2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】系列專題1.1 集合與常用邏輯用語【七大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專題1.1集合與常用邏輯用語【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1集合中元素個數(shù)問題】 3【題型2子集的個數(shù)問題】 5【題型3集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】 6【題型4集合中的含參問題】 7【題型5集合的新定義問題】 8【題型6充分條件與必要條件】 9【題型7全稱量詞與存在量詞命題】 111、集合集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點，常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現(xiàn)在高考的第1題，以簡單題為主。2、常用邏輯用語常用邏輯用語是高考數(shù)學(xué)的重要考點，常見于考查真假命題的判斷；全稱量詞命題、存在量詞命題以及命題的否定；偶爾涉及充分條件與必要條件以及根據(jù)描述進(jìn)行邏輯推理等，中等偏易難度。但一般很少單獨考查，常常與函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何等知識交匯，熱點是“充要條件”,考生復(fù)習(xí)時需多注意加強(qiáng)這方面練習(xí)?！局R點1集合】1．集合與元素(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本關(guān)系(1)子集：若對于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；(2)真子集：若A?B，且A≠B，則A?B；(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B；(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語言集合語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補(bǔ)集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補(bǔ)集{x|x∈U，x?A}?UA【知識點2常用邏輯用語】1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．3．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”4.存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”5．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．【題型1集合中元素個數(shù)問題】【例1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10，Q=2,3,5，則集合T=xyx∈P,y∈Q中元素的個數(shù)為（

）A．30 B．28 C．26 D．24【解題思路】根據(jù)題意得到P=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，再結(jié)合T=【解答過程】P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10=因為T=xy當(dāng)x∈P,y=2時，xy為偶數(shù)，共有10個元素.當(dāng)x∈P,y=3時，xy為奇數(shù)，此時xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10個元素.當(dāng)x∈P,y=5時，xy為奇數(shù)，此時xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重復(fù)數(shù)字15,45，去掉，共有8個元素.綜上T=xyx∈P,y∈Q中元素的個數(shù)為故選：B.【變式1-1】（2023上·遼寧大連·高一校考階段練習(xí)）已知A是由0，m，m2?3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【解題思路】由2∈A，可得m=2或m2?3m+2=2【解答過程】因為集合A是由0，m，m2所以A=0,m,m2所以m=2或m2?3m+2=2，解方程可得m=2或m=0或當(dāng)m=2時，A=0,2當(dāng)m=0時，A=0,2當(dāng)m=3時，A=0,3,2，滿足題意，∴m=3故選：B.【變式1-2】（2022上·河南商丘·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A=xax2A．98 B．0 C．98或0【解題思路】集合A有一個元素，即方程ax2-3x+2=0【解答過程】集合A有一個元素，即方程ax當(dāng)a=0時，A當(dāng)a≠0時，a則Δ=9-8a=0，解得：綜上可得：a=0或a故選：C.【變式1-3】（2023·河北·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測）若集合U有71個元素，S,T?U且各有14，28個元素，則?S∪TS∩T的元素個數(shù)最少是（A．14 B．30 C．32 D．42【解題思路】根據(jù)集合中的元素以及交并補(bǔ)運(yùn)算的性質(zhì)即可求解.【解答過程】設(shè)S∩T=M,M中有x個元素，則0≤x≤14,x∈N所以S∪T中的元素個數(shù)為14+28?x=42?x，因此?S∪TS∩T中的元素個數(shù)為S∪T中的元素減去S∩T中的元素個數(shù)，即為由于0≤x≤14,x∈N，所以42?2x∈14,42，故當(dāng)故選：A.【題型2子集的個數(shù)問題】【例2】（2023·河南·校聯(lián)考二模）集合A=x1<xA．3 B．4 C．7 D．8【解題思路】解不等式可求得集合A，由集合元素個數(shù)與子集個數(shù)的關(guān)系直接求解即可.【解答過程】∵A=x∴集合A的子集個數(shù)為23故選：D.【變式2-1】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）滿足條件{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合A有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【解題思路】根據(jù)子集的定義即可得解.【解答過程】解：∵{2,3}?A?{1,2,3,4}，∴A={1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4}或{2,3}，共4個．故選：C．【變式2-2】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，則a+b等于（

