必修５解答題三角形第一章

必修５解答題第一章６６題一、解答題1、在銳角三角形ABC中,A＝2B,a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,求eq\f(a,b)的取值范圍．2、在中,已知,,解此三角形。3、在中,已知,解此三角形。4、在△ABC中,求證：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA)、5、在△ABC中,已知a2tanB＝b2tanA,試判斷△ABC的形狀．6、在△ABC中,a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a＝2,C＝eq\f(π,4),coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5),求△ABC的面積S、7、在△ABC中,已知a＝2eq\r(3),b＝6,A＝30°,解三角形．8、在△ABC中,已知a＝2eq\r(2),A＝30°,B＝45°,解三角形．9、△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知b2＝ac且cosB＝eq\f(3,4)、(1)求eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)的值；（2）設(shè)·=,求a+c的值、10、在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊的長(zhǎng),cosB=,且·＝－21、(1)求△ABC的面積；(2)若a＝7,求角C、11、在△ABC中,求證：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin(A－B),sinC)、12、如圖,某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°,距離為12eq\r(6)nmile,在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°,距離為8eq\r(3)nmile,貨輪由A處向正北航行到D處時(shí),再看燈塔B在北偏東120°方向上,求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．13、測(cè)山上石油鉆井的井架的高,從山腳測(cè)得m,塔頂?shù)难鼋鞘牵罝ＢＣ已知山坡的傾斜角是ＡDＢＣ．14、(6739)第4題、如圖,貨輪在海上以35nmile/h的速度沿著方位角（從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角）為的方向航行．為了確定船位,在B點(diǎn)觀察燈塔A的方位角是,航行半小時(shí)后到達(dá)Ｃ點(diǎn),觀察燈塔A的方位角是．求貨輪到達(dá)Ｃ點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離（精確到１nmile）．CBACBA15、輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開(kāi)海港C,兩艘輪船的航行方向之間的夾角為,輪船A的航行速度是25nmile/h,輪船B的航行速度是15nmile/h,下午2時(shí)兩船之間的距離是多少？16、一架飛機(jī)從A地飛到B到,兩地相距700km．飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層,從機(jī)場(chǎng)起飛后,就沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向飛行,飛行到中途,再沿與原來(lái)的飛行方向成夾角的方向繼續(xù)飛行直到終點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)路程700km遠(yuǎn)了多少？A700kmA700km21BC17、一架飛機(jī)在海拔8000m的高度飛行,在空中測(cè)出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是,計(jì)算這個(gè)海島的寬度． 8000m278000m27PQ18、如圖所示,在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α,在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β、已知鐵塔BC部分的高為h,求山高CD、19、已知在△ABC中,A＝45°,AB＝eq\r(6),BC＝2,解此三角形．20、在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD＝eq\f(1,2)DC,∠ADB＝120°,AD＝2、若△ADC的面積為3－eq\r(3),求∠BAC、21、一個(gè)人在建筑物的正西點(diǎn),測(cè)得建筑物頂?shù)难鼋鞘?這個(gè)人再?gòu)狞c(diǎn)向南走到點(diǎn),再測(cè)得建筑物頂?shù)难鼋鞘?設(shè),間的距離是．22、飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔20250m,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?經(jīng)過(guò)150s后又看到山頂?shù)母┙菫?求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到1m）．23、一架飛以326km/h的速度,沿北偏東的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行,18min以后,飛機(jī)由于天氣原因按命令改飛另一個(gè)城市C,問(wèn)收到命令時(shí)飛機(jī)應(yīng)該沿什么航向飛行,此時(shí)離城市C的距離是多少？24、A,B兩地相距2558m,從A,B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖）,飛機(jī)離兩個(gè)探照燈的距離是多少？飛機(jī)的高度是多少？A76.5A76.5B25、為測(cè)量某塔的高度,在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖所示,求塔的高度．26、如圖,已知一艘船從30nmile/h的速度往北偏東的A島行駛,計(jì)劃到達(dá)A島后停留10min后繼續(xù)駛往B島,B島在A島的北偏西的方向上．船到達(dá)Ｃ處時(shí)是上午10時(shí)整,此時(shí)測(cè)得B島在北偏西的方向,經(jīng)過(guò)20min到達(dá)Ｄ處,測(cè)得B島在北偏西的方向,如果一切正常的話(huà),此船何時(shí)能到達(dá)B島？30603060BCA20min27、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2,BC＝6,CD＝DA＝4,求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．28、如圖所示,為了解某海域海底構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線(xiàn)上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50m,BC＝120m,于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m,于B處測(cè)得水深BE＝200m,于C處測(cè)得水深CF＝110m,求∠DEF的余弦值．