中考數(shù)學(xué)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系大題練習(xí)真題+模擬（解析版北京）

中考數(shù)學(xué)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系大題專練

【方法歸納】

￥1考查年份考查頻率

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2021、2019、2018、2017、2016、2014、十年7考

（大題）2013

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是北京中考的?？即箢}之一，主要涉及根的判別式和根與

系數(shù)的關(guān)系

根的判別式：

一般地，式子b2-4αc叫做方程ax'+bx+c=O（α≠0）

根的判別式

根的判別式，通常用希臘字母△表示，即A=^-4°c

方程ax2+bx+c=O(a^0)有兩個不相等的實數(shù)根,即

Δ>O

-b+?Jb2—Aac

X=---------------

根的情況2a

與判別式

方程α^+bx+c=0（αHO）有兩個相等的實數(shù)根，即

的關(guān)系Δ=O

b

…=F________________________________________

Δ<0方程αx2+hx+c=O（α≠0）沒有實數(shù)根

根與系數(shù)的關(guān)系：

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

如果α√+bx+c=O（α≠O）的兩個實數(shù)根是可，%,那么不+蒼=-&,?xt=-.

33

推論1:如果方程發(fā)+m+。=0的兩個根是可,看,那么可+與=-P,x%=q.

推論2：以兩個數(shù)芥,顯為根的一元二;欠方程（二;欠項系數(shù)為1）是V-a+與）χ+襁=0.

2、的

運用根與系數(shù)的關(guān)系和運用根的判別式一樣，都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、C

的值.

3、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于可、號的代數(shù)式的值時,關(guān)鍵是把所給的代數(shù)式經(jīng)過恒等

變形,化為含4+題,可有的形式,然后把蘇+芻,4褥的值整體代入，即可求出所求代數(shù)式的值.

【典例剖析】

【例1】（2021?北京?中考真題）已知關(guān)于X的一元二次方程--4mx+3πι2=o.

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若m>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求m的值.

【答案】（1）見詳解；（2）m=1

【解析】

【分析】

1/27

(I)由題意及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求證；

(2)設(shè)關(guān)于％的一元二次方程/-4mx+362=O的兩實數(shù)根為%i，%2，然后根據(jù)一元二次

方程根與系數(shù)的關(guān)系可得%ι+%2=4m,%ι?%2=3τn2,進(jìn)而可得(與一冷尸=4,最后利用

完全平方公式代入求解即可.

【詳解】

(1)證明：由題意得：Q=Lb=—4m,c=3m?,

??Δ=b2-4ac=16τn2—4×1×3m2=4m2,

Vm2≥O,

?'?Δ=4m2≥O,

???該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：設(shè)關(guān)于%的一元二次方程/-4mx+3r∏2=O的兩實數(shù)根為則有：/+與=

2

4m,x1?x2=3mf

丁氏-X2I=2,

2χχ222

-*-(x1—x2)=(ι+z)-4X1X2=16m—12m=4,

解得：m=±1,

Vm>0,

.,.m=1.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別

式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【真題再現(xiàn)】

1.(2013?北京?中考真題)已知關(guān)于X的一元二次方程/+2x+2∕c-4=O有兩個不相等的

實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求A的值.

【答案】⑴?<∣;(2)2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于O列出關(guān)于k的不等式，

求出不等式的解集即可得到k的范圍；

(2)找出大范圍中的整數(shù)解確定出&的值，經(jīng)檢驗即可得到滿足題意&的值.

【詳解】

解：(1)Y關(guān)于X的一元二次方程產(chǎn)+2%+2k-4=O有兩個不相等的實數(shù)根，

2/27

ΛΔ=22-4（2k-4）=20-8/c>O.

解得：?<∣;

（2）:N為正整數(shù)，

Λ?=l或2.

當(dāng)上1時，方程為/+2X-2=0,兩根為X=二鏟=一1±我，非整數(shù)，不合題意；

當(dāng)上2時，方程為M+2κ=0,兩根為x=0或X=-2,都是整數(shù)，符合題意.

的值為2.

【點睛】

本題考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式與

根的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

2.（2014?北京?中考真題）已知關(guān)于X的方程∕nr2-（成+2）x+2=0（/"≠0）.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)，〃的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）正整數(shù)，〃的值為1或2

【解析】

【分析】

（1）先計算判別式的值得到A=（m+2）2-4m×2=（m-2）2.再根據(jù)非負(fù)數(shù)的值

得到A≥0,然后根據(jù)判別式的意義得到方程總有兩個實數(shù)根；

（2）利用因式分解法解方程得到x∕=l,X2=3,然后利用整數(shù)的整除性確定正整數(shù)W的值.

m

【詳解】

（1）證明：?，%和，A=（Zn+2）-4m×2

=nι2-4∕π+4

=-2）2,

而（∕n-2）2>0,B∣J?≥0,

???方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：（X-I）（mx-2）=0,

X-1=0或nix-2=0,

?

