第4章 正弦交流電路教材

確定不同參數(shù)和不同結(jié)構(gòu)的各種正弦交流電路中電壓和電流的關(guān)系以及功率。建立“交流”的概念。第4章正弦交流電路正弦交流電路含有正弦電源（激勵(lì)）而且電路各部分所產(chǎn)生的電壓和電流（響應(yīng)）均按正弦規(guī)律變化的電路。目的和任務(wù)關(guān)鍵參考方向：正半周時(shí)的方向。

負(fù)半周時(shí)，參考方向與實(shí)際方向相反。

正半周時(shí)，參考方向與實(shí)際方向相同。2.實(shí)際方向：電壓實(shí)際方向用“+”“-”表示。電流實(shí)際方向用虛線表示。0i,ut+_uiR正半周§4.1正弦電壓和電流正弦電壓和電流的方向uiR負(fù)半周3.正弦電壓和電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量一、頻率與周期周期：正弦量變化一次所需要的時(shí)間。記為T，常用單位：秒。頻率：每秒內(nèi)變化的次數(shù)。記為f，單位：赫茲（Hz）角頻率：每秒內(nèi)經(jīng)歷的弧度數(shù)，記為ω，單位：弧度/秒（rad/s）正弦量三要素：頻率(周期)——變化快慢幅值(有效值)——正弦量大小初相位——正弦量初始值正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時(shí)值，用小寫(xiě)字母表示，如e、i、u分別表示電動(dòng)勢(shì)、電流和電壓的瞬時(shí)值。瞬時(shí)值中最大的值稱為幅值或最大值，如Em、Im、Um分別表示電動(dòng)勢(shì)、電流和電壓的幅值。正弦交流量的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：a=Amsin(

t+ψ

)二、幅值與有效值有效值是從電流的熱效應(yīng)來(lái)規(guī)定的：在同一周期時(shí)間內(nèi)，正弦交流電流i和直流電流I對(duì)同一電阻具有相同的熱效應(yīng)，就用I表示i的有效值。注意：該式只適用于周期量，不適用于非周期量。i=Imsin(

t)u=Umsin(

t)正弦量是隨時(shí)間變化的，選取不同的計(jì)時(shí)零點(diǎn)，正弦量的初始值就不同。為加以區(qū)分引入相位及初相位的物理量。0it+_正弦電流的一般表達(dá)式為其中(

t+

)為正弦電流的相位，

稱為初相位。兩個(gè)同頻率正弦量的相位比較：對(duì)于三、初相位定義

=(

1–

2)為相位差或初相差。正弦交流電的廣泛應(yīng)用，是因?yàn)槠潆娏Φ漠a(chǎn)生、傳輸和變換既方便快捷又靈活簡(jiǎn)單，不僅電阻電路中的響應(yīng)為正弦量，也在電感及電容電路中為正弦量響應(yīng)。當(dāng)

=(

1–

2)>0

時(shí)，稱u

比i

超前

角；當(dāng)

=(

1–

2)<0

時(shí)，稱u

比i

滯后

角；當(dāng)

=(

1–

2)=0

時(shí)，稱u

與i

同相。當(dāng)

=(

1–

2)=180°

時(shí)，稱u

與i

反相(相位相反)，或相差180°對(duì)于在復(fù)數(shù)平面建立直角坐標(biāo)系OX為實(shí)軸、OY為虛軸。設(shè)在復(fù)平面上一復(fù)數(shù)A(a,b)在直角坐標(biāo)系上可表示為jyx0AabA=a+jb用極坐標(biāo)系則表示為A=r/

變換關(guān)系為：或：§4.2正弦量的相量表示法一、復(fù)數(shù)jyx0Aab

A=r(cos

+jsin

)考慮歐拉公式：可改寫(xiě)為：A=re

j

或簡(jiǎn)記為：A=r

由此可得到復(fù)數(shù)的三種表示法，即直角坐標(biāo)式、指數(shù)式及極坐標(biāo)式，三者可以互換。其中直角坐標(biāo)式便于進(jìn)行加減運(yùn)算、指數(shù)式及