29、江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30°角,求兩條船之間的距離．30、如圖,在山腳測(cè)得出山頂?shù)难鼋菫?沿傾斜角為的斜坡向上走米到,在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?求證：山高．ＡＱBＣＰＡＱBＣＰ31、如圖,一艘船以32、2nmile/h的速度向正北航行．在Ａ處看燈塔Ｓ在船的北偏東的方向,30min后航行到Ｂ處,在Ｂ處看燈塔在船的北偏東的方向,已知距離此燈塔6、5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域,這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？A南A南北西東65BS32、如圖所示,甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線(xiàn)航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里．問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？33、如圖,為測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離,在河的這邊測(cè)出CD的長(zhǎng)為eq\f(\r(3),2)km,∠ADB＝∠CDB＝30°,∠ACD＝60°,∠ACB＝45°,求A、B兩點(diǎn)間的距離．34、（本題滿(mǎn)分13分）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范圍．35、在四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC=600,AC=7,AD=6,S△ADC=,求AB的長(zhǎng)、36、在ABC中,設(shè),求A的值。37、半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為0．25,求此三角形三邊長(zhǎng)的乘積38、一貨輪航行到M處,測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20里處,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行,半小時(shí)后,又測(cè)得燈塔在貨輪的北偏東45°,求貨輪的速度39、（本題滿(mǎn)分12分）在中,a比b大２,b比c大２,且最大角的正弦值是,求．40、（本題滿(mǎn)分12分）△ABC中,D在邊BC上,且BD＝2,DC＝1,∠B＝60o,∠ADC＝150o,求AC的長(zhǎng)及△ABC的面積．41、（本題滿(mǎn)分12分）在△ABC中,BC＝a,AC＝b,a,b是方程的兩個(gè)根,且。求：(1)角C的度數(shù)；(2)AB的長(zhǎng)度。42、（本小題滿(mǎn)分13分）如圖,貨輪在海上以50海里/時(shí)的速度沿方位角（從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角）為155o的方向航行．為了確定船位,在B點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔A的方位角為125o．半小時(shí)后,貨輪到達(dá)C點(diǎn)處,觀測(cè)到燈塔A的方位角為80o．求此時(shí)貨輪與燈塔之間的距離（答案保留最簡(jiǎn)根號(hào)）。BACBAC北北155o80o125o43、在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC、(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1,試判斷△ABC的形狀．44、已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a＝2,cosB＝eq\f(3,5)、(1)若b＝4,求sinA的值；(2)若△ABC的面積S△ABC＝4,求b,c的值．45、如圖所示,我艇在A處發(fā)現(xiàn)一走私船在方位角45°且距離為12海里的B處正以每小時(shí)10海里的速度向方位角105°的方向逃竄,我艇立即以14海里/小時(shí)的速度追擊,求我艇追上走私船所需要的時(shí)間．46、（本題滿(mǎn)分13分）的周長(zhǎng)為,且．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）若的面積為,求角的度數(shù)．47、已知1≤x＋y≤5,－1≤x－y≤3,求2x－3y的取值范圍．48、為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)．飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案,包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、N間的距離的步驟．49、如圖所示,已知⊙O的半徑是1,點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,BC＝1,點(diǎn)P是⊙O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PC為邊作等邊三角形PCD,且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè)．(1)若∠POB＝θ,試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù)；(2)求四邊形OPDC面積的最大值．50、設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,a＝2bsinA、(1)求B的大?。?2)若a＝3eq\r(3),c＝5,求b、51、如圖,H、G、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,在G、H兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別為α,β,CD＝a,測(cè)角儀器的高是h,用a,h,α,β表示建筑物高度AB、52、如圖所示,已知在四邊形ABCD中,AD⊥CD,AD＝10,AB＝14,∠BDA＝60°,∠BCD＝135°,求BC的長(zhǎng)．53、在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos2C＝－eq\f(1,4)、(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時(shí),求b及c的長(zhǎng)．54、在△ABC中,若已知三邊為連續(xù)正整數(shù),最大角為鈍角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角為內(nèi)角,夾此角的兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積．