..x∕=1l,X2=2-,

當(dāng)，W為正整數(shù)1或2時，X2為整數(shù)，

即方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，

.?.正整數(shù)m的值為1或2.

3.（2016?北京?中考真題）關(guān)于X的一元二次方程f+（2根+1）彳+m2-1=0有兩個不相等的

實數(shù)根.

3/27

(?)求加的取值范圍；

(2)寫出一個滿足條件的機的值，并求此時方程的根.

【答案】(1)(2)X∕=O,X2=-3.

【解析】

【分析】

(I)由方程有兩個不相等的實數(shù)根即可得出△>(),代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于的一元一次

不等式，解不等式即可得出結(jié)論；

(2)結(jié)合(1)結(jié)論，令加=1,將，”=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】

(I)；關(guān)于X的一元二次方程/+(2m+?)x+m2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

Λ?=(2m+I)2-4×1×(m2—l)=4∕n+5>0>

解得：，〃>一3；

(2)W=I,此時原方程為/+3產(chǎn)0,

即X(X+3)=0,

解得：x1=0,X2=-3.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的根的情況，解一元二次方程，解決此題的關(guān)鍵是正確的計算.

4.(2018?北京?中考真題)關(guān)于X的一元二次方程加+bx+l=O.

(1)當(dāng)3=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；

(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的4,6的值，并求此時方程的根.

【答案】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)b=-2,a=?時，x∕=x2=-I.

【解析】

【分析】

(1)求出根的判別式A=b2-4ac,判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.

(2)方程有兩個相等的實數(shù)根，則A=b2-4αc=0,寫出一組滿足條件的α,b的值即可.

【詳解】

(1)解：由題意：α片0.

*.,Δ=b2—4αc=(α+2)2-4α=α2+4>0.

/.原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)答案不唯一，滿足爐一4。7=0(ɑ≠0)即可，例如：

解：令a=l,b=—2,則原方程為/—2x+1=0,

解得：x1=X2=1.

【點睛】

考查一元二次方程a/+bx+c=0(a≠0)根的判別式A=b2-4ac,

4/27

當(dāng)A=-4ac>O時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

當(dāng)A=/-4ac=O時，方程有兩個相等的實數(shù)根.

當(dāng)A=扭_4ac<0時，方程沒有實數(shù)根.

5.(2019.北京?中考真題)關(guān)于X的方程/-2χ+2τn-1=0有實數(shù)根，且m為正整數(shù),

求m的值及此時方程的根.

【答案】m=1,此時方程的根為/=x2=l

【解析】

【分析】

直接利用根的判別式ZK)得出m的取值范圍進(jìn)而解方程得出答案.

【詳解】

解：Y關(guān)于X的方程x2-2x+2m-l=0有實數(shù)根，

.?.b2-4ac=4-4(2m-l)>0,

解得：m<l,

：m為正整數(shù)，

m=I,

此時二次方程為：x2-2x+l=0,

則(x-l)2=0,

解得：X1=X2=1.

【點睛】

此題主要考查了根的判別式，正確得出m的值是解題關(guān)鍵.

6.(2017.北京.中考真題)已知關(guān)于X的方程/一(k+3)x+2/c+2=O

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根

(2)若方程有一個小于1的正根，求實數(shù)k的取值范圍

【答案】(1)證明見解析；(2)-l<k<0

【解析】

【分析】

(1)證出根的判別式4=b2-4αc>。即可完成；

(2)將k視為數(shù)，求出方程的兩個根，即可求出k的取值范圍.

【詳解】

(I)證明：a=l,b=—(k+3),c=2k+2

?=b2-4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2∕c+2)=J?2-2/c+1=(∕c-I)2>0

；?方程總有兩個實數(shù)根

(2)X2—(?+3)x+2fc+2=0

._k+3±(k-l)

5/27

??=k+1,%2=2

?.?方程有一個小于1的正根

?,.O</c+1<1

Λ-l<k<0

【點睛】

本題考查一元二次方程根的判別式與方程的根之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)

鍵.

L模擬精練】

一、解答題

1.(2022?北京四中模擬預(yù)測)已知關(guān)于X的一元二次方程mx2-(2m+l)x+m+2=O

(1)若這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；

(2)當(dāng)x1?X2=O時，求方程的兩個根

【答案】⑴，”的取值范圍為且〃印0;

4

(2)x∕=O,X2=∣.

