北京市順義區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題【含答案解析】

順義區(qū)2023—2024學年第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學試卷考生須知1.本試卷共6頁，共兩部分，21道小題，滿分150分.考試時間120分鐘.2.在答題卡上準確填寫學校、姓名、班級和教育ID號.3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.5.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）1.直線l：的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率即可求解傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，故傾斜角為，故選：B2.在空間直角坐標系中，已知點，若向量，則點B的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，從而得到方程組，求出，得到答案.【詳解】設，則，故，解得，所以點坐標為故選：C3.圓：與圓：的位置關系是（）A外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心距大于半徑之和，得到位置關系.【詳解】圓：的圓心為，半徑為1，圓：的圓心為，半徑為3，圓心距，故兩圓外離故選：A4.在數(shù)列中，，且，則等于（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到為公比為2的等比數(shù)列，從而求出答案.【詳解】因為，，所以為公比為2的等比數(shù)列，所以.故選：C5.在長方體中，，，，則點D到平面的距離為（）A.1 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面的法向量為，以及，由公式即可得解.【詳解】由題意，以為原點，分別為軸所在直線建立如圖所示的空間直角坐標系：因為，，，所以，則，不妨設平面的法向量為，所以，不妨令，解得，即取平面的法向量為，所以點D到平面的距離為.故選：D.6.已知雙曲線C經(jīng)過點，其漸近線方程為，則雙曲線C的方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由漸近線方程可設雙曲線為且，再由點在雙曲線上，將點代入求參數(shù)m，即可得雙曲線方程.【詳解】由題設，可設雙曲線為且，又在雙曲線上，所以，則雙曲線的方程是.故選：C.7.已知直線：，：.若，則實數(shù)（）A.0或 B.0 C. D.或2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程，求出或，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當時，直線：，：，滿足，當時，直線：，：，兩直線重合，不合要求，舍去，綜上，.故選：B8.已知等比數(shù)列的首項，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式、充分性和必要性的定義進行判斷即可.【詳解】因為等比數(shù)列公比，，所以，，當時，對于不一定恒成立，例如；當為遞減數(shù)列時，對于恒成立，又因為，所以得，因此“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件，故選：C.9.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣.立竿測影，得其最短日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，春分日影長為7.5尺，則這十二個節(jié)氣中后六個（春分至芒種）日影長之和為（）A.8.5尺 B.30尺 C.66尺 D.96尺【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列基本量列方程組、方程求解.【詳解】設這個等差數(shù)列為，公差為，首項為冬至日最短日影長，根據(jù)題意有即，解得所以.故選:B10.如圖，在正方體中，E是棱上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成角的范圍是B.直線與平面所成角的最大值為C.二面角的大小不確定D.直線與平面不垂直【答案】D【解析】【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，對于A，由直線方向向量夾角余弦的范圍即可判斷；對于B，由線面角正弦值的公式即可判斷；對于C，由兩平面的法向量夾角余弦即可判斷；對于D，由即可判斷.【詳解】以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：不妨設正方體棱長為1，，對于A，，不妨設直線與所成角為，所以，當增大時，分別減小，增大，所以關于單調(diào)遞減，所以，所以，故A錯誤；對于B，由題意，且顯然平面的法向量為，不妨設直線與平面所成角為，則單調(diào)遞增，，所以，所以，故B錯誤；對于C，，所以，不妨設平面與平面的法向量分別為，所以有和，令，解得，即取平面與平面的法向量分別為，二面角為銳角，不妨設為，則，所以二面角的大小為，故C錯誤；對于D，，所以，所以與不垂直，所以直線與平面不垂直.故選：D.