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廣西壯族自治區(qū)貴港市平南縣丹竹中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果命題“¬(p∨q)”為假命題,則()A.p,q均為真命題 B.p,q中至少有一個(gè)為真命題C.p,q均為假命題 D.p,q中至多有一個(gè)為真命題參考答案:B【考點(diǎn)】2E:復(fù)合命題的真假.【分析】命題“¬(p∨q)”為假命題,可得命題p∨q為真命題,進(jìn)而得出結(jié)論.【解答】解:∵命題“¬(p∨q)”為假命題,∴命題p∨q為真命題,∴p,q中至少有一個(gè)為真命題.故選:B.2.過橢圓的左頂點(diǎn)A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F,若則橢圓離心率的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2=1,則的取值范圍是()A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】由的幾何意義,即圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P(2,0)連線的斜率求解.【解答】解:如圖,設(shè)過P(2,0)的直線的斜率為k,則直線方程為y=k(x﹣2),即kx﹣y﹣2k=0,由坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)到直線kx﹣y﹣2k=0的距離等于1,得,解得:k=.∴的取值范圍是[].故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.4.復(fù)數(shù)z滿足,則(A)2
(B)
(C)
(D)
參考答案:C5.已知函數(shù),則的圖象大致為()A. B.C. D.參考答案:A【分析】利用特殊值,對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行排除,由此得出正確選項(xiàng).【詳解】由于,排除B選項(xiàng).由于,,函數(shù)單調(diào)遞減,排除C選項(xiàng).由于,排除D選項(xiàng).故選A.6.“”是“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”的(
)A.充分非必要條件
B.充分必要條件
C.必要非充分條件
D.非充分非必要條件參考答案:A7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知,P為函數(shù)圖象上一點(diǎn),若,則(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】由題設(shè)條件,可得點(diǎn)P是雙曲線圖象上一點(diǎn),根據(jù)雙曲線的定義,求得的值,在中,利用余弦定理,即可求解.故選C.【詳解】由題意,因?yàn)辄c(diǎn)P為函數(shù)圖象上一點(diǎn),所以點(diǎn)P是雙曲線圖象上一點(diǎn),且是雙曲線的焦點(diǎn),因?yàn)?,由雙曲線的定義,可得,解得,在中,由余弦定理得,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義,以及余弦定理的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,注意雙曲線定義和三角形中余弦定理的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.在數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí),驗(yàn)證當(dāng)時(shí),等式的左邊為()A.
B.
C.
D.
參考答案:C略9.已知F是雙曲線的右焦點(diǎn),點(diǎn)M在C的右支上,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,若,且,則C的離心率為(
)A. B. C.2 D.參考答案:D【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為運(yùn)用余弦定理可得,再由雙曲線的定義可得,即為,運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為由題意可得,,即有,即有,由雙曲線的定義可得,即為,即有,可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用余弦定理和雙曲線的定義,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.10.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則(
).A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6參考答案:B∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,即對(duì)稱軸是,,∴,∴,∴.故選.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若,其中都是實(shí)數(shù),是虛數(shù)單位,則參考答案:12.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=a,a為常數(shù),則P(﹣1≤ξ≤0)=.參考答案:【考點(diǎn)】CP:正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【分析】隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),得到曲線關(guān)于x=0對(duì)稱,根據(jù)曲線的對(duì)稱性及概率的性質(zhì)得到結(jié)果.【解答】解:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),∴曲線關(guān)于x=0對(duì)稱,∴P(ξ<﹣1)=P(ξ>1)=a,∴則P(﹣1≤ξ≤0)=.故答案為:.13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
.參考答案:.解析:原方程為,令,則,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.14.如圖,南北方向的公路l,A地在公路正東2km處,B地在A