【解析】

【分析】

(1)利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到，WO且A=(2,/7+1)2-4∕n(m+2)

>0,然后求出兩不等式的公共部分即可：

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系解得〃?=-2,解方程即可求解.

(1)

解：根據(jù)題意得"#0且/=(2m+1)2-4ιn(m+2)>0,

解得且∕M≠0,

所以，〃的取值范圍為∕n<?m≠0?,

4

(2)

解：Vx1?X2=0,

.m+2

..-----=On,

m

解得加入2,

原方程為m/—(2m+l)x÷m+2=0∏P-2x2+3.r=0,

解得：X∕=0,X2=∣.

【點睛】

本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系：若X∕,X2是一元

二次方程ɑ?2+云+uθ(a≠0)的兩根時，xι+x2=--x1x2=-?

afQ

2.(2022.北京?二模)已知關(guān)于X的一元二次方程/+以一5=0.

6/27

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有一個根是1,求方程另一個根.

【答案】(1)見解析

⑵-5

【解析】

【分析】

(D只需證明根的判別式a>o即可.

(2)設(shè)另一個根為石，利用根與系數(shù)關(guān)系定理，XIXI=-5,計算即可.

(1)

?.”2+以—5=0中，α=l,b-a,c=-5,

?,.Δ=?2—4ac_a2+20>0,

.?.方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)

設(shè)另一個根為匕，

Vx2+ax—5=0,

??%】XI=-5,

解得XI=-5,

故方程另一個根為-5.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理,熟練掌握并靈活應(yīng)用兩個定理是

解題的關(guān)鍵.

3.(2022?北京市H—學(xué)校模擬預(yù)測)已知關(guān)于X的一元二次方程m/+(2m+I)X+m+2=

0有兩個不相等的實數(shù)根%,x2.

(1)求m的取值范圍；

(2)若%?*2=0,求方程的兩個根.

【答案】且m≠°

3

(2)Xι=0,X2=--

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)一元二次方程的定義及方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0,從

而到關(guān)于Tn的不等式，求出Zn的范圍即可；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可得匕?血=管，根據(jù)Xi?%2=0可得關(guān)于他的方程，整理后即

可解出m的值，最后求出方程的根.

(1)

7/27

解：???關(guān)于X的一元二次方程m/4-(2m÷l)%+m+2=O有兩個不相等的實數(shù)根，

O且In≠0,

即(2τn+I)2—4×m×(m÷2)>0且m≠0,

解得：m<；且血≠0.

(2)

；關(guān)于刀的一元二次方程m/+(2m÷l)x+m+2=0有兩個不相等的實數(shù)根X2?

?m+2

=-

.?X1?X2丁，

???"%2=0，

?m+2n

m

解得：m=-2,

經(jīng)檢驗：m=-2是分式方程的解，

，當(dāng)m=—2時，方程為：—2%2—3%=0,

解得：Xi=0,X2=

【點睛】

本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程以及分式方程等知識.關(guān)鍵是掌握

一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：(】)△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根：⑵4=

0=方程有兩個相等的實數(shù)根；閉4<0=方程沒有實數(shù)根.以及根與系數(shù)的關(guān)系：Xi,血是

一元二次方程a/+∕jχ+c=θ(ɑ≠0)的兩根時，Xi+x2=-?X1-X2=

4.(2022?北京大興?一模)已知關(guān)于X的方程/-2mx+m?一9=0.

(1)求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設(shè)此方程的兩個根分別為%,x2,若匕+必=6,求，"的值.

【答案】(1)見解析

(2)3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出/>0,由此可證出此方程有兩個不相等的

實數(shù)根；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可得巧+冷=2m即可找出關(guān)于，”的一元一次方程，解之即可得

出結(jié)論.

(1)

根據(jù)題意可知：A=(2m)2-4(m2-9)=36>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)

8/27

有題意得：x1+x2=2m

x1+x2=2m=6,解得n?=3

【點睛】

本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系

的表達(dá)式，并會熟練計算.

5.(2022?北京朝陽?一模)已知關(guān)于X的一元二次方程--ax+a-1=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求“的值.

【答案】(1)見解析

(2)。的值為3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)一元二次方程ax?+bx+c=0(α≠0),根的判別式為△=△=b2-4ac,進(jìn)行化

簡即可證明；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的倍數(shù)關(guān)系，列方程，解方程可得答案.