A．1 B．3 C．4 D．6【解題思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答過程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b所以a+b+a+b=12，解得a+b=6.故選：D.【變式2-3】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合A=a1,a2,a3,A．?1,3,5,8 B．?3,0,2,6 C．4,8,10,13 D．7,10,12,16【解題思路】不妨設(shè)a1<a【解答過程】不妨設(shè)a1則A的所有三元子集為a1由題意可得a1+a因此集合A=?3,0,2,6故選：B.【題型3集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】【例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知集合A=x?3<x≤4,B=xx>?1A．?1,4 B．?1,4 C．?3,?1 D．?3,?1【解題思路】根據(jù)交集概念進(jìn)行計算.【解答過程】因為A=x所以A∩B=?1,4故選：A．【變式3-1】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)集合A=x|x?1≤1，集合B=x|x≥?1，則A∪B=（A．?∞,?1∪2,+∞ B．[?1,2] 【解題思路】利用并集定義即可求得A∪B.【解答過程】A=x|x?1≤1則A∪B=故選：C.【變式3-2】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知全集U={x∈N∣0<x≤6}，集合A=1,2,3,4,B=1,3,5A．6 B．1,6 C．2,4,5,6 D．1,2,4,5,6【解題思路】根據(jù)集合的并集運(yùn)算求得A∪B，再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求得答案.【解答過程】由題意知U=1,2,3,4,5,6所以?U故選：A.【變式3-3】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）設(shè)全集U=R，集合M=xx>?1，N=x?2<x<3，則A．?UM∩N C．M∩?UN【解題思路】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可結(jié)合選項逐一求解.【解答過程】由題意可得M∩N=x?1<x<3,?UM=x對于A,?UM∩N=x對于B，?UM∪N=對于C，M∩?對于D，N∪?故選：B.【題型4集合中的含參問題】【例4】（2023·陜西咸陽·武功縣?？寄M預(yù)測）已知集合A=x?1<x<4，B=xx?2a<0，若A∩B=?，則實數(shù)A．a(chǎn)a>12 B．a(chǎn)a<?12【解題思路】先求出集合B，再利用A∩B=?可得實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】由x?2a<0，得x<2a，所以B=x因為A∩B=?，所以2a≤?1，故a≤?1故選：C．【變式4-1】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合A=x∈N|x<2,B=x∣ax?1=0，若BA．12或1 B．0或1 C．1 D．【解題思路】先求得合A=0,1，再分a=0和a≠0【解答過程】解：由集合A=x∈對于方程ax?1=0，當(dāng)a=0時，此時方程無解，可得集合B=?，滿足BA；當(dāng)a≠0時，解得x=1a，要使得BA，則滿足1a所以實數(shù)a的值為0或1.故選：B.【變式4-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市?？寄M預(yù)測）若集合A=x2a+1≤x≤3a?5,B=x5≤x≤16,則能使A?BA．a(chǎn)2≤a≤7 B．a(chǎn)6≤a≤7 C．a(chǎn)a≤7【解題思路】考慮A=?和A≠?兩種情況,得到不等式組,解得答案.【解答過程】當(dāng)A=?時,即2a+1>3a?5,a<6時成立;當(dāng)A≠?時,滿足2a+1≤3a?53a?5≤162a+1≥5,解得綜上所述:a≤7.故選:C.【變式4-3】（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合A={x∈Z|?1<x<3}，B={x|3x?a<0}，且A∩?RBA．0,4 B．0,4 C．0,3 D．0,3【解題思路】先求得A={0,1,2},B={x|x<a3}，得到?【解答過程】由集合A={x∈Z|?1<x<3}={0,1,2}，可得?R因為A∩?RB=1,2，所以0<a3故選：C.【題型5集合的新定義問題】【例5】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義集合A÷B=zz=xy,x∈A,y∈B．已知集合A=4,8，A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)題中條件，直接進(jìn)行計算即可.【解答過程】因為A=4,8，B=所以A÷B=1,2,4,8，故A÷B故選：B【變式5-1】（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合A?B=xx∈A且x?B，已知集合U=x?3<x<7,x∈Z，E=?1,0,2,4,6，A．?2,0,1,3,4,5 B．0,1,3,4,5 C．?1,2,6 D．?2,0,1,3,4【解題思路】結(jié)合新定義可知E?F=?1,2,6，求得U【解答過程】結(jié)合新定義可知E?F=?1,2,6，又U=所以?U故選：A.【變式5-2】（2023·全國·校聯(lián)考三模）如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義集合A?B為陰影部分表示的集合．若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4，B=2,3,4,5,6,7，則A?B=A．2,4,6,1 B．2,4,6,9 C．2,3,4,5,6,7 D．1,2,4,6,9【解題思路】分析可知A?B=xx∈A∪B,x?A∩B，求出集合A、A∪B【解答過程】由韋恩圖可知，A?B=x因為A=xx=2n+1,n∈N,n≤4=則A∪B=1,2,3,4,5,6,7,9，A∩B=3,5,7，因此，故選：D.【變式5-3】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）對于數(shù)集A，B，定義A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B，A÷B={x|x=ab，a∈A,b∈B，若集合A=1,2，則集合(A+A)÷A中所有元素之和為（A．102 B．152 C．