【點睛】關鍵點睛：C選項的關鍵是看兩平面法向量夾角是否固定不變，由此即可順利得解.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（本題共5道小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡上.）11.已知等差數(shù)列的首項為，且，則______.【答案】24【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項公式可得.【詳解】因為是等差數(shù)列，，，設公差為d，可得，解得，所以，故答案為：24.12.已知平面的法向量為，，若直線AB與平面平行.則______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題目條件得到與垂直，從而得到方程，求出答案.【詳解】因為直線AB與平面平行，所以與垂直，即，解得.故答案為：113.已知圓C：，若直線與圓C有兩個不同的交點，寫出符合題意的一個實數(shù)k的值______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】運用直線和圓的位置關系直接求解即可.【詳解】已知直線與圓C有兩個不同的交點，且設圓心到直線的距離為，化簡圓方程得，故有，解得.故答案為：(答案不唯一)14.探照燈、汽車燈等很多燈具的反光鏡是拋物面（其縱斷面是拋物線的一部分），正是利用了拋物線的光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射之后沿對稱軸方向射出.根據(jù)光路可逆圖，在平面直角坐標系中，拋物線C：，一條光線經(jīng)過點，與x軸平行射到拋物線C上，經(jīng)過兩次反射后經(jīng)過點射出，則光線從點M到點N經(jīng)過的總路程為______.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：拋物線C：的準線，設入射光線所在直線與拋物線和準線分別交于點，兩次反射后反射光線所在直線與拋物線和準線分別交于點，可知，所以光線從點M到點N經(jīng)過的總路程為.故答案為：24.15.在數(shù)列中，若，（，，p為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，給出以下四個結(jié)論：①不是等方差數(shù)列；②若是等方差數(shù)列，則（，k為常數(shù)）是等差數(shù)列；③若是等方差數(shù)列，則（，k、l為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；④若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列也一定是等比數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)等方差數(shù)列定義可判斷①③；根據(jù)等方差數(shù)列定義結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷③④.【詳解】對于①，時，為常數(shù)，故是等方差數(shù)列，①錯誤；對于②，若是等方差數(shù)列，即有，（，，p為常數(shù)）則為常數(shù)，故（，k為常數(shù)）是等差數(shù)列，②正確；對于③，若是等方差數(shù)列，即有，（，，p為常數(shù)），則，故為常數(shù)，則（，k、l為常數(shù)）也是等方差數(shù)列，③正確；對于④，若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則時，，且（d為常數(shù)），則，當時，則為常數(shù)列，滿足是等方差數(shù)列，若，則不為等比數(shù)列，④錯誤；故答案為：②③【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于理解等方差數(shù)列的定義，明確其含義，并由此結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義求解即可.三、解答題共6道題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且滿足，，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出公比，得到通項公式；（2）設出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出首項和公差，得到答案【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為q，因為，，所以，所以，所以；【小問2詳解】等差數(shù)列的公差為d，則，，解得，，所以數(shù)列的前n項和公式為.17.已知是正方體，點E為的中點，點F為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用的數(shù)量積來判斷垂直關系；（2）利用空間向量法求二面角余弦值即可.【小問1詳解】∵是正方體，∴兩兩垂直，∴以為x軸，以為y軸，以為z軸如圖建系:設，∴，，，，，，，∴，，∴，∴【小問2詳解】平面FCB的法向量，設平面EFC的法向量，，，，令，得，；∴，設二面角的平面角為，則，∴二面角余弦值為.18.