(1)

證明：△=(—α)2—4(α—1)——CL^—4cι+4=(α—2)?,

?.?(α-2)2≥0,

該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)

解：設(shè)該方程的一個根為片,則另外一個根為2X/,

則想最嘲

由①得XI=

代入②可得：2α2-9α+9=0,

解之得%=3,a2-|,

又因為該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，

所以a=3.

【點睛】

本題考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意，靈活運用所學(xué)知識是解題

的關(guān)鍵.

6.(2022?北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測)關(guān)于X的一元二次方程/+(k-2)χ+k-3=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一個根大于0,求k的取值范圍.

9/27

【答案】(1)見解析

(2)?<3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得A=(fc-4)2≥0,由此可證出方程總有兩個實

數(shù)根；

(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出Xl=-1,x2=3-k,根據(jù)方程有一根大于

0,即可得出關(guān)于&的一元一次不等式，解之即可得出&的取值范圍.

(1)

證明：：在方程χ2+(k-2)x+k-3=0中，

ΛΔ=(Ji-2)2-4(fc-3)=(k—4)2≥0,

???方程總有兩個實數(shù)根；

(2)

解:Vx2+(Λ-2)x+k-3=0,

????=-1,%2=3-Zc,

；方程有一根大于0，

：.3—k>0,

解得：k<3,

.?.k的取值范圍為k<3.

【點睛】

本題考查了根的判別式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式,解題的關(guān)鍵是:(1)

牢記“當(dāng)A20時，方程有兩個實數(shù)根”；(2)利用公式法解一元二次方程結(jié)合方程一根大于

0,找出關(guān)于左的一元一次不等式.

7.(2021?北京?一模)已知，關(guān)于X的一元二次方程—+αx—α-1=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程有一個根是負(fù)數(shù)，求ɑ的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)a>-l

【解析】

【分析】

(1)求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△》()，根據(jù)判別式的意義即可證明；

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出-a-140,解不等式求得a的取值范圍即可.

【詳解】

(1)證明：,??△=a2—4×(—a—1)=(a+2)2≥0,

無論a為何值，方程總有兩個實數(shù)根；

10/27

(2)'."x2+ax-a—1=O,

?".(x-l)(x+1+a)=0?

x1=1,x2=-a—1,

???方程有一個根是負(fù)數(shù)，

-CL—1<0,

解得，α>—1.

α的取值范圍為α>-L

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，熟記一元二次方程的求根公

式是解題的關(guān)鍵.

8.（2022北京順義?一模）已知關(guān)于X的一元二次方程/+bx-3=0.

（I）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程有一個根是1,求方程的另一個根.

【答案】（1）證明見解析；（2）該方程的另一個根式-3.

【解析】

【分析】

（1）判斷4>0即可證明；

（2）根據(jù)韋達(dá)定理即可得出另一根.

【詳解】

解：（I）A=〃-4-ac=b2—4×1×（—3）=4+12,

,."b2≥0,

：.A=h2+12≥12>0,

.?.方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)方程的另一個根為X,則

1-X==-3,解得χ=-3,

故該方程的另一個根式-3.

【點睛】

本題考查根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系.（1）中掌握4的正負(fù)與一元二次方程之間的關(guān)系是解

題關(guān)鍵；（2）熟記韋達(dá)定理是解題關(guān)鍵.

9.（2020.北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測）已知關(guān)于X的一元二次方程/+（α+l）x+α=0.

（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根，寫出一個滿足條件的α的值，并求此時方程的根.

【答案】⑴證明見詳解；（答案不唯一）.

（2）a=0,x∣=0,x2=-l

【解析】

11/27

【分析】

(1)根據(jù)判別式的值△=(&-1)2≥0,可判斷方程總有兩個的實數(shù)根；

(2)令α=O,方程化為/+χ=0,然后利用因式分解法解方程即可.

【詳解】

(1)證明:'.^Δ=(α+I)2—4×l×a=(a-I)2≥0,

方程總有兩個實數(shù)根：

(2)解：如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根時，

即：(a-1)2>0,

.".a≠1

.".當(dāng)a=O時，方程化為/+%=0,

解得Xl=O,X2=-l.

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的根與4=b2-4ac有如下關(guān)系:

當(dāng)△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;

當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.

10.(2020?北京海淀?二模)已知關(guān)于X的一元二次方程/-2x+n=0.

(I)如果此方程有兩個相等的實數(shù)根，求n的值；

(2)如果此方程有一個實數(shù)根為0,求另外一個實數(shù)根.

【答案】(I)n=1.(2)2.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)根的判別式△=()列出關(guān)于n的方程，通過解方程即可求得n的值；

(2)設(shè)方程的另一個實數(shù)為X2,再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【詳解】

(1)：原方程有兩個相等實數(shù)根，

.,.Δ=0.

