8．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°【分析】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，∴∠3＝∠BOD，∵∠EOD+∠1＝90°，∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，故選：D．9．（2022秋?和平區(qū)期末）如圖，O為直線AB上一點，∠DOC為直角，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列結論：①∠AOE與∠BOG互余②∠EOF與∠GOF互補③∠DOE與∠DOG互補④∠AOC﹣∠BOD＝90°，其中正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)余角和補角的定義以及角平分線的定義計算出各選項的結果判斷即可．【解答】解：①∵∠AOC+∠BOC＝180°，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴∠AOE＝∠AOC，∠GOB＝∠BOC，∴∠AOE+∠BOG＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴∠AOE與∠BOG互余，故正確；②∵∠DOC＝90°，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，∴∠BOG+∠BOF＝∠BOC+∠BOD＝∠COD＝45°，∴∠EOF+∠GOF＝∠EOG+∠GOF＝90°+45°+45°＝180°，∴∠EOF與∠GOF互補，故正確；③∵∠DOE+∠DOG＝∠EOF+∠DOF+∠FOG+∠DOF，∵∠EOF+∠GOF＝180°，∴∠DOE+∠DOG＝180°+2∠DOF，∴∠DOE與∠DOG不互補，故錯誤；④∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝90°﹣∠BOD，∴∠AOC﹣∠BOD＝90°，故正確，故選：B．10．（2022?天津模擬）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOF＝∠DOF，點E為OF反向延長線上一點（圖中所有角均指小于180°的角）．下列結論：①∠COE＝∠BOE；②∠AOD+∠BOC＝180°；③∠BOC﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正確結論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，結合∠AOF＝∠DOF即可判斷①正確；由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，結合∠AOB＝∠COD＝90°即可判斷②正確；由∠BOC﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而不能判斷∠AOD＝∠AOC，即可判斷③不正確；由E、O、F三點共線得∠BOE+∠BOF＝180°，而∠COE＝∠BOE，從而可判斷④正確．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠AOF＝∠DOF，∴180°﹣∠AOC﹣∠AOF＝180°﹣∠BOD﹣∠DOF，即∠COE＝∠BOE，所以①正確；∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD＝∠COD+∠AOB＝180°，所以②正確；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正確；∵E、O、F三點共線，∴∠BOE+∠BOF＝180°，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正確．所以，正確的結論有3個．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022秋?豐滿區(qū)期末）若一個角等于38°15'，則這個角的余角度數(shù)等于51.75°．【分析】利用余角的定義進行求解即可．【解答】解：∵一個角等于38°15'，∴這個角的余角度數(shù)為：90°﹣38°15'＝51°45'＝51.75°．故答案為：51.75．12．（2023秋?海港區(qū)期末）如果∠1和∠2互補，∠1比∠2的2倍少15°，則∠1＝115°．【分析】根據(jù)題意可得∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，從而可求解．【解答】解：∵∠1和∠2互補，∠1比∠2的2倍少15°，∴∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，∴2∠2﹣15°+∠2＝180°，解得：∠2＝65°，∴∠1＝115°．故答案為：115．13．（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，∠AOC＝∠DOE＝90°，如果∠AOE＝65°，那么∠COD的度數(shù)是115°．【分析】根據(jù)∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝25°求出∠AOD，根據(jù)∠COD＝∠AOC+∠AOD求出即可．【解答】解：∵∠AOC＝∠DOE＝90°，∠AOE＝65°，∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣65°＝25°，∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°+25°＝115°，故答案為：115°．14．（2023秋?長樂區(qū)期末）如圖，平面內(nèi)∠AOB＝∠COD＝90°，OF平分∠AOC，則以下結論：①；②∠BOD﹣∠AOC＝90°；③∠AOC+∠BOD＝180°；④OF平分∠BOD．其中正確的是①③④．（填序號）【分析】由余角的性質(zhì)，角平分線定義，角的和差，即可判斷．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝∠AOD+∠AOC，∴∠AOD＝∠BOC；∵∠BOD﹣∠AOC＝∠AOB+AOD﹣∠AOC＝90°+∠AOD﹣∠AOC，∠AOD≠∠AOC，∴∠BOD﹣∠AOC≠90°；∵∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠DOC+∠AOB，∴∠AOC+∠BOD＝90°+90°＝180°；∵OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠COF，∴∠AOD+∠AOF＝∠COF+∠BOC，∴∠DOF＝∠BOF，∴OF平分∠BOD，∴正確的①③④．故答案為：①③④．15．（2022?叢臺區(qū)校級三模）如圖，直線a，b，c在同一平面內(nèi)，直線a，c交于點O，∠1＝75°，∠2＝50°．（1）a，b相交所成的銳角為25°；（2）保持直線b，c固定不動，直線a繞點O最少旋轉(zhuǎn)65°時，可使直線a⊥b．