55、如圖所示,△ACD是等邊三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,BD交AC于E,AB＝2、(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE、56、某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線(xiàn)方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值．57、在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c,且cosA＝eq\f(4,5)、(1)求sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A的值；(2)若b＝2,△ABC的面積S＝3,求a、58、已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a(單位：m2),其中有部分舊住房需要拆除．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房,同時(shí)也拆除面積為b(單位：m2)的舊住房．(1)分別寫(xiě)出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式．(2)如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%,則每年拆除的舊住房面積b是多少？(計(jì)算時(shí)取1、15＝1、6)59、在△ABC中,a比b長(zhǎng)2,b比c長(zhǎng)2,且最大角的正弦值是eq\f(\r(3),2),求△ABC的面積．60、已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b},(1)求a,b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0、61、已知{an}是首項(xiàng)為19,公差為－2的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和．(1)求通項(xiàng)an及Sn；(2)設(shè){bn－an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Tn、62、已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,設(shè)向量m＝(a,b),n＝(sinB,sinA),p＝(b－2,a－2)．(1)若m∥n,求證：△ABC為等腰三角形；(2)若m⊥p,邊長(zhǎng)c＝2,角C＝eq\f(π,3),求△ABC的面積．63、如圖所示,扇形AOB,圓心角AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P引平行于OB的直線(xiàn)和OA交于點(diǎn)C,設(shè)∠AOP＝θ,求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值．64、已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對(duì)邊,且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若,求的值．65、在△ABC中,內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c、已知c＝2,C＝eq\f(π,3)、(1)若△ABC的面積等于eq\r(3),求a,b、(2)若sinB＝2sinA,求△ABC的面積．66、在△ABC中,已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc,且sinA＝2sinBcosC,試確定△ABC的形狀．以下是答案一、解答題1、解在銳角三角形ABC中,A,B,C<90°,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B<90°，,2B<90°，,180°－3B<90°，))∴30°<B<45°、由正弦定理知：eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB∈(eq\r(2),eq\r(3)),故eq\f(a,b)的取值范圍是(eq\r(2),eq\r(3))．2、解析：由正弦定理,即,解得,由,,及可得,又由正弦定理,即,解得3、解析：由正弦定理,即,解得,因?yàn)?所以或,當(dāng)時(shí),,為直角三角形,此時(shí)；當(dāng)時(shí),,,所以。4、證明因?yàn)樵凇鰽BC中,eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R,所以左邊＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sin(B＋C)－sinCcosB,sin(A＋C)－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右邊．所以等式成立,即eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA)、5、解設(shè)三角形外接圓半徑為R,則a2tanB＝b2tanA?eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)?eq\f(4R2sin2AsinB,cosB)＝eq\f(4R2sin2BsinA,cosA)?sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2B?2A＝2B或2A＋2B＝π?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)、∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．6、解cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5),故B為銳角,sinB＝eq\f(4,5)、所以sinA＝sin(π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝eq\f(7\r(2),10)、由正弦定理得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10,7),所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7)、7、解a＝2eq\r(3),b＝6,a<b,A＝30°<90°、又因?yàn)閎sinA＝6sin30°＝3,a>bsinA,所以本題有兩解,由正弦定理得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2),故B＝60°或120°、當(dāng)B＝60°時(shí),C＝90°,c＝eq\r(a2＋b2)＝4eq\r(3)；當(dāng)B＝120°時(shí),C＝30°,c＝a＝2eq\r(3)、所以B＝60°,C＝90°,c＝4eq\r(3)或B＝120°,C＝30°,c＝2eq\r(3)、8、解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC),∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2\r(2)sin45°,sin30°)＝eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝4、∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°,∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(2)sin105°,sin30°)＝eq\f(2\r(2)sin75°,\f(1,2))＝2＋2eq\r(3)、9、解(1)由cosB＝eq\f(3,4),得sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq\f(\r(7),4)、由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC、于是eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sinCcosA＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sin(A＋C),sin2B)＝eq\f(sinB,sin2B)＝eq\f(1,sinB)＝eq\f(4\r(7),7)、(2)由·=得ca·cosB=由cosB＝eq\f(3,4),可得ca＝2,即b2＝2、由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cosB,得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5,∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9,∴a＋c＝3、10、解（1）∵·＝－21,∴·=21、∴·=||·||·cosB=accosB=21、∴ac=35,∵cosB=,∴sinB=、∴S△ABC=acsinB=×35×=14、(2)ac＝35,a＝7,∴c＝5、由余弦定理得,b2＝a2＋c2－2accosB＝32,∴b＝4eq\r(2)、由正弦定理：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)、∴sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(5,4\r(2))×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),2)、∵c<b且B為銳角,∴C一定是銳角．∴C＝45°、11、證明右邊＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(sinA,sinC)·cosB－eq\f(sinB,sinC)·cosA＝eq\f(a,c)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－eq\f(b,c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(a2＋c2－b2,2c2)－eq\f(b2＋c2－a2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2)＝左邊．所以eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin(A－B),sinC)、12、解(1)在△ABD中,∠ADB＝60°,∠B＝45°,由正弦定理得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°,解得CD＝8eq\r(3)≈14(nmile)．即A處與D處的距離為24nmile,燈塔C與D處的距離約為14nmile、13、在中,m,,,根據(jù)正弦定理,井架的高約為9、3m．14、在中,＝nmile,,,,根據(jù)正弦定理,,（nmile）．貨輪到達(dá)Ｃ點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離是約4、29nmile．15、70nmile．16、在中,km,,根據(jù)正弦定理,,,,（km）,所以路程比原來(lái)遠(yuǎn)了約km．17、約5821、71m．18、解在△ABC中,∠BCA＝90°＋β,∠ABC＝90°－α,∠BAC＝α－β,∠CAD＝β、根據(jù)正弦定理得：eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC),即eq\f(AC,sin(90°－α))＝eq\f(BC,sin(α－β)),∴AC＝eq\f(BCcosα,sin(α－β))＝eq\f(hcosα,sin(α－β))、在Rt△ACD中,CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝eq\f(hcosαsinβ,sin(α－β))、即山高CD為eq\f(hcosαsinβ,sin(α－β))、19、解：法一：設(shè)AC＝b,由余弦定理得4＝b2＋(eq\r(6))2－2eq\r(6)bcos45°,即b2－2eq\r(3)b＋2＝0,解得b＝eq\r(3)±1、當(dāng)b＝eq\r(3)－1時(shí),cosC＝eq\f(4＋\r(3)－12－6,2×2×\r(3)－1)＝－eq\f(1,2),C＝120°,B＝15°；當(dāng)b＝eq\r(3)＋1時(shí),cosC＝eq\f(4＋\r(3)＋12－6,2×2×\r(3)＋1)＝eq\f(1,2),C＝60°,B＝75°、綜上可得：AC＝eq\r(3)＋1,C＝60°,B＝75°或AC＝eq\r(3)－1,C＝120°,B＝15°、法二：∵eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB),∴sinC＝eq\f(ABsinA,BC)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(3),2)、∴C＝60°或120°、當(dāng)C＝60°時(shí),B＝75°,AC＝eq\f(BCsinB,sinA)＝eq\r(3)＋1、當(dāng)C＝120°時(shí),B＝15°,AC＝eq\f(BCsinB,sinA)＝eq\r(3)－1、綜上可得：AC＝eq\r(3)＋1,C＝60°,B＝75°或AC＝eq\r(3)－1,C＝120°,B＝15°、20、解：如圖所示,由S△ADC＝3－eq\r(3)和S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°,得3－eq\r(3)＝eq\f(1,2)·2·DC·eq\f(\r(3),2),∴DC＝2(eq\r(3)－1)．∴BD＝eq\f(1,2)DC＝eq\r(3)－1、在△ABD中,AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos120°＝(eq\r(3)－1)2＋4－2(eq\r(3)－1)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝6,∴AB＝eq\r(6)、在△ADC中,AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos60°＝22＋[2(eq\r(3)－1)]2－2×2×2(eq\r(3)－1)×eq\f(1,2)＝24－12eq\r(3),∴AC＝eq\r(6)(eq\r(3)－1)．在△ABC中,cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq\f(6＋24－12\r(3)－9\r(3)－12,2×\r(6)×\r(6)\r(3)－1)＝eq\f(1,2),∴∠BAC＝eq\f(π,3)、21、證明：建筑物的高是．