即(—2)2—4n=0.

??Tl=?.

(2)?.?原方程有一個實數(shù)根為0,設(shè)方程的另一個實數(shù)為X2,

.,.0+X2=2.

??.X2=2,即另一個根為2.

【點睛】

本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系.在利用根與系數(shù)的關(guān)系公式X∣X2=?X∣+X2=3時,

一定要弄清楚公式中a、b、C所表示的意義?

12/27

11.(2022?北京.模擬預(yù)測)已知關(guān)于X的一元二次方程%2—3%+(血+1)=0有兩個不相等

的實數(shù)根.

(I)求相的取值范圍；

(2)如果初是非負(fù)整數(shù)，且該方程的根是整數(shù)，求〃，的值.

【答案】(1)m<^(2)τn=1.

4

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題意求出△,根據(jù)方程兩個不相等的實數(shù)根列出關(guān)于m的不等式，即不等式得到

答案；

(2)由題意根據(jù)非負(fù)整數(shù)的概念得到m=0或1,把m=0或I代入方程，解方程即可求出答

案.

【詳解】

解：(1)由題意得4=(-3)2—4X1X(τn+1)=9—4m—4=5-4m>0,

解得m<?.

4

(2)為非負(fù)整數(shù)，

?"?m=0sfcm=1.

：該方程的根是整數(shù)，

當(dāng)m=O時，原方程化為χJ3x+l=0,該方程的根不是整數(shù)，故舍去，

m=1.

【點睛】

本題考查的是一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法，掌握當(dāng)△>()時，方程有兩

個不相等的兩個實數(shù)根時，△>()是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?北京四中模擬預(yù)測)如果關(guān)于％的一元二次方程α∕+b%+c=0有兩個實數(shù)根,

且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一

般性結(jié)論：設(shè)其中一根為3則另一個根為23因此ɑ/+以+c=α(x-t)(x-2t)=αx2-

3atx+2t2a,所以有爐—∣αc=0；我們記“K=b2—；ac”即K=0時，方程ax?+bx+c=0

為倍根方程；

下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：

(1)方程①2/一3x+1=0；方程②/一2χ-8=0；方程③M+x=這幾個方程中，

是倍根方程的是(填序號即可)；

(2)若(久一l)(mx-n)=0是倍根方程，則曰的值為；

【答案】(1)①、③；(2)2=4或名=1

mm

【解析】

13/27

【分析】

(1)根據(jù)“倍根方程”的定義，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出結(jié)論；

(2)將方程(X-I)(mx-n)=O整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程’'的定義，當(dāng)K=0,整理

后即可得出巴的值；

m

【詳解】

解：⑴φV2x2-3x+l=0

：.K=b2-∣αc=(-3)2-∣×2×l=0

；?①是倍根方程；

②χ2-2x-8=0

：.K=?2-∣αc=(-2)2-^×1X(-8)≠0

???②不是倍根方程；

③/+x=_|,χ2+χ+∣=0

K=b2--ac=12--×1×2=0

：?229

???③是倍根方程：

故答案為：①、③；

(2)Y(%-l)(mx-九)=0是倍根方程，

Λmx2—(m+n)x^,n=O

：?K=e2—Iac=(m+九)2.gmn=O

解得：

=4或2=1

mm

故答案為：-=4或空=1

mm

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握“倍根方程”的定義

是解題的關(guān)鍵.本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,熟練掌握“倍

根方程”的定義是解題的關(guān)鍵.

13.(2020?北京?北理工附中三模)已知關(guān)于X的方程/+2x+m-2=0.

(1)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)Tn的取值范圍：

(2)當(dāng)該方程的一個根為-3時，求m的值及方程的另一根.

【答案】(1)m<3：(2)m的值是-1,該方程的另一根為1.

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)4=爐一4ac>O計算即可得出答案；

14/27

(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得/+次=-2,%&=巾-2,先根據(jù)一個根為

-3,求出另一個根，再根據(jù)兩根之積即可求出m的值.

【詳解】

解：(1)》2-4αc=22—4×1×(τn—2)=12—4τn>0,

解得：m<3.

(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得/+x2=-2,x1x2=m-2,

：該方程的一個根為-3,

，另一個根為-2-(―3)=1,

m—2=1×(—3),

解得=—1,

.??τn的值是-1,該方程的另一根為1.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根的判別式

以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?北京十一學(xué)校一分校模擬預(yù)測)關(guān)于X的一元二次方程M—6n+3)χ+m+

2=0.