東偏北300方向2km處,河流沿岸曲線PQ上任意一點(diǎn)到公路l和到A地距離相等?,F(xiàn)要在曲線PQ上一處建一座碼頭,向A、B兩地運(yùn)貨物,經(jīng)測(cè)算,從M到A、到B修建費(fèi)用都為a萬(wàn)元/km,那么,修建這條公路的總費(fèi)用最低是_______________萬(wàn)元.參考答案:略15.已知正數(shù)a,b滿足,則的最小值為________參考答案:24【分析】由題意可知,,結(jié)合基本不等式可求.【詳解】∵正數(shù)滿足,∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故答案為:24【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值,解答本題的關(guān)鍵是利用1的代換配湊基本不等式的應(yīng)用條件.16.把數(shù)列{}的所有數(shù)按照從大到小的原則寫成如表數(shù)表:第k行有2k﹣1個(gè)數(shù),第t行的第s個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為A(t,s),則A(11,4)=
.參考答案:【考點(diǎn)】歸納推理.【分析】第k行有2k﹣1個(gè)數(shù)知每行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,要求A(t,s),先求A(t,1),就必須求出前t﹣1行一共出現(xiàn)了多少個(gè)數(shù),根據(jù)等比數(shù)列求和公式可求,而由可知,每一行數(shù)的分母成等差數(shù)列,可求A(t,s),令t=11,s=4,可求A(11,4).【解答】解:由第k行有2k﹣1個(gè)數(shù),知每一行數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,首項(xiàng)是1,公比是2,∴前t﹣1行共有=2t﹣1﹣1個(gè)數(shù),∴第t行第一個(gè)數(shù)是A(t,1)==,∴A(t,s)=,令t=11,s=4,∴A(11,4)=.故答案為.17.從等腰直角的底邊上任取一點(diǎn),則為銳角三角形的概率為_________.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,.(1)求Sn;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.參考答案:(1)(2)【分析】(1)直接利用公式解方程得到答案.(2)由(1)知,再利用裂項(xiàng)求和得到答案.【詳解】(1)設(shè)的公差為,則,∴,,的前項(xiàng)和(2)由(1)知,∴的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和,裂項(xiàng)求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.19.(本小題滿分13分)在扶貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無(wú)債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3600無(wú)后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)。在甲提供的資料中有:①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元;②該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示;③每月需要各種開支2000元。(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額;(2)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?參考答案:設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng),則由題設(shè)得L=Q(P-14)×100-3600-2000,
①由銷量圖易得=
代入①式得L=
(1)當(dāng)時(shí),=450元,此時(shí)元,當(dāng)20<P≤26時(shí),Lmax=元,此時(shí)P=元。故當(dāng)P=19.5元時(shí),月利潤(rùn)余額最大,為450元,(2)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧,依題意有解得
n≥20即最早可望在20年后脫貧20.(本題滿分13分)已知,若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:由已知
或
3分
或
6分由已知得即且和時(shí)也滿足題意,故所求范圍為
13分21.根據(jù)下列條件求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為的拋物線;(2)焦點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)(2,0)、的雙曲線.參考答案:【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),準(zhǔn)線方程為,所以有,故p=3,即可求出拋物線方程;(2)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),代入點(diǎn)的坐標(biāo),求出a,b,即可求出雙曲線方程.【解答】解:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0).其準(zhǔn)線方程為,所以有,故p=3.因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x.(2)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),因?yàn)辄c(diǎn)(2,0),在雙曲線上,所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,由此得,解得,
所求雙曲線的方程為.22.(13分)已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,),離心率為,左右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若直線l:y=﹣x+m與橢圓交于A、B兩點(diǎn),與以F1F2為直徑的圓交于C、D兩點(diǎn),且滿足=,求直線l的方程.參考答案:【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】(Ⅰ)由題意可得,解出即可.(Ⅱ)由題意可得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1.利用點(diǎn)到直線的距離公式可得:圓心到直線l的距離d及d<1,可得m的取值范圍.利用弦長(zhǎng)公式可得|CD|=2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而得到弦長(zhǎng)|AB|=.由=,即可解得m.【解答】解:(Ⅰ)由題意可得,解得,c=1,a=2.∴橢圓的方程為.(Ⅱ)由
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