2023版新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征同步練習14離散型隨機變量的方差新人教A版選擇性必修第三冊

同步練習14離散型隨機變量的方差必備知識基礎練一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1．若隨機變量X的分布列如表，則X的方差D(X)是()X－101Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)A.0B．1C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)2．[2023·江西吉安高二期末]隨機變量X服從兩點分布，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，則下列結論正確的是()A．P(X＝1)＝eq\f(3,4)B．D(X)＝eq\f(1,4)C．E(2X＋1)＝eq\f(3,2)D．D(2X＋1)＝eq\f(7,4)3．[2023·山東青島高二期末]已知隨機變量X的分布列如下表所示：隨機變量Y＝－3X＋1，則下列選項正確的為()X01P0.20.8A．E(X)＝0.5B．E(Y)＝1.4C．D(X)＝0.52D．D(Y)＝1.444．[2023·山東菏澤高二期末]已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為：甲產(chǎn)業(yè)收益分布列收益X/億元－102概率0.10.30.6乙產(chǎn)業(yè)收益分布列收益Y/億元012概率0.30.40.3則下列說法正確的是()A．甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風險高B．甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風險小C．乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風險小D．乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風險高5．[2023·福建泉州高二期中]隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝eq\f(1,3)，則()X－101Paeq\f(1,3)bA.a＝eq\f(1,6)，D(X)＝1B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，D(X)＝1C．a(chǎn)＝eq\f(1,6)，D(X)＝eq\f(5,9)D．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\f(5,9)6．[2023·黑龍江牡丹江高二期末]已知隨機變量ξ的分布列如表，則ξ的標準差為()ξ135P0.40.1xA.3.56B．eq\r(3.2)C．3.2D．eq\r(3.56)7．[2023·福建泉州高二期中]隨機變量X的分布列如下表，若E(3X＋3)＝6，則D(X)＝()X－212Pabeq\f(1,2)A.0B．2C．3D．48．[2023·遼寧沈陽高二期中]某離散型隨機變量X的分布列如下表，若E(X)＝eq\f(3,4)，P(X≥1)＝eq\f(7,12)，則D(X)＝()X－1012Pabceq\f(1,3)A.eq\f(15,16)B．eq\f(9,8)C．eq\f(5,4)D．eq\f(19,16)二、多項選擇題(每小題5分，共10分)9．[2023·河北石家莊高二期中]已知隨機變量X滿足E(X)＝－4，D(X)＝5，下列說法正確的是()A．E(1－X)＝－5B．E(1－X)＝5C．D(1－X)＝5D．D(1－X)＝－510．[2023·河南信陽高二期末]隨機變量ξ的分布列如下表，ξ－1012P2aa2ab則下列選項正確的是()A．2a＋b＝1B．E(ξ)＝2bC．D(ξ)＝4a－b2D．D(ξ)的最大值為eq\f(36,25)三、填空題(每小題5分，共10分)11．[2023·山東淄博高二期末]隨機變量X的分布列為：X123Peq\f(1,2)eq\f(1,4)n則D(X)＝________．12．[2023·河北石家莊高二期中]若隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)的值為________．X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)四、解答題(共20分)13．(10分)[2023·山西太原高二期中]隨機變量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列，若E(X)＝eq\f(1,3)，求X－101pabc(1)a，b，c的值；(2)求D(3X＋1)的值．14．(10分)[2023·山東臨沂高二期中]甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為如下表．甲品牌的走時誤差分布列X－101P0.10.80.1乙品牌的走時誤差分布列Y－2－1012P0.10.20.40.20.1(1)求E(X)和E(Y)；(2)求D(X)和D(Y)，并比較兩種品牌手表的性能．關鍵能力綜合練15．(5分)[2023·河北張家口高二期末]設隨機變量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當p從0增大到1時()X012peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A.D(X)增大B．D(X)減小C．D(X)先減后增D．D(X)先增后減[答題區(qū)]題號1234567891015答案16．(15分)[2023·福建泉州高二期中]開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程．某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現(xiàn)隨機抽取100個學生進行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表．假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立，男女支持方案一2416支持方案二2535(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設X為抽出兩人中女生的個數(shù)，求X的分布列；(2)在(1)中，Y表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差D(X)與D(Y)的大小．(直接寫結果)同步練習14離散型隨機變量的方差1．解析：E(X)＝－1×eq\f(1,4)＋0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,4)＝0，則D(X)＝eq\f(1,4)×(－1－0)2＋eq\f(1,2)×(0－0)2＋eq\f(1,4)×(1－0)2＝eq\f(1,2).答案：D2．