212【解題思路】由題意，理解新定義，可得(A+A)={2，3，4}，通過A÷B的集定義與集合運(yùn)算即可得出結(jié)論.【解答過程】試題分析：根據(jù)新定義，數(shù)集A，B，定義A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B，A÷B={x|x=ab，a∈A,b∈B，集合A=1,2，(A+A)={2，3，4}，(A+A)÷A={1，2，3，4，1.5}，則可知所有元素的和為故選：D.【題型6充分條件與必要條件】【例6】（2023·山東德州·德州市校聯(lián)考模擬預(yù)測）若a>0，則“a2<b2”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】舉出反例得到充分性不成立，a<?b兩邊平方得到必要性成立.【解答過程】若a=1,b=2，滿足a2<b因為a>0，若0<a<?b，兩邊平方得a2則“a2<b故選：B．【變式6-1】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知命題p：?x∈?4,2，12x2?a≥0A．a(chǎn)≤?2 B．a(chǎn)≤0 C．a(chǎn)≤8 D．a(chǎn)≤16【解題思路】先分離參數(shù)求出a的取值范圍，則p為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是?∞【解答過程】由題設(shè)命題為真，即a≤12x所以a≤1則p為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是?∞故選：A．【變式6-2】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知集合A=xx2?4=0，B=xax?2=0，若x∈A是A．?1,0,1 B．?1,1 C．1 D．?1【解題思路】由題意，對集合B分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的a的值即可．【解答過程】由題，A=?2,2，BA當(dāng)B=?時，有a=0，符合題意；當(dāng)B≠?時，有a≠0，此時B=2a，所以2a=2或綜上，實數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為?1,0,1.故選：A.【變式6-3】（2023·江蘇南京·南京校考模擬預(yù)測）設(shè)A，B，C，D是四個命題，若A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，則D是C的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用充分條件必要條件之間的關(guān)系進(jìn)行推理判斷即可.【解答過程】因為A是B的必要不充分條件，所以B?A，A推不出B，因為A是C的充分不必要條件，所以A?C，C推不出A，因為D是B的充要條件，所以D?B，B?D，所以由D?B，B?A，A?C可得D?C，由C推不出A，A推不出B，B?D可得C推不出D.故D是C的充分不必要條件.故選：B.【題型7全稱量詞與存在量詞命題】【例7】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知命題p:?x∈R,sinx+3cosx≤1A．?x∈R,sinx+3C．?x∈R,sinx+3【解題思路】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【解答過程】解：因為命題p:?x∈R,sin所以?p為?x∈R,sin故選：B．【變式7-1】（2023·河北·模擬預(yù)測）命題p：?x>1，x+2x?3>0，命題q：?x∈R，2x2A．p真q真 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q假【解題思路】對于命題p：根據(jù)特稱命題結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對于命題q：根據(jù)存在命題結(jié)合二次函數(shù)的Δ判別式分析判斷.【解答過程】對于命題p：令t=x>1，則y=t+2t且y|x=1=0所以?x>1，x+2x?3>0，即命題p對于命題q：因為Δ=所以方程2x2?4x+3=0故選：D.【變式7-2】（2022上·廣西柳州·高二校考學(xué)業(yè)考試）已知命題P的否定為“?x∈R,xA．命題P為“?x∈R,xB．命題P為“?x?R,xC．命題P為“?x∈R,xD．命題P為“?x∈R,x【解題思路】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題排除AD,再舉出反例即可得到答案.【解答過程】∵命題P的否定為特稱命題,∴P:?x∈R,x2因為當(dāng)x=0時,x2∴P為假命題,排除B.故選:C.【變式7-3】（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知命題p:?x∈R，x2+1≥a，若?p為真命題，則a的取值范圍是（A．?∞,1 B．?∞,1 C．【解題思路】根據(jù)全稱命題的否定得到?p，然后將存在問題轉(zhuǎn)化為最值問題，求出x2【解答過程】?p：?x∈R，x因為?p為真命題，所以x2+1min故選：C.1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x?1<0}，則A．{x∣?2≤x<1} C．{x∣x≥?2} 【解題思路】先化簡集合M,N，然后根據(jù)交集的定義計算.【解答過程】由題意，M={x∣x+2≥0}={x|x≥?2}，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，M∩N={x|?2≤x<1}.故選：A.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集U=0,1,2,4,6,8，集合M=0,4,6,N=0,1,6，則A．0,2,4,6,8 B．0,1,4,6,8 C．1,2,4,6,8 D．U【解題思路】由題意可得?UN的值，然后計算【解答過程】由題意可得?UN=2,4,8故選：A.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6}，則A∪B=（

）A．{2} B．{1,2} C．{2,4,6} D．{1,2,4,6}【解題思路】利用并集的定義可得正確的選項.【解答過程】A∪B=1,2,4,6故選：D.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合U=R，集合M=xx<1，N=x?1<x<2，則A．?UM∪N C．?UM∩N 【解題思路】由題意逐一考查所給的選項運(yùn)算結(jié)果是否為x|x≥2即可.【解答過程】由題意可得M∪N=x|x<2，則??UM=x|x≥1M∩N=x|?1<x<1，則?UM∩N?UN=x|x≤?1或x≥2，則M∪?U故選：A.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考