(1).求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2).若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)-1.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)情況與根的判別式關(guān)系可以證出方程總有兩個實數(shù)根；

(2)根據(jù)題意利用十字相乘法解方程，求得Xl=llx2=a+l,再根據(jù)題意兩個根都是正

整數(shù)，從而可以確定”的取值范圍，即可求出”的最小值.

【詳解】

(1)證明：依題意得：

Δ=fe2-4αc=[—(a+2)]2—4(a+1)

=a2+4ct+4—4a—4

=a2,

?.?a2>0,

ΛΔ≥0.

.?.方程總有兩個實數(shù)根；

(2)由/一(a+2)x+a+1=0,

可化為:(x-l)[x-(a+1)]=0

15/27

得XI=l,x2=a+1,

V方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，

：.a+1≥1.

.^.α≥O.

.??”的最小值為0.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程根的判別式與根的個數(shù)關(guān)系和利用十字相乘法解含參數(shù)的方

程，熟知根的判別式大于零方程有兩個不相等的實數(shù)根，判別式等于零有兩個相等的實數(shù)根

或只有一個實數(shù)根，判別式小于零無根和十字相乘法的法則是解題關(guān)鍵.

15.(2022?北京東城?二模)已知關(guān)于X的一元二次方程/一2依+1-1=0.

(1)不解方程，判斷此方程根的情況；

(2)若X=2是該方程的一個根，求代數(shù)式一21+8k+5的值.

【答案】(1)有兩個不相等的實數(shù)根

(2)11

【解析】

【分析】

(1)利用根的判別式A=?2-44c判斷即可.

(2)將X=-I代入一元二次方程/-2fcr+R-1=0,整理得F-4?=-3,再將-2∕+8k+5變形為-2(k2-4k)

+5,代入求值即可.

(1)

解：?.?Δ=?2-4αc=(-2?)2-4(?2-l)=4?2-4?2+4=4>0,

.?.此一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)

將x=2代入一元二次方程Λ2-2AΛ+?2-1=0,

得4-4%+?2-1=0,

整理得R-4Q3,

.?.-2?2+8?+5

=-2(戶4)+5

=-2×(-3)+5

=11.

【點睛】

本題考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解，牢記：當(dāng)A=∕?4αc>0時，一元二

次方程有兩個不相等的實數(shù)根：當(dāng)A=∕-4αc?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)

A=ZA4αc<0時，一元二次方程無實數(shù)根.

16/27

16.(2022.北京密云?二模)已知關(guān)于X的一元二次方程/+(2k-l)χ+k2-k=o.

(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)如果方程有一個根為0,求欠的值.

【答案】(1)證明見解析

(2■的值為?；?

【解析】

【分析】

(1)求出A=b2-4αc的值，再與0作比較，由于A=I>0,從而證出方程有兩個不相等

的實數(shù)根；

(2)將X=O代入原方程，得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可求出Zc的值.

(1)

證明：Vα=l,b=(24一1),c^k2-k,

?'?Δ=b2-4ac-(2k—I)2—4(∕c2—fc)=1>0.

方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)

解：將40代入原方程，得/-Zc=O,

解得kι=0,fcz=l.

二女的值為0或1.

【點睛】

本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：(D求出A=b2-4ɑc的值；

(2)代入x=0得出關(guān)于々的一元二次方程.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目

時，由根的判別式來判斷實數(shù)根的個數(shù)是關(guān)鍵.

17.(2022?北京門頭溝?二模)已知關(guān)于X的二次方程山/一(2加一3次+(η-1)=0有兩

個不相等的實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)如果m為正整數(shù)，求此方程的根.

Q

【答案】(l)m<9且mH0;

O

(2)x∕=0,X2--1

【解析】

【分析】

(I)由方程有兩個不相等的實數(shù)根得到△>()，利用公式求出，〃的取值范圍：

(2)由(1)及，”為正整數(shù)，可得m=l,利用因式分解法解方程即可.

(1)

解：?.?關(guān)于X的二次方程m/一(2m-3)x+(M-1)=0有兩個不相等的實數(shù)根，

17/27

ΛΔ>O,

?[—(2m-3)]2—4τn(m—1)>0,

解得zn<，；

O

Vm≠0,

?'?m<≠0；

8

(2)

?.?τn<?Uz≠O,，”為正整數(shù)，

O

.'.m=?,

，該方程為/+X=0,

解得X∕=O,X2=-l.

【點睛】

此題考查了一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍，解一元二次方程，正確掌握一元二次

方程根的判別式與根的情況是解題的關(guān)鍵.