極坐標(biāo)式便于進(jìn)行乘除運(yùn)算。A=a+jb為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量，表示方法是在大寫(xiě)字母上打“.”或(幅值電壓相量)(有效值電壓相量)正弦量u=Umsin(

t+

)的相量式為：由幅值（或有效值）和初相位確定注意：相量只能表示正弦量，不等于正弦量。二、相量Why按照各個(gè)正弦量的大小和相位關(guān)系畫(huà)出的若干個(gè)相量的圖形，稱為相量圖。注意：只有同頻率的正弦量才能畫(huà)在同一相量圖上，不同頻率的正弦量不能畫(huà)在一個(gè)相量圖上，否則無(wú)法比較和計(jì)算。三、相量圖jyx0j=ej90°

j×j=j2=ej90°×ej90°=ej180°=–1

oxjyjj2–1–jj3j41同理及由此，可認(rèn)為虛單位j是復(fù)平面上角度為90°的旋轉(zhuǎn)因子。乘以j是向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；乘以(-j)是向順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°。即j—虛部單位例4.2.1

對(duì)如圖電路，設(shè)試求總電流i。解：ii1i2由KCL求i的相量則有如圖，選擇電流和電壓的參考方向。根據(jù)歐姆定律可得Riu或即電阻端電壓與其電流成正比。若設(shè)則顯然或§4.3單一參數(shù)的交流電路一、電阻元件的交流電路用相量表示比較上面，可知交流電路中的電阻，其電流和電壓相位相同。這就是相量形式的歐姆定律。也可寫(xiě)成或或且或或電阻的瞬時(shí)功率為瞬時(shí)功率是在一個(gè)直流分量UI的基礎(chǔ)上，另加一個(gè)幅值為UI的正弦量。但總有p

0。電阻在交流電路中的功率特性(1)瞬時(shí)功率在任意瞬時(shí)，電壓瞬時(shí)值u與電流瞬時(shí)值

i的乘積，稱為瞬時(shí)功率，用字母p表示。交流電路中電阻元件的平均功率為例一100

電阻接入50Hz、有效值為10V的電源上，問(wèn)電流是多少？若頻率改為5000Hz呢？因電阻與頻率無(wú)關(guān)，所以(2)平均功率在一個(gè)周期內(nèi)，電路消耗電能的平均速率，即瞬時(shí)功率的平均值，稱為平均功率。iueLL當(dāng)線圈中有電流i通過(guò)時(shí)，產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)eL。應(yīng)用基爾霍夫定律可列出方程：當(dāng)設(shè)電流為參考相量時(shí)則電感端電壓為L(zhǎng)—電感，單位：亨利(H)二、電感元件的交流電路計(jì)算得u

2

t寫(xiě)成相量，有比較上面，在電感元件電路中，相位上電壓比電流超前90

(相位差=+90)。前已導(dǎo)出及其中由前兩式得其中稱為感抗。其值（大小）與頻率和感抗值成正比。電感電路相量形式的歐姆定律稱為復(fù)感抗。

注意：感抗只是電壓與電流幅值或有效值之比，而非瞬時(shí)值之比，因?yàn)殡妷号c電流非線性關(guān)系，是導(dǎo)數(shù)關(guān)系。分析計(jì)算交流電路時(shí)，選擇電壓或電流作為參考相量均可。電感上電壓與電流的相量關(guān)系圖對(duì)電感的分析由XL=ωL，電感線圈對(duì)高頻信號(hào)(f很大)阻礙作用很大，對(duì)直流(f=0)可視為短路。由電感元件的電壓和電流的變化規(guī)律，可知電感元件瞬時(shí)功率的變化規(guī)律為：可見(jiàn)，p是以幅值為UI、角頻率為2t變化的交變量。當(dāng)u與

i的瞬時(shí)值為同號(hào)時(shí)，p0，電感元件取用功率(為負(fù)載)，磁能增加；當(dāng)u與

i的瞬時(shí)值為同號(hào)時(shí)，p0，電感元件發(fā)出功率(相當(dāng)于電源)，電感元件的磁能減少。電感電路的功率計(jì)算可見(jiàn)，電感元件在電路中沒(méi)有能量損耗，只與電源間進(jìn)行能量交換。這種能量交換的規(guī)模，用無(wú)功功率Q來(lái)衡量。即電感元件的平均功率為零。無(wú)功功率的單位是乏(Var)或千乏(kVar)。規(guī)定無(wú)功功率為瞬時(shí)功率p的幅值UI，即為加以區(qū)別平均功率亦稱為有功功率。電感元件平均功率為iuC根據(jù)電磁學(xué)理論，電壓變化時(shí)，電容器極板上的電荷量也要發(fā)生變化，在電路中要引起電流如果電容器加正弦電壓則三、電容元件的交流電路