如圖，已知M是拋物線C：（）上一點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，以Fx為始邊，F(xiàn)M為終邊的，且，l為拋物線C的準線，O為原點.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線FM與拋物線C交于另一個點N，過N作x軸的平行線與l相交于點E.求證：M，O，E三點共線.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）方法1：作出輔助線，由焦半徑公式和得到為等邊三角形，求出，得到拋物線方程；方法2：過M作軸，垂足為G，設點M的橫坐標為，得到方程組，求出答案；方法3：點，求出，代入拋物線方程中，得到方程，求出，得到答案；（2）求出直線FM的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到M，進而得到E，從而求出，，證明出結(jié)論.【小問1詳解】方法1：過M作，垂足為A，連結(jié)FA，則，因為，所以，為等邊三角形，故.因為，所以，即，故拋物線C的方程為.方法2：過M作軸，垂足為G，則.設點M的橫坐標為，根據(jù)題意得：解得.拋物線C的方程為.方法3：設點，則，因為在拋物線C上，所以，化簡得，解得或（舍）.拋物線C的方程為.【小問2詳解】證明：拋物線C的焦點，，直線FM的方程為.聯(lián)立方程得，解得，，所以，M點坐標為，E點坐標為，因為，.所以M，O，E三點共線.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關系，處理三點共線，四點共圓，或兩直線傾斜角互補或相等問題時，往往會轉(zhuǎn)化為斜率之和為0或斜率相等，進而列出方程，代入計算即可.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，是等邊三角形，平面平面，M為PC的中點.（1）求證：平面；（2）求MD與平面ABCD所成角的正弦值；（3）設點N在線段PB上，且，PA的中點為Q，判斷點Q與平面MND的位置關系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）點Q在平面MND內(nèi)，理由見解析【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到線線平行，進而得到線面平行；（2）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，進而得到OB，OD，OP兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，得到線面角的正弦值；（3）求出平面MND的法向量為，計算出，得到，從而得到點Q在平面內(nèi).【小問1詳解】連接交于E，連接.∵四邊形是菱形，∴E為中點，∵M是線段中點，∴ME是中位線，∴，又∵平面，平面，∴平面.【小問2詳解】取中點O，連接、，∵是等邊三角形，∴.∵四邊形是菱形，，∴是等邊三角形.∴.∵平面平面，平面平面，在平面內(nèi)，∴平面.∵平面，∴⊥，∴，，兩兩垂直.∴以為坐標原點，以為x軸，以為y軸，以為z軸建立坐標系.如圖，∴，，，，，，，∴∴平面的法向量為.設與平面所成角為，則.∴與平面所成角正弦值.【小問3詳解】點Q在平面內(nèi)，理由如下：連接，∵，∴，∴，設平面的法向量為，則，令得，，∴.∵的中點為Q，∴，.∴.∴.∵D在平面內(nèi)，∴DQ在平面內(nèi).∴點Q在平面內(nèi).20.已知橢圓E：（）與y軸的一個交點為，離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）設過點A的直線l與橢圓E交于點B，過點A與l垂直的直線與直線交于點C.若為等腰直角三角形，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點和離心率求出橢圓方程；（2）方法1，設出l的方程與橢圓聯(lián)立方程組，求出點的坐標，根據(jù)為等腰直角三角形列式運算得解；方法2，過點A作直線的垂線，垂足為D，再過點B作直線的垂線，垂足為F，易判斷，可得，求出點坐標，得解.【小問1詳解】由已知得解得，.所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】方法1：由題意可知，直線l與y軸不垂直，又當l與x軸垂直時，顯然.所以，設直線l的方程為（），聯(lián)立方程，消去y整理得（*），易得，設點，則由點及方程（*）的根與系數(shù)的關系得，，，因為，所以直線的方程為，將代入，解得.故點C的坐標為.由為等腰直角三角形知，即，化簡整理得，即，解得所以直線l的方程為或.方法2：由題意可知，直線l與y軸不垂直，又當l與x軸垂直時，顯然.過點A作直線的垂線，垂足為D，再過點B作直線的垂線，垂足為F.因為，所以.當時，易判斷.所以.由，求得，由此可知點B的坐標為或，直線l的斜率或，所以直線l的方程為或.【點睛】關鍵點睛：本題第二問方法二，關鍵利用點到直線的距離為1，利用圖形構(gòu)造全等三角形得到點B的坐標為或，得到直線l的方程.21.設數(shù)列的前n項和為.若對任意.總存在.使得.則稱是“M數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列（）是不是“M數(shù)列”，并說明理由；（2）設是等差數(shù)列，其首項.公差.且是“M數(shù)列”①求d的值和數(shù)列的通項公式：②設，直接寫出數(shù)列中最小的項.【答案】（1）不是，理由見解析（2）①，；②【解析】【分析】（1