北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊《同步考點解讀-專題訓(xùn)練》(培優(yōu)特訓(xùn))專項1.3平方差公式(原卷版+解析)

（培優(yōu)特訓(xùn)）專項1.3平方差公式1．（2022秋?定襄縣期末）如圖，陰影部分是在一個邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列四種割拼方法，每種割拼方法都能夠驗證平方差公式，其中用到的數(shù)學(xué)思想是（）A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．分類思想 C．公理化思想 D．函數(shù)思想2．（2022秋?輝縣市校級期末）已知a﹣b＝2，則a2﹣b2﹣4b的值為（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2022秋?唐河縣期末）下列能用平方差公式計算的是（）A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）4．（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，則a2﹣b2的值是（）A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣125．（2022秋?江夏區(qū)期末）利用平方差公式計算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的結(jié)果是（）A．4﹣9a2 B．9a2﹣4 C．9a2﹣2 D．9a2+46．（2021秋?寧縣期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，則a+b等于（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．47．（2022秋?荔灣區(qū)期末）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）化簡的結(jié)果為（）A．21024﹣1 B．21024+1 C．22048﹣1 D．22048+18．（2022?濰坊三模）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和等于（）A．255054 B．255064 C．250554 D．2550249．（2022春?沈北新區(qū)期中）若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a10．（2022春?龍勝縣期中）計算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的結(jié)果是（）A． B． C． D．11．（2022?濱?？h模擬）用簡便方法計算107×93時，變形正確的是（）A．1002﹣7 B．1002﹣72 C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+7212．（2022秋?臥龍區(qū)期末）運用整式乘法公式計算：20202﹣2019×2021＝．13．（2022秋?合肥期末）如圖1，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是（用a，b表示）；（2）請利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，則3a﹣b＝3；②計算：．14．（2022秋?鄒城市校級期末）從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是（請選擇正確的一個）．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．15．（2022春?南海區(qū)校級月考）如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿線段AB剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其面積＝（上底+下底）×高）．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）利用上述過程所揭示的乘法公式計算：a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）16.（2021秋?舒蘭市期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個矩形，則它長為；寬為；面積為．（2）由（1）可以得到一個公式：．（3）利用你得到的公式計算：20222﹣2023×2021．17．（2022秋?泌陽縣校級期中）探究如圖①，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式．．（用含a，b的等式表示）應(yīng)用請應(yīng)用這個公式完成下列各題：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為．（2）計算：20222﹣2023×2021．拓展（3）計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．18．（2022春?乳山市期末）【觀察發(fā)現(xiàn)】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖①），然后將剩余部分剪開并拼成一個長方形（如圖②）．【歸納結(jié)論】（1）上述操作，能驗證的等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（直接寫結(jié)果）【問題解決】（2）利用（1）中的結(jié)論，計算：．（培優(yōu)特訓(xùn)）專項1.3平方差公式1．（2022秋?定襄縣期末）如圖，陰影部分是在一個邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列四種割拼方法，每種割拼方法都能夠驗證平方差公式，其中用到的數(shù)學(xué)思想是（）A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．分類思想 C．公理化思想 D．函數(shù)思想【答案】A【解答】解：∵此題探究方法是通過對圖形面積的不同求解方法驗證了整式乘法的特殊方法“平方差公式”，∴其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：A．2．（2022秋?輝縣市校級期末）已知a﹣b＝2，則a2﹣b2﹣4b的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝2×2＝4．故選：A．3．（2022秋?唐河縣期末）下列能用平方差公式計算的是（）A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）【答案】A【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴選項A符合題意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴選項B不符合題意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴選項C不符合題意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴選項D不符合題意，故選：A．4．（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，則a2﹣b2的值是（）A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣12【答案】B【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，∴a2﹣b2＝10×6＝60，故選：B．5．（2022秋?江夏區(qū)期末）利用平方差公式計算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的結(jié)果是（）A．4﹣9a2 B．9a2﹣4 C．9a2﹣2 D．9a2+4【答案】A【解答】解：原式＝4﹣9a2，故選：A．6．（2021秋?寧縣期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，則a+b等于（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【答案】C【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，∴a+b＝﹣4，故選：C．7．（2022秋?荔灣區(qū)期末）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）化簡的結(jié)果為（）A．21024﹣1 B．21024+1 C．22048﹣1 D．22048+1【答案】C【解答】解：設(shè)S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）＝（21024﹣1）（21024+1）＝22048﹣1．故選：C．8．（2022?濰坊三模）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和等于（）A．255054 B．255064 C．250554 D．255024【答案】D【解答】解：設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數(shù)），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根據(jù)題意得：8n≤2022，∴n≤252，∴n最大為252，此時2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故選：D．9．（2022春?沈北新區(qū)期中）若（3b+a）（）＝9b2﹣a2，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣3b B．a(chǎn)+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a【答案】D【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），故選：D．10．（2022春?龍勝縣期中）計算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）＝××××××…××××＝×＝．故選：B．11．（2022?濱海縣模擬）用簡便方法計算107×93時，變形正確的是（）A．1002﹣7 B．1002﹣72 C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+72【答案】B【解答】解：107×93＝（100+7）×（100﹣7）＝1002﹣72，故選：B．12．（2022秋?臥龍區(qū)期末）運用整式乘法公式計算：20202﹣2019×2021＝．【答案】1【解答】解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+1＝1．故答案為：1．13．（2022秋?合肥期末）如圖1，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是（用a，b表示）；（2）請利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，則3a﹣b＝3；②計算：．【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：（1）∵圖1中陰影部分的面積為a2﹣b2，圖1中陰影部分的面積為（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，9a2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），∴3a﹣b＝（9a2﹣b2）÷（3a+b）＝27÷9＝3，故答案為：3；②由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，＝（1﹣）?（1+）?（1﹣）?（1+）?…?（1﹣）?（1+）＝××××××…××＝×＝．14．（2022秋?鄒城市校級期末）從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是（請選擇正確的一個）．A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）根據(jù)題意，由圖1可得，陰影部分的面積為：a2﹣b2，由圖2可得，拼成的長方形長為a+b，寬為a﹣b，面積為（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．15．（2022春?南海區(qū)校級月考）如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿線段AB剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其面積＝（上底+下底）×高）．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）利用上述過程所揭示的乘法公式計算：a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）【解答】解：（1）圖1中陰影部分面積為S1，可以看作兩個正方形的面積差，即S1＝a2﹣b2，圖2中陰影部分面積為S2，是上底為2b，下底為2a，高為（a﹣b）的梯形，因此S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），所以a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝a4+（1﹣a2）（1+a2）＝a4+（1﹣a4）＝a4+1﹣a4＝1．16.（2021秋?舒蘭市期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個矩形，則它長為；寬為；面積為．（2）由（1）可以得到一個公式：．（3）利用你得到的公式計算：20222﹣2023×2021．【解答】解：（1）由題意得，圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2；圖2的長為a+b，寬為a﹣b，其面積（a+b）（a﹣b）；故答案為：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）結(jié)果可得等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）題結(jié)果（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可得20222﹣2023×2021＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）＝20222﹣20222+1＝1．17．（2022秋?泌陽縣校級期中）探究如圖①，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式．．（用含a，b的等式表示）應(yīng)用請應(yīng)用這個公式完成下列各題：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為．（2）計算：20222﹣2023×2021．拓展（3）計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【解答】解：