電容元件電路中，電壓幅值（或有效值）與電流幅值（或有效值）之比稱為容抗，用XC表示：

容抗與f、C成反比，故電容元件對(duì)高頻電流(f很大)呈現(xiàn)的阻礙效果很小，對(duì)直流(f=0)呈現(xiàn)的阻礙很大，所以電流的作用是隔直通交。

電容元件中，在相位上電流比電壓超前900i

2及并考慮可得或電容電路相量形式的歐姆定律電壓與電流的相量表示關(guān)系根據(jù)電壓電流瞬時(shí)值電容電路的瞬時(shí)功率為電容電路的平均功率為電容元件的功率特性為與電感元件的無(wú)功功率進(jìn)行比較，定義電容元件的電流及電壓瞬時(shí)值分別為：和得瞬時(shí)功率為由此可見(jiàn)，電容元件的無(wú)功功率如此規(guī)定，電容性無(wú)功功率要取負(fù)值。電容元件的無(wú)功功率

電阻R電感電容參考電壓電流相量關(guān)系瞬時(shí)功率平均功率無(wú)功功率

相位關(guān)系

無(wú)同相電壓超前電流超前電阻、電感和電容在交流電路中的電特性iuuLLuRuCRCLRC§4.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路一、電流與電壓的關(guān)系——電路的阻抗單位：歐姆；對(duì)電流起阻礙作用電壓與電流相位之差阻抗模幅角阻抗Z的實(shí)部為“阻”，虛部為“抗”，它表示了電路的電壓與電流之間的大小關(guān)系（阻抗模），又表示了它們之間的相位關(guān)系（輻角）。若以電流為參考相量，則若以電壓為參考相量，則阻抗模幅角

XL>XC，則，電路呈電感性，電壓超前電流。

XL<XC，則，電路呈電容性，電流超前電壓。

XL=XC，則，電路呈電阻性，電壓電流同相。電路參數(shù)決定電路性質(zhì)設(shè)以電流為參考相量平均功率功率消耗主要由電阻R引起。瞬時(shí)功率相量圖功率因數(shù)視在功率電壓與電流有效值之積單位：伏·安(V·A)或千伏·安(kV·A)平均功率P、無(wú)功功率Q、視在功率S，意義不同，以不同單位區(qū)分。無(wú)功功率阻抗三角形電壓三角形三種功率的關(guān)系求:(1)電路的感抗、容抗和阻抗大??；

(2)電流有效值及瞬時(shí)值的表達(dá)式；

(3)各部分電壓有效值及瞬時(shí)值的表達(dá)式；

(4)作相量圖；

(5)電路的功率P和Q。例4.4.2RLC串聯(lián)電路，已知R=30,L=127mH,C=40F,

電源電壓u=220(sin314t+20o)V解：(1)

感抗容抗阻抗(2)

電流有效值相位差角電流瞬時(shí)值(3)電阻端電壓電感端電壓電容端電壓(4)相量圖如右所示：20o(5)電路的功率電路的無(wú)功功率視在功率顯然：只有：電壓相量復(fù)數(shù)阻抗電流相量R、L、C的電壓相量相量法Ci＋＋＋－－－R解：例4.4.2