18.(2022?北京昌平?二模)己知關(guān)于工的一元二次方程/+4x+k=0有兩個不相等的實數(shù)

根，寫出一個滿足條件k的值，并求此時方程的根.

【答案】當(dāng):0時，xl=0,X2=-4(答案不唯一)

【解析】

【分析】

先求出b2-4ac,再根據(jù)∕A4αc>0求出％的取值范圍，然后寫出一個，并求出方程的根即可.

【詳解】

關(guān)于X的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.*.h2-4ac=42-4×k>0.

即k<4.

當(dāng)k-0時，Λ2+4X=0,

解得x∕=0,X2=-4.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，當(dāng)〃-44c>0時，一元二次方程〃K+hx+r=0

有兩個不相等的實數(shù)根.

2

19.(2022?北京海淀.二模)關(guān)于X的方程42一(2巾+I)X+m=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求”的取值范圍；

(2)當(dāng)"2取最小的整數(shù)時，求此時的方程的根.

【答案】⑴m>-：

=

(2)方程的根為％=0,X21

18/27

【解析】

【分析】

(I)由題意得A=(2τn+l)2-4m2>0,解出，〃的范圍即可；

(2)根據(jù)第(1)問m的范圍求出m的最小整數(shù)值，然后將m的值代入方程，解方程即可.

(?)

解：???關(guān)于X的方程/—(2τn+l)χ+m2=O有兩個不相等的實數(shù)根.

其根的判別式A=(2m+I)2-4m2=4m+1>O.

.、1

??m>-√

(2)

解：?.?∕n>-;且〃，為最小的整數(shù)，

??m=0.

此時方程為一一X=0.

，方程的根為Xl=0,X2=1-

【點睛】

本題考查了根的判別式和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：(I)牢記“一元二次方程，當(dāng)根

的判別式△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根“；(2)代入〃?的值，利用因式分解法求出一

元二次方程的解.

20.(2022?北京東城?一模)已知關(guān)于X的一元二次方程--2x+k-2=0有兩個不相等的

實數(shù)根.

(1)求％的取值范圍；

(2)若左為正整數(shù)，且方程的兩個根均為整數(shù)，求k的值及方程的兩個根.

【答案】(I)A<3

(2)?=2,方程的兩個根為XI=0,X2=2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意和一元二次方程根的判別式得到A=(-2)2-4(k-2)>0,解不等式即可求得;

(2)首先根據(jù)(I)可知，我的值只能是I或2,分別代入方程，解方程，再根據(jù)方程的兩個根均

為整數(shù)，即可解答.

(1)

解：???關(guān)于X的一元二次方程/一2x+k-2=0有兩個不相等的實數(shù)根

.?.Δ=(-2)2-4(?-2)>0

解得k<3

故女的取值范圍為k<3

(2)

19/27

解：?.?k<3且&為正整數(shù)

M的值只能是1或2

當(dāng)?=1時，方程為/—2x—1=O

解得X=2±"-2)j4x(T)=1±V2

???方程的兩個根均為整數(shù)

.M=I不合題意，舍去

當(dāng)k=2時，方程為--2x=O

解得Xl=O,X2=2

方程的兩個根均為整數(shù)，符合題意

故七2,方程的兩個根為Xl=0,X2=2

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式及解一元二次方程的方法,熟練掌握和運用一元二次方

程根的判別式及解一元二次方程的方法是解決本題的關(guān)鍵.

21.(2022?北京市十一學(xué)校二模)己知關(guān)于X的方程(1-2&2一2%+1=0有兩個實數(shù)根.

(1)求/的取值范圍；

(2)當(dāng)后取最大整數(shù)時，求此時方程的根.

【答案】(∣)k≤3且k≠2

(2)x1=X2=I

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式A≥0,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之

即可得出k的取值范圍；

(2)由(1)中k的取值范圍得出符合條件的4的最大整數(shù)值，代入原方程，利用因式分解

法即可求出X的值.

(1)

解：(1)關(guān)于無的方程(k-2)x2-2x+l=O有兩個實數(shù)根，

(k-2≠0

λt(-2)2—4(k—2)X1≥O'

解得：k<3且/c≠2；

(2)

解：當(dāng)Zc=3時，方程為：X2—2x+1=0,即(x—1)2=0,

解得：x1=X2=1-

【點睛】

本題考查了一元二次方程ɑ/+bx+c=0(α≠0)的根的判別式A=b2-4ac：當(dāng)A>0,方

程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)A<0,方程沒有實數(shù)根，

20/27

掌握利用判別式判斷根的個數(shù)是解題的關(guān)鍵.

