江西省宜春市第九中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試卷

宜春九中（外國語學(xué)校）2020—2021學(xué)年上學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)卷（文科）考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）已知曲線C的方程為，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是A. B. C. D.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件全稱命題“”的否定是

A. B. C. D.已知點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)與線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是

．A. B. C. D.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：和直線：有可能是A. B.

C. D.已知圓的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.橢圓過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為

A. B.

C.或 D.或已知兩點(diǎn)，，若點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最小值為

A.6 B. C.8 D.以圓：與圓：相交的公共弦為直徑的圓的方程為

A. B.

C. D.若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則

A. B. C. D.2已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為A. B.2 C. D.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，，，分別與拋物線交于點(diǎn)A，B和C，D，記AB的中點(diǎn)為M，CD的中點(diǎn)為N，則的最小值是

A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為__________．已知命題p：，使；命題q：，都有給出下列結(jié)論：命題“”是真命題；命題“”是假命題；命題“”是真命題；命題“”是假命題；其中正確的序號是________．橢圓的左右焦點(diǎn)為，，，離心率為，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長為______．已知F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為______．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知集合，，且．

若是的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知雙曲線C：與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)Ⅰ求雙曲線C的方程；Ⅱ求雙曲線C的實(shí)軸長，離心率，焦點(diǎn)到漸近線的距離．

已知直線與直線的交點(diǎn)為M．

求過點(diǎn)M且到點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；

求過點(diǎn)M且與直線平行的直線l的方程．

已知圓，其中．如果圓C與圓外切，求m的值；如果直線與圓C相交所得的弦長為，求m的值．

已知橢圓C：

的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，過原點(diǎn)O作直線OP的垂線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．

求橢圓C的方程；

求的面積．

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．Ⅰ求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)記直線MA與直線MB的斜率分別為，，證明：為定值．

宜春九中（外國語學(xué)校）2020—2021學(xué)年上學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)卷答案和解析【答案】1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C

8.B 9.B 10.D 11.B 12.C 13.

14.

15.20

16.2

17.解：由是的充分條件，得，所以，

解得．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

命題“”為真命題，

，或，

解得或又．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：或．

18.解：Ⅰ雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，

設(shè)雙曲線的方程為，

代入得，

故雙曲線的方程為：．Ⅱ由方程得，，，故離心率．

其漸近線方程為；

焦點(diǎn)坐標(biāo)，解得到漸近線的距離為：．

，即．

19.解：由題意，由解得，

直線的交點(diǎn)M為，

根據(jù)題意，所求直線的斜率一定存在，

設(shè)所求直線方程為，即，

到直線的距離為2，

，

解得或，

所求直線的方程為或；

易知過點(diǎn)且與平行的直線的斜率為：，

所求的直線方程為：，即．

20.解：圓C的圓心為，半徑．因?yàn)閳AC與圓外切，所以兩圓的圓心距等于其半徑和，

即，

解得．圓C的圓心到直線的距離．因?yàn)橹本€與圓C相交所得的弦長為，所以，解得．21.解：設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，

則由題意得，

解得，

則，

所以橢圓方程為．

設(shè)，，

由及得，

所以直線l為，

由得：

因?yàn)辄c(diǎn)到直線l的距離為

所以．

22.解：Ⅰ由題意，可設(shè)拋物線C：，焦點(diǎn)，則，解得，

因此，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；Ⅱ證明：設(shè)過點(diǎn)的直線l：，設(shè)點(diǎn)、，

聯(lián)立，消去x，得，

，由韋達(dá)定理可得，．

，

因此，為定值．

【解析】1.【分析】

本題考查曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，滿足方程的解的實(shí)數(shù)對，對應(yīng)的點(diǎn)在曲線上．

直接把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，滿足方程的點(diǎn)，在曲線上，否則不在曲線上．

【解答】

解：把A、B、C、D坐標(biāo)分別代入曲線方程，只有滿足方程，

所以在曲線上．

故選A．2.解：，解得或；

當(dāng)或時(shí)，使得不成立；

當(dāng)時(shí)，使得或成立；

是的必要不充分條件．

故選：B．

先求出不等式的解集，在根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．

本題充分考查了充分必要條件，考查不等式解法，屬于基礎(chǔ)題．3.【分析】

本題考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意利用否命題的定義即可得到結(jié)果．

【解答】

解“”的否定是“”

故選B．4.【分析】本題考查了直線的傾斜角與斜率和數(shù)形結(jié)合思想．

由已知條件結(jié)合圖形，通過觀察直線傾斜角的變化，利用傾斜角與斜率間的關(guān)系得到斜率的變化情況，一般斜率的范圍與過線段端點(diǎn)的直線的斜率有直接關(guān)系．【解答】解：直線PA的斜率，直線PB的斜率，

結(jié)合圖象如下：

可得直線l的斜率k的取值范圍是或．

故選C．5.【分析】本題考查了直線的斜率、截距的意義，屬于基礎(chǔ)題．由方程看到：的斜率與的截距相同，的截距與的斜率相同，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果．【解答】解：直線：和直線：分別化為：：，：．