答案：設(shè)建筑物的同度是,建筑物的底部是,則．是直角三角形,是斜邊,所以,,．所以,．22、飛行在150秒內(nèi)飛行的距離是m,根據(jù)正弦定理,,這里是飛機(jī)看到山頂?shù)母┙菫闀r(shí)飛機(jī)與山頂?shù)木嚯x．飛機(jī)與山頂?shù)暮０蔚牟钍牵?m),山頂?shù)暮０问莔．23、=km,在中,根據(jù)余弦定理：根據(jù)正弦定理：,,,．在中,根據(jù)余弦定理：,,．在中,根據(jù)余弦定理：,．,,．所以,飛機(jī)應(yīng)該以南偏西的方向飛行,飛行距離約km．CDCDBAE24、飛機(jī)離A處控照燈的距離是4801、53m,飛機(jī)離B處探照燈的距離是4704、21m,飛機(jī)的高度是約4574、23m．25、在,,（m）．根據(jù)正弦定理,,．塔的高度為（m）．26、在中,,（nmile）,根據(jù)正弦定理,,,．在中,,,．根據(jù)正弦定理,,就是,（nmile）．(nmile)．如果這一切正常,此船從Ｃ開(kāi)始到Ｂ所需要的時(shí)間為：（min）即約１小時(shí)26分59秒．所以此船約在11時(shí)27分到達(dá)Ｂ島．27、解連接BD,則四邊形面積S＝S△ABD＋S△CBD＝eq\f(1,2)AB·AD·sinA＋eq\f(1,2)BC·CD·sinC、∵A＋C＝180°,∴sinA＝sinC、∴S＝eq\f(1,2)(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA、由余弦定理：在△ABD中,BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA,在△CDB中,BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC,∴20－16cosA＝52－48cosC、又cosC＝－cosA,∴cosA＝－eq\f(1,2)、∴A＝120°、∴四邊形ABCD的面積S＝16sinA＝8eq\r(3)、28、解作DM∥AC交BE于N,交CF于M、DF＝eq\r(MF2＋DM2)＝eq\r(302＋1702)＝10eq\r(298)(m),DE＝eq\r(DN2＋EN2)＝eq\r(502＋1202)＝130(m),EF＝eq\r((BE－FC)2＋BC2)＝eq\r(902＋1202)＝150(m)．在△DEF中,由余弦定理的變形公式,得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(1302＋1502－102×298,2×130×150)＝eq\f(16,65)、即∠DEF的余弦值為eq\f(16,65)、29、解如圖所示：∠CBD＝30°,∠ADB＝30°,∠ACB＝45°∵AB＝30,∴BC＝30,BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)、在△BCD中,CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900,∴CD＝30,即兩船相距30m、30、在中,,．在中,根據(jù)正弦定理,所以山高為．31、答案：在中,mile,,根據(jù)正弦定理,,,到直線(xiàn)的距離是（cm）．所以這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行．32、解如圖所示,連結(jié)A1B2,由已知A2B2＝10eq\r(2),A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2),∴A1A2＝A2B2,又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°,∴△A1A2B2是等邊三角形,∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2)、由已知,A1B1＝20,∠B1A1B2＝105°－60°＝45°,在△A1B2B1中,由余弦定理,B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200、∴B1B2＝10eq\r(2)、因此,乙船速度的大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)(海里/小時(shí))．答乙船每小時(shí)航行30eq\r(2)海里．33、解在△BDC中,∠CBD＝180°－30°－105°＝45°,由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°),則BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)(km)．在△ACD中,∠CAD＝180°－60°－60°＝60°,∴△ACD為正三角形．∴AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)(km)．在△ABC中,由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(6,16)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8),∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．答河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間距離為eq\f(\r(6),4)km、34、解析：（Ⅰ）由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得．（Ⅱ）．由為銳角三角形知,,．,所以．由此有,所以,的取值范圍為．35、△ADC的面積∠DAC∠DAC、∠DAC,在△ABC中,可求,由余弦定理可求。36、37、設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為,則又∴38、先求∠SMN,∠SNM,∠NSM在△SMN中,,所以貨輪的速度是。39、340、解在△ABC中,∠BAD＝150o－60o＝90o,∴AD＝2sin60o＝．在△ACD中,AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7,∴AC＝．∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝41、解：1）C＝120°（2）由題設(shè)：42、．解：在△ABC中,∠ABC＝155°－125°＝30°,∠BCA＝180°－155°＋80°＝105°,∠BAC＝180°－30°－105°＝45°,BC＝＝25,由正弦定理,得∴AC＝（海里）答：船與燈塔間的距離為海里．43、解(1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c,即a2＝b2＋c2＋bc、由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA,故cosA＝－eq\f(1,2),A＝120°、(2)方法一由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC,又A＝120°,∴sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝eq\f(3,4),∵sinB＋sinC＝1,∴sinC＝1－sinB、∴sin2B＋(1－sinB)2＋sinB(1－sinB)＝eq\f(3,4),即sin2B－sinB＋eq\f(1,4)＝0、解得sinB＝eq\f(1,2)、故sinC＝eq\f(1,2)、∴B＝C＝30°、所以,△ABC是等腰的鈍角三角形．