22.(2022?北京石景山?一?模)已知：關(guān)于X的一元二次方程產(chǎn)-2mx+τ∏2-1=0.

(1)求證：不論相取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)選擇一個你喜歡的整數(shù)m的值代入原方程，并求出這個方程的解.

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)X]=1,%2=-L(答案不唯一)

【解析】

【分析】

(1)求出方程的判別式即可證明；

(2)的值越簡單越好，令他=0,即可求解.

(1)

證明：

方程的判別式A=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0.

.?.方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)

令》1=0,則方程變?yōu)?=0,

解得Xl=1,%2=-1?(答案不唯一)

【點睛】

本題主要考查了利用方程的判別式證明方程恒有兩個不相等的實數(shù)解,解題的關(guān)鍵是正確求

出方程的判別式為正數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

23.(2022?北京豐臺?一模)已知關(guān)于X的一元二次方程/-(m+2)x+m+?=O.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，求”的值.

【答案】⑴見解析

(2)m=-2

【解析】

【分析】

(I)先計算根的判別式的值，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷AK),然后根據(jù)根的判別式的意義

得到結(jié)論；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x,+X2=m+2,則由方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)得到m+2=

0,然后解得〃7的值即可.

(1)

證明：,；△=[-(ffl+2)]2-4(m+1)="P+4∕"+4-4，”一4

=wz2≥0,

21/27

.?.無論/n取何值，此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)

解：根據(jù)題意得X∕+X2="7+2,

：方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，

.'.m+2=0,

解得m=-2,

即m的值為-2.

【點睛】

此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，X/,X2是一元二次方程0r2+bx+c=O(α≠0)的兩

根，則X∕+X2=-Sx∕X2=?,根據(jù)方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)列式是解題的關(guān)鍵.

αɑ

24.(2022?北京市燕山教研中心一模)已知關(guān)于X的方程/+2x+k=0總有兩個不相等的

實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)寫出一個k的值，并求此時方程的根.

【答案】⑴k<1

(2)答案不唯一，見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)根的判別式A>0,求出k的取值范圍；

(2)根據(jù)(1)中的k的取值范圍，代入符合要求的我值，進(jìn)而求解.

(1)

解：；方程總有兩個不相等的實數(shù)根，

ΛΔ=22-4×1×∕c

=4—4?>0,

：.k<1,

???/的取值范圍是k<1：

(2)

答案不唯一

例如：k=。時，方程可化為M+2x=0

x(x+2)=0

??X1=0,X2~-2

【點睛】

本題考查由根的判別式求參數(shù)的取值范圍，涉及的知識點有一元一次不等式，解一元二次方

程，正確地計算是解題的關(guān)鍵.

22/27

25.(2022.北京.中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校一模)關(guān)于X的一元二次方程χ2-2x+3m-

2=0有實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)若方程有一根為4,求方程的另一根.

【答案】(l)mW1

⑵-2

【解析】

【分析】

(1)由方程有實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于〃?的一元一次不等式，解之即可得出，”

的取值范圍；

(2)將x=4代入原方程求出值，再將桁的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次

方程，即可得出方程的另一個根.

(1)

解：關(guān)于X的一元二次方程χ2-2%+3m-2=。有實數(shù)根，

，其根的判別式A≥0,即(一2)2-4(3Jn-2)≥0,

解得：m≤1.

(2)

解：將X=4代入——2x+3m-2=0,得：42-2×4+3m—2=0.

解得：m=-2,

該一元二次方程為/-2x-8=0.

即(X—4)(x+2)=0,

?*?x1=4,X2=-2,

方程的另一根為-2.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解以及解一元二次方程.(1)掌握“當(dāng)

一元二次方程有實數(shù)根時，根的判別式A=b2-4ac≥0”是關(guān)鍵；(2)理解一元二次方程

的解的定義和解一元二次方程的方法是關(guān)鍵.

26.(2022.北京順義.?一模)已知關(guān)于X的一元二次方程TnX2—(2m—l)x+τn—2=0有兩

個不相等的實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)若方程有一個根是0,求方程的另一個根.

[^](l)m>-i?≠0

(2)另一個根為,

【解析】

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【分析】

(1)由一元二次方程定義和根的判別式與根之間的關(guān)系，列不等式組求解即可.

(2)將尸0代入原方程，求出如再解方程即可.

(1)

解：?.?∏ι%2_(2m-l)χ+m-2=O是一元二次方程，

?m≠O,

;一元二次方程m/一(2m-I)X÷m-2=O有兩個不相等的實數(shù)，

.??Δ=62-4αc>0,

即：[―(2m—