由方程看到：的斜率與的截距相同，

的截距與的斜率相同．

據(jù)此可判斷出：只有B滿足上述條件．

故選B．6.解：圓的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，

點(diǎn)N的坐標(biāo)為，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，

是AN的垂直平分線上的一點(diǎn)，，

又，所以點(diǎn)P滿足，即P點(diǎn)滿足橢圓的定義，

焦點(diǎn)是，，半長軸，

故P點(diǎn)軌跡方程式．

故選：D．

推導(dǎo)出P是AN的垂直平分線上的一點(diǎn)，且，由，得到點(diǎn)P滿足，從而得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)為，，半長軸的橢圓．

本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查橢圓、直線方程、垂直平分線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．7.【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系及圓的切線方程的問題，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．

將切線的斜率分為存在與不存在兩種情況討論，借助點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．

【解答】

解：圓的圓心為，半徑為1．

當(dāng)過點(diǎn)P的切線垂直于x軸時(shí)，切線斜率不存在，方程為，

因?yàn)閳A心到直線的距離為，

所以直線符合題意；

當(dāng)過點(diǎn)P的切線不垂直于x軸時(shí)，

設(shè)切線方程為，即．

由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得．

此時(shí)切線方程為：，即．

綜上所述，切線方程為或．

故選C．8.【分析】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求出圓心到直線AB的距離d，即可得出圓上的點(diǎn)到直線AB的最小距離為，再利用三角形的面積計(jì)算公式面積的最小值即可得出．

【解答】解：圓，即，令圓心為，半徑為1，

如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)的面積最小．

直線AB的方程為，即，

圓心C到直線AB的距離為，

所以P到直線AB的最小值為，因?yàn)?，的面積的最小值為．故選B．9.解：圓：與圓：，方程相減得圓與圓的公共弦所在直線的方程：．

與圓：聯(lián)立，可得圓，，公共弦為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，

故選：B．

兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，確定公共弦為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵．10.【分析】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，在涉及到與弦的斜率及中點(diǎn)有關(guān)時(shí)可以利用“點(diǎn)差法”，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

設(shè)，，，可得直線OM和AB的斜率，A，B在橢圓上，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡整理即可得到所求值．【解答】解：設(shè)，，AB中點(diǎn)為，

，

，

由AB的中點(diǎn)為M可得，

由A，B在橢圓上，可得，

兩式相減可得，

把代入可得：，

整理可得

故選D

．11.略12.【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．

聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，求出M的坐標(biāo)，同理求出N的坐標(biāo)，再利用平面向量的數(shù)量積以及基本不等式求出最小值即可．

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)，，，

，焦點(diǎn)，

由題意，直線，的斜率都存在且不為0，

可設(shè)直線AB的方程為，

把直線AB：代入，

得，

可知：，

，

同理可得，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．

所以的最小值是5，

故選C．13.【分析】

本題考查兩直線垂直的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．

由兩直線垂直得出關(guān)系式求出a的值即可．

【解答】

解：由題意可得，

解得．

故答案為．14.【分析】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，首先判斷p，q的真假，利用復(fù)合命題的真假判斷即可求解．

【解答】解：命題p：，使，錯(cuò)誤，命題q：，都有正確．故正確．15.【分析】

由橢圓性質(zhì)列出方程組，求出a，再由橢圓定義得的周長為4a，由此能求出結(jié)果．

本題考查三角形周長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義及性質(zhì)的合理運(yùn)用．

【解答】

解：橢圓的左右焦點(diǎn)為，，，離心率為，

，解得，，，

過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，

的周長為．

故答案為：20．16.【分析】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．

利用已知條件求出A，B的坐標(biāo)，通過AB的斜率為3，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．

【解答】

解：F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，

B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．所以，

若AB的斜率為3，可得：，

，代入上式化簡可得，，

可得，，

解得．

故答案為：2．17.本題考查了集合之間的關(guān)系、不等式的解法、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由是的充分條件，根據(jù)，即可得出．

由命題“”為真命題，可得，或，即可得出．18.Ⅰ由題意設(shè)雙曲線的方程，代入M的坐標(biāo)，即可求解雙曲線方程．Ⅱ利用雙曲線方程，然后求解雙曲線C的實(shí)軸長，離心率，焦點(diǎn)到漸近線的距離．

本題考查雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．19.本題考查了直線方程的求法，涉及兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法，點(diǎn)到直線距離公式運(yùn)用，兩直線平行斜率關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

先將直線聯(lián)立，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，然后設(shè)出所求直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式建立關(guān)于k的方程求解即可；

先根據(jù)直線平行的關(guān)系得到所求直線的斜率，然后用點(diǎn)斜式寫出所求直線方程即可求解．20.本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

化簡求得圓心及半徑，由圓C與圓相外切，則兩圓的圓心距等于其半徑和，即可求得m的值；

利用點(diǎn)到直線的距離公式求得C到直線的距離，根據(jù)弦長公式即可求得m的值．21.本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力屬于中檔題．

運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式以及離心率公式，可得a，c的值，由a，b，c的關(guān)