解析：由隨機變量X服從兩點分布，若P(X＝0)＝eq\f(1,4)，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(3,4)，所以A正確；又由E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝(0－eq\f(3,4))2×eq\f(1,4)＋(1－eq\f(3,4))2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16)，所以B錯誤；由E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×eq\f(3,4)＋1＝eq\f(5,2)，所以C錯誤；由D(2X＋1)＝22·D(X)＝4×eq\f(3,16)＝eq\f(3,4)，所以D錯誤．答案：A3．解析：由題意可得：隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝1)＝0.8，所以E(X)＝0.8，D(X)＝0.8(1－0.8)＝0.16，又因為Y＝－3X＋1，所以E(Y)＝－3E(X)＋1＝－1.4，D(Y)＝9D(X)＝1.44，故A、B、C錯誤，D正確．答案：D4．解析：由題意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1.0，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風險高．答案：A5．解析：由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(E（X）＝－a＋b＝\f(1,3),a＋b＋\f(1,3)＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6),b＝\f(1,2)))，所以D(X)＝(－1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案：C6．解析：由分布列的性質(zhì)得0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，∴ξ的標準差為eq\r(D（ξ）)＝eq\r(3.56).答案：D7．解析：由題意可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,2)＝1,3（－2a＋b＋1）＋3＝6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6),b＝\f(1,3)))，又E(3X＋3)＝3E(X)＋3＝6，所以E(X)＝1；所以D(X)＝(－2－1)2×eq\f(1,6)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,2)＝2.答案：B8．解析：∵分布列的概率之和為1，∴a＋b＋c＋eq\f(1,3)＝1，即a＋b＋c＝eq\f(2,3)①.∵E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(3,4)，∴－a＋c＝eq\f(1,12)②.∵P(X≥1)＝c＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,12)，∴c＝eq\f(1,4)，依次代入②、①，解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)，則D(X)＝(－1－eq\f(3,4))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(3,4))2×eq\f(1,4)＋(1－eq\f(3,4))2×eq\f(1,4)＋(2－eq\f(3,4))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,16).答案：D9．解析：依題意，E(X)＝－4，D(X)＝5，所以E(1－X)＝1－E(X)＝1－(－4)＝5，D(1－X)＝(－1)2×D(X)＝5.答案：BC10．解析：由題意得，2a＋a＋2a＋b＝1，得a＝eq\f(1,5)(1－b)，故A錯誤；E(ξ)＝－1×2a＋0＋1×2a＋2b＝2b，故B正確；ξ2014Pa4ab所以D(ξ)＝eq\i\su(i＝1,3,(ξeq\o\al(2,i)pi))－[E(ξ)]2＝0×a＋1×4a＋4×b－(2b)2＝4(a＋b－b2)，故C錯誤；因為a＝eq\f(1,5)(1－b)，所以D(ξ)＝4(a＋b－b2)＝－4(b2－eq\f(4,5)b－eq\f(1,5))＝－4(b－eq\f(2,5))2＋eq\f(36,25)，當且僅當b＝eq\f(2,5)時，D(ξ)取得最大值eq\f(36,25)，故D正確．答案：BD11．解析：由概率之和為1可得eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋n＝1，∴n＝eq\f(1,4)，∴E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)，D(X)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(7,4))2＋eq\f(1,4)×(2－eq\f(7,4))2＋eq\f(1,4)×(3－eq\f(7,4))2＝eq\f(11,16).答案：eq\f(11,16)12．解析：由題意可得eq\f(1,6)＋p＋eq\f(1,3)＝1，解得p＝eq\f(1,2)，因為E(X)＝2，所以0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.答案：413．解析：(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且E(X)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，聯(lián)立以上三式解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2).(2)由(1)可知，D(X)＝(－1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，則D(3X＋1)＝32D(X)＝9×eq\f(5,9)＝5.14．解析：(1)由已知可得，E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.(2)由(1)知，E(X)＝0，所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2.又E(Y)＝0，所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.所以E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以兩品牌手表的誤差平均水平相當，但是甲品牌的手表走時更穩(wěn)定．15．解析：由分布列可得E(X)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)＋p，則D(X)＝eq\f(1－p,2)(eq\f(1,2)＋p)2＋eq\f(1,2)(eq\f(1,2)＋p－1)2＋eq\f(p,2)(eq\f(1,2)＋p－2)2＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－(p－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，因為0<p<1，所以D(X)先增后減．答案：D16．解析：(1)記從方案一中抽取到女生為事件A，從方案二中抽取到女生為事件B，則P(A)＝eq\f(16,24＋16)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(35,25＋35)＝eq\f(