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠3即可；（2）過點O作直線b的垂線，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠4即可．【解答】解：（1）如圖，直線a、直線b相交的銳角為∠3，∵∠1＝∠2+∠3，∠1＝75°，∠2＝50°，∴∠3＝∠1﹣∠2＝75°﹣50°＝25°，即直線a、直線b相交的銳角為25°，故答案為：25°；（2）如圖，過點O作OA⊥b，垂足為A，∠4＝90°﹣∠3＝90°﹣25°＝65°，即直線a繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)65°，故答案為：65．16．（2022?南京模擬）如圖，直線AB、CD相交于點O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個角，且，將射線OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°時，α的度數(shù)是90°或210°．【分析】OF在運動過程中由兩個位置可以使∠AOF＝120°，分別作出對應的圖像，根據(jù)∠AOC的度數(shù)以及∠AOE與∠COE間的比例求出兩角的值，進而可求出角α的度數(shù)．【解答】解：①當OF運動到如圖所示的位置時，∵∠BOD＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°，∵，∴，當∠AOF＝120°時，∴α＝∠AOF﹣∠AOE＝120°﹣30°＝90°，②如圖所示，當OF運動到如圖所示的位置時，∵∠BOD＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°，∵，∴，當∠AOF＝120°時，∴α＝360°﹣（∠AOF+∠AOE）＝360°﹣150°＝210°，故答案為：90°或210°．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022春?漢陰縣月考）如圖，在鐵路旁邊有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，使李莊的人乘火車最方便（即距離最近），請你在鐵路邊選一點來建火車站，并說明理由．【分析】根據(jù)從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短可知，要選垂線段．【解答】解：為了使李莊人乘火車最方便（即距離最近），過李莊向鐵路畫垂線段，根據(jù)是垂線段最短．18．（2023秋?南丹縣期末）已知：如圖，O是直線AB上的一點，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝30°，求∠DOE的度數(shù)．【分析】先根據(jù)余角的定義得出∠AOC的度數(shù)，再由角平分線的定義得出∠COE的度數(shù)，然后根據(jù)余角的定義即可求出∠DOE的度數(shù)．【解答】解：∵∠BOD＝30°，∠COD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOD＝60°．∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE＝60°．∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝30°．19．（2023春?珠海校級期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）畫出點C到AB的最短路徑CD；（2）請指出B到AC的距離是線段BC的長度．【分析】根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，如圖所示，（2）B到AC的距離是線段BC的長度，故答案為：BC．20．（2023秋?麥積區(qū)期末）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數(shù)．【分析】設這個角為x°，則得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．【解答】解：設這個角為x°，則180﹣x+10＝3（90﹣x），解得：x＝40，即這個角的度數(shù)是40°，即這個角的余角是90°﹣40°＝50°，補角是180°﹣40°＝140°．21．（2022春?東莞市期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，已知∠BOC＝75°，ON將∠AOD分成兩個角，且∠AON：∠NOD＝2：3．（1）求∠AON的度數(shù)．（2）若OM平分∠BON，則OB是∠COM的平分線嗎？判斷并說明理由．【分析】（1）設∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根據(jù)角的倍數(shù)關系可得答案；（2）先計算∠BOM的度數(shù)，判斷∠BOM、∠BOC是否相等，即可說明理由．【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，設∠AON＝2x，∠NOD＝3x，∴∠AOD＝5x，∵∠BOC＝75°，∴∠AOD＝5x＝75°，∴x＝15°，∴∠AON＝30°；（2）OB是∠COM的平分線，理由如下：∵∠AON＝30°，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，∵OM平分∠BON，∴∠BOM＝75°，∴∠BOM＝∠BOC，∴OB是∠COM的角平分線．22．（2023秋?道縣期末）將一副三角板中的兩塊直角三角板按如圖的方式疊放在一起，直角頂點重合．（1）若∠ACB＝115°時，則∠DCE的度數(shù)等于65°；（2）當CE平分∠ACD時，求∠ACB的度數(shù)；（3）猜想并直接寫出∠ACB與∠DCE的數(shù)量關系（不必說明理由）．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，進行計算即可得出結論；【解答】解：（1）∵∠ACE+∠DCE＝∠ACD＝90°，∠BCD+∠DCE＝∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝∠ACB﹣90°＝25°，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCD＝115°﹣25°﹣25°＝65°；故答案為：65°（2）由CE平分∠ACD可得CE平分∠ACD＝∠DCE＝45°，由（1）可知∠ACE＝∠BCD＝45°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCD+∠DCE＝135°；（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°．23．（2023秋?廣陵區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠AOF的余角是∠AOC、∠EOF、∠BOD