方法二由(1)A＝120°,∴B＋C＝60°,則C＝60°－B,∴sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB－eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝sin(B＋60°)＝1,∴B＝30°,C＝30°、∴△ABC是等腰的鈍角三角形．44、解(1)∵cosB＝eq\f(3,5)>0,且0<B<π,∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5)、由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB),sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2×\f(4,5),4)＝eq\f(2,5)、(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝4,∴eq\f(1,2)×2×c×eq\f(4,5)＝4,∴c＝5、由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×eq\f(3,5)＝17,∴b＝eq\r(17)、45、解設(shè)我艇追上走私船所需時(shí)間為t小時(shí),則BC＝10t,AC＝14t,在△ABC中,由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°,根據(jù)余弦定理知：(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°,∴t＝2、答我艇追上走私船所需的時(shí)間為2小時(shí)．46、解：（I）由題意及正弦定理,得①,②,兩式相減,得．（II）由的面積,得,由余弦定理,得 所以．47、解作出一元二次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤5,－1≤x－y≤3))所表示的平面區(qū)域(如圖)即可行域．考慮z＝2x－3y,把它變形為y＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)z,得到斜率為eq\f(2,3),且隨z變化的一族平行直線(xiàn),－eq\f(1,3)z是直線(xiàn)在y軸上的截距,當(dāng)直線(xiàn)截距最大且滿(mǎn)足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y取得最小值；當(dāng)直線(xiàn)截距最小且滿(mǎn)足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y取得最大值．由圖可知,當(dāng)直線(xiàn)z＝2x－3y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)A時(shí),截距最大,即z最?。夥匠探Meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1,x＋y＝5)),得A的坐標(biāo)為(2,3)．所以zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5、解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝3,x＋y＝1)),得B的坐標(biāo)為(2,－1),所以zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7、∴2x－3y的取值范圍是[－5,7]．48、解①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)．②第一步：計(jì)算AM,由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sin(α1＋α2))；第二步：計(jì)算AN、由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sin(β2－β1))；第三步：計(jì)算MN,由余弦定理MN＝eq\r(AM2＋AN2－2AM×ANcos(α1－β1))、49、解(1)在△POC中,由余弦定理,得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ,所以y＝S△OPC＋S△PCD＝eq\f(1,2)×1×2sinθ＋eq\f(\r(3),4)×(5－4cosθ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＋eq\f(5\r(3),4)、(2)當(dāng)θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2),即θ＝eq\f(5π,6)時(shí),ymax＝2＋eq\f(5\r(3),4)、答四邊形OPDC面積的最大值為2＋eq\f(5\r(3),4)、50、解(1)∵a＝2bsinA,∴sinA＝2sinB·sinA,∴sinB＝eq\f(1,2)、∵0<B<eq\f(π,2),∴B＝30°、(2)∵a＝3eq\r(3),c＝5,B＝30°、由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(3eq\r(3))2＋52－2×3eq\r(3)×5×cos30°＝7、∴b＝eq\r(7)、51、解在△ACD中,∠DAC＝α－β,由正弦定理,得eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(DC,sin(α－β)),∴AC＝eq\f(asinβ,sin(α－β))∴AB＝AE＋EB＝ACsinα＋h＝eq\f(asinβsinα,sin(α－β))＋h、52、解設(shè)BD＝x,在△ABD中,由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB,即142＝x2＋102－20xcos60°,∴x2－10x－96＝0,∴x＝16(x＝－6舍去),即BD＝16、在△BCD中,由正弦定理eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD),∴BC＝eq\f(16sin30°,sin135°)＝8eq\r(2)、53、解(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4),0<C<π,∴sinC＝eq\f(\r(10),4)、(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時(shí),由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC),得c＝4、由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)及0<C<π,得cosC＝±eq\f(\r(6),4)、由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC,得b2±eq\r(6)b－12＝0(b>0),解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))54、解(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)為n,n＋1,n＋2,最大角為θ,則cosθ＝eq\f(n2＋(n＋1)2－(n＋2)2,2·n·(n＋1))<0,化簡(jiǎn)得：n2－2n－3<0?