有一如圖所示RC電路，R=2KΩ，C=0.1uF。輸入端接正弦信號(hào)源，U1=1V，f＝500Hz。（1）試求輸出電壓U2，并討論輸出電壓與輸入電壓間的大小與相位關(guān)系；（2）當(dāng)將電容C改為20uF時(shí)求（1）中各項(xiàng)；（3）將頻率改為4000Hz時(shí)，再求（1）中各項(xiàng)。(2)C=20uF(3)f=4000Hz(1)此圖為晶體管交流放大器中常用的RC耦合電路。串聯(lián)電容C的目的是為了隔斷直流。在傳遞交流信號(hào)時(shí)，又不希望電容C上有電壓損失（電壓降）而要求輸入電壓基本上能傳遞到輸出端。因此，要根據(jù)信號(hào)頻率選擇電容值的大小，使XC<<R。(2)此圖也是一種移相電路，U2的相位與U1不同，改變C或R的數(shù)值都能達(dá)到移相的目的。(3)輸出電壓的大小和相位隨著信號(hào)頻率的不同而發(fā)生變化。這是因?yàn)轭l率越高，容抗越小，電容C的分壓作用也就越小。說(shuō)明Z1Z2Z§4.5阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)一、阻抗的串聯(lián)注意：一般情況下即結(jié)論：通常：對(duì)于XK，感抗XL取正號(hào)，對(duì)于容抗KC取負(fù)號(hào)。分壓公式和阻抗模阻抗幅角Z1Z2+-Z+-分流關(guān)系：二、阻抗的并聯(lián)和在具有電容和電感元件的電路中，如果調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率，使電路兩端的電壓和流過(guò)的電流同相，這時(shí)電路中出現(xiàn)諧振現(xiàn)象。1.串聯(lián)諧振iuLRC§4.7交流電路的頻率特性諧振電路電源電壓和電路中電流同相，此時(shí)電路發(fā)生諧振，稱為串聯(lián)諧振。由得諧振頻率：調(diào)節(jié)電路參數(shù)L，C或電源頻率f，都可使電路發(fā)生諧振。當(dāng)XL=XC時(shí)(1)

電路的阻抗模為最小值。電路的電流為最大值。(2)諧振電路呈現(xiàn)電阻性。電源供給電路的能量全部被電阻所消耗，電源不與電路進(jìn)行能量互換，能量的互換只發(fā)生在電感線圈和電容器之間。串聯(lián)諧振的特性(3)由于XL=XC

，于是UL=UC

。而與在相位上相反，互相抵消，對(duì)整個(gè)電路不起作用。因此電源電壓U

=UR

，且相位也相同。但是，UL和UC的單獨(dú)作用不可忽視，因?yàn)榧爱?dāng)時(shí)，UL和UC都高于U。危害：UC過(guò)高擊穿電容。應(yīng)用：利用諧振，對(duì)所需頻率信號(hào)進(jìn)行放大，抑制其他信號(hào)。品質(zhì)因數(shù)串聯(lián)電路諧振時(shí)，電容或電感端電壓與電源電壓的比值稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，用Q表示收音機(jī)的調(diào)諧接收電路L1LCLCe3e1e2f3f1f2諧振選頻的說(shuō)明0.707I0I0f1

f0f2fI0I0f1

f0f0fQ大Q小通頻帶RLCuiiCi1通常線圈電阻很小，諧振時(shí)一般有

L>>R，則上式為上式分母中虛部為零時(shí)產(chǎn)生諧振，可得諧振頻率為2、并聯(lián)諧振電容器與線圈的并聯(lián)電路，其等效阻抗為(1)諧振時(shí)電路的阻抗為最大值諧振電流有最小值(2)

電路的總電壓與電流相位相同(=0)，呈現(xiàn)電阻性。(3)各并聯(lián)支路電流為及并聯(lián)諧振的特性并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)諧振時(shí)，支路電流IC或I1是總電流I0的Q倍，即諧振時(shí)，電路的阻抗模是支路阻抗模的Q倍。I0f1

f0f0fQ大Q小L、C值不變時(shí)，R越小，Q越大，阻抗模|Z0|越大，諧振曲線越尖銳，選擇性越強(qiáng)。>>故此，并聯(lián)諧振也稱電流諧振。直流電路：P=UI，電源提供的功率都被消耗掉，

利用率100%交流電路：P=UIcosψ，電源提供的功率部分被利用，余下部分用于能量交換，即

無(wú)功功率，利用率不到100%上式中的cos

是電路中的功率因數(shù)。其大小決定于電路（負(fù)載）的參數(shù)。對(duì)純阻負(fù)載功率因數(shù)為1。對(duì)其他負(fù)載來(lái)說(shuō)，其功率因數(shù)均介于0和1之間?！?.8功率因數(shù)的提高一、提高功率因數(shù)的意義(1)