－1<n<3、∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2,∴n＝2、∴cosθ＝eq\f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq\f(1,4)、(2)設(shè)此平行四邊形的一邊長(zhǎng)為a,則夾θ角的另一邊長(zhǎng)為4－a,平行四邊形的面積為：S＝a(4－a)·sinθ＝eq\f(\r(15),4)(4a－a2)＝eq\f(\r(15),4)[－(a－2)2＋4]≤eq\r(15)、當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí),Smax＝eq\r(15)、55、解(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°,CB＝AC＝CD,∴∠CBE＝15°、∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)、(2)在△ABE中,AB＝2,由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ABE)＝eq\f(AB,sin∠AEB),即eq\f(AE,sin(45°－15°))＝eq\f(2,sin(90°＋15°)),故AE＝eq\f(2sin30°,cos15°)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2)、56、解(1)若相遇時(shí)小艇的航行距離最小,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向?yàn)檎狈较颍鐖D所示,設(shè)小艇與輪船在C處相遇．在Rt△OAC中,OC＝20cos30°＝10eq\r(3),AC＝20sin30°＝10、又AC＝30t,OC＝vt、此時(shí),輪船航行時(shí)間t＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3),v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)、即小艇以30eq\r(3)海里/時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?2)如圖所示,設(shè)小艇與輪船在B處相遇．由題意,可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°),化簡(jiǎn),得v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900＝400(eq\f(1,t)－eq\f(3,4))2＋675、由于0<t≤eq\f(1,2),即eq\f(1,t)≥2,所以當(dāng)eq\f(1,t)＝2時(shí),v取得最小值10eq\r(13),即小艇航行速度的最小值為10eq\r(13)海里/時(shí)．57、解(1)sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A＝eq\f(1－cos(B＋C),2)＋cos2A＝eq\f(1＋cosA,2)＋2cos2A－1＝eq\f(59,50)、(2)∵cosA＝eq\f(4,5),∴sinA＝eq\f(3,5)、由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA,得3＝eq\f(1,2)×2c×eq\f(3,5),解得c＝5、由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA,可得a2＝4＋25－2×2×5×eq\f(4,5)＝13,∴a＝eq\r(13)、58、解(1)第一年末的住房面積為a·eq\f(11,10)－b＝(1、1a－b)(m2)．第二年末的住房面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·\f(11,10)－b))·eq\f(11,10)－b＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))2－beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(11,10)))＝(1、21a－2、1b)(m2)．(2)第三年末的住房面積為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))2－b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(11,10)))))·eq\f(11,10)－b＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))3－beq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(11,10)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))2)),第四年末的住房面積為a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))4－beq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(11,10)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))3)),第五年末的住房面積為a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))5－b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(11,10)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)))4))＝1、15a－eq\f(1－1.15,1－1.1)b＝1、6a－6b、依題意可知1、6a－6b＝1、3a,解得b＝eq\f(a,20),所以每年拆除的舊住房面積為eq\f(a,20)m2、59、解據(jù)題意知a－b＝2,b－c＝2,∴邊長(zhǎng)a最大,∴sinA＝eq\f(\r(3),2),∴cosA＝±eq\r(1－sin2A)＝±eq\f(1,2)、∵a最大,∴cosA＝－eq\f(1,2)、又a＝b＋2,c＝b－2,∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋(b－2)2－(b＋2)2,2b(b－2))＝－eq\f(1,2),解得b＝5,∴a＝7,c＝3,∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)、60、解(1)因?yàn)椴坏仁絘x2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b},所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且b>1、由根與系數(shù)的關(guān)系,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a).))解