發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用：發(fā)出的能量只有有功功率部分被利用。P=UNINcos

例如：一臺(tái)容量為1000VA（視在功率）的發(fā)電機(jī)，如果cos

=1，則能發(fā)出1000W的有功功率。

當(dāng)電壓與電流之間的相位差不為0時(shí)，即功率因數(shù)不等于1時(shí)，電路與電源之間就會(huì)發(fā)生能量互換，出現(xiàn)無(wú)功功率Q=UIsin

。這樣就引起了下面兩個(gè)問(wèn)題：在發(fā)電機(jī)電壓U和功率P一定時(shí)，現(xiàn)接上電容，則功率因數(shù)降為cos

=0.6，此時(shí)只能接100W的白熾燈6盞D100W10盞100V10A6盞(2)增加了線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗：線路和發(fā)電機(jī)繞組上的功率損耗△P則與功率因數(shù)的平方成反比式中的ｒ是發(fā)電機(jī)繞組和線路的電阻。由上述可知，提高電網(wǎng)的功率因數(shù)有著極為重要的意義。功率因數(shù)的提高，能使發(fā)電設(shè)備的容量得到充分利用，同時(shí)也能使電能得到大量節(jié)約。也就是說(shuō)，在同樣的發(fā)電設(shè)備的條件下能夠多發(fā)電。提高功率因數(shù)的方法：并聯(lián)靜電電容器iuRLi1CiC

功率因數(shù)不高的根本原因在于：電路中存在電感性負(fù)載。由于

的存在，與的夾角即功率因數(shù)提高注意：功率因數(shù)提高，但有功功率未變。好處：(1)

無(wú)功功率降低，能量交換發(fā)生在L與C之間，不消耗電源的能量。(2)

電流減小，損耗降低。并聯(lián)電容后，線電流例：

有一電感性負(fù)載，其功率P=10KW，功率因數(shù)cos

1=0.6，接在U=220V的電源上，電源頻率為50HZ。如要將功率因數(shù)提高到cos=0.95，應(yīng)并聯(lián)多大的電容？電容并聯(lián)前后的線路電流是多大？cos

1=0.6，即1=53ocos=0.95，即=18o并聯(lián)前電流并聯(lián)后電流cos=1，即=0o矩形波電壓鋸齒波電壓§4.9非正弦周期電壓和電流幾種典型非正弦周期信號(hào)三角波電壓全波整流電壓幾種典型非正弦周期信號(hào)一個(gè)非正弦周期函數(shù)，角頻率為，只要滿足狄里赫利條件，都可分解為下列傅立葉級(jí)數(shù)：式中，是不隨時(shí)間而變的常數(shù)，稱為恒定分量或直流分量，也就是一個(gè)周期內(nèi)的平均值；一、非正弦周期電壓和電流第二項(xiàng)的頻率與非正弦周期函數(shù)的頻率相同，稱為基波或一次諧波；其余各項(xiàng)的頻率為周期函數(shù)的整數(shù)倍，稱為高次諧波。例如，k＝2，3，……的各項(xiàng)，分別稱為二次諧波、三次諧波等等。矩形波電壓鋸齒形波電壓三角形波電壓全波整流電壓幾種常見(jiàn)非正弦周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)其中,各為基波、二次諧波等的有效值。同理，非正弦周期電壓u的有效值為：利用電流有效值定義o10解：平均值有效值例：如圖所示是一可控半波整流電壓的波形，在π/3~π之間是正弦波，求其平均值和有效值。設(shè)非正弦周期電壓和非正弦周期電流如下：則有平均功率：二、非正弦周期信號(hào)的功率結(jié)論：非正弦周期電流電路中的平均功率等于恒定分量和各正弦諧波分量的平均功率之和。為了便于分析和計(jì)算，將非正弦周期電壓和電流用等效正弦電壓和電流代替。等效條件等效正弦量的有效值等于已知非正弦周期量的有效值；等效正弦量的頻率等于已知非正弦周期量基波的頻率；等效后的功率等于電路的實(shí)際功率。三、等效正弦電壓和電流P是非正弦周期電流電路的平均功率，U和I是非正弦周