2023-2024學(xué)年河北省邢臺市高二年級下冊第一次月考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省邢臺市高二下冊第一次月考數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.某小組有8名男生，6名女生，要求從中選1名當(dāng)組長，不同的選法共有（）

A.12種B.14種C.24種D.48種

【正確答案】B

【分析】根據(jù)組合性質(zhì)即可求解.

【詳解】依題意，

小組有8名男生，6名女生，要求從中選1名當(dāng)組長，

則有C>=14種選法.

故選：B.

2.二項式（l+x）5的展開式中，各項二項式系數(shù)的和是（）

A.2B.8C.16D.32

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)直接計算作答.

【詳解】二項式（l+x）5的展開式的各項二項式系數(shù)的和是2'=32.

故選：D

3.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法

共有

A.6種B.12種C.30種D.36種

【正確答案】C

【詳解】由吊c：-c：=30選C.

4.（x-2y）S的展開式中V/的系數(shù)是（）

A.1792B.-1792C.448D.-448

【正確答案】D

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算出正確答案.

【詳解】（x-2y）8的展開式中，含XW的項為或.戶（_2?=_8'或乂丹3=-148染氏

所以的系數(shù)是-448.

故選：D

5.8個人坐成一排，現(xiàn)要調(diào)換其中3個人中每一個人的位置，其余5個人的位置不變，則

不同調(diào)換方式有（）

A.ClB.C：A：C.D.3C；

【正確答案】C

【分析】先從8人中任取3人，再對3人位置全調(diào)，然后利用分步計數(shù)原理求解.

【詳解】從8人中任取3人有種，

3人位置全調(diào)，由于不能是自己原來的位置，所以有A；種，

所以不同調(diào)換方式有

故選：C.

6.甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分數(shù)依次為10,

5,3.競賽全部結(jié)束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（）

A.第二名、第三名的總分之和為29分或31分

B.第二名的總分可能超過18分

C.第三名的總分共有3種情形

D.第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件按甲的得分情況分類，再求出第二名、第三名的得分即可判斷作答.

【詳解】依題意，甲的得分情況有兩種：10,10,5和10,10,3,

顯然3人的總得分為54分，甲得分為10,10,5時，第二名、第三名的總分之和為29分，

甲得分為10，10，3時?，第二名、第三名的總分之和為31分，A正確；

甲得分為10，10,5時，第二名得分有三種情況：5,5,10；5,3,10；3,3,10,總分分

別為20分，18分，16分，

第三名得分對應(yīng)有三種情況：3,3,3；3,5,3；5,5,3,總分分別為9分，11分，13

分，

甲得分為10，10，3時，第二名得分有三種情況：5,5,10；5,3,10；3,3,10,總分分

別為20分，18分，16分，

第三名得分對應(yīng)有三種情況：3,3,5；3,5,5；5,5,5,總分分別為11分，13分，15

分，

選項B,D正確，第三名總分有4種情況，C不正確.

故選：C

7.卜+^一2)的展開式中常數(shù)項是()

A.-252B.-220C.220D.252

【正確答案】A

【分析】化簡二項式為3'°，求得展開式的通項&∣=(7)'G'°M°Q,令10-2廠=0,求

X

得r=5,

代入即可求解.

【詳解】由(J+-V-2)5=(χ-?),

XX

可得二項式(X」嚴的展開式通項為&=CMH)-'(-%=(-l)'C"j，

XX

4^10-2r=0,解得r=5,

所以展開式的常數(shù)項為=-252.

故選：A.

本題主要考查了二項展開式的指定項的求解，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答的關(guān)

鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.有.6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是()

A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；

B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；

C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；

D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.

【詳解】選項A,6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有C；C：C；=90種分配

方法，故該選項錯誤；

選項B,6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1

的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有-?4=90種分配方法，故該選項錯誤;

選項C,6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本,

有&種方法，所以不同的分配方法有=180種，故該選項錯誤;

c??c∣'4？=1080

選項D,先將6本書分為2-2-1-1的4組,再將4組分給甲乙丙丁4人,有

種方法，故該選項正確.

故選：D.

二、多選題

9.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)

愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（）.

楊輝三角

第

Z一

04

l丁

一

第1z1

l丁

一

第2Z11

l丁

一

第3Z121

x丁

l

一

第4Z1331

x丁

l

一

第5Z14641

x丁

l

一

第6415101051

1丁

一

第7Z1615201561

l丁

一

第8Z172135352171

4丁

I

一

第18285670562881

9Z

4丁

第1O193684126126843691

第1/1104512021025221012045101

1仃

115516533046246233016555111

,

A.ι+ci+q+c8=cl;

B.第2022行的第1011個數(shù)最大

C.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)

D.第34行中從左到右第14個數(shù)與第15個數(shù)之比為2:3

【正確答案】ACD

【分析】按圖索驥，再加一點計算就可以了.

【詳解】1+C+C+C=1+6+E+^∣=84,￠=^2=84,

2×13×2×13×2×1

故A正確;

由圖可知：第”行有〃個數(shù)字，如果n是奇數(shù)，則第芋(最中間的)個數(shù)字最大；如果〃

是偶數(shù)，則第］和第］+1個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，故錯誤；

第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：1,7,28,其和為36；第9行第8個數(shù)字

就是36,故C正確；

依題意：第34行第14個數(shù)字是Cl=KZ,第34行第15個數(shù)字是C(=?r鼻，

13!×21!14!×20'

34!

所以第=13詈"=1=2:3,故D正確；

14!×20!

故ACD.

10.關(guān)于(g-2x)的展開式，下列結(jié)論正確的是()

A.各項二項式系數(shù)之和為32B.各項系數(shù)之和為-1

C.存在常數(shù)項D.V項的系數(shù)為80

【正確答案】ABD

【分析】由二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；取戶-1求得所有項的系數(shù)和判斷B；

寫出展開式的通項，由X的指數(shù)為3和。求得「值，可判斷CD.

【詳解】H-2x)5的展開式的所有二項式系數(shù)和為2$=32,故A正確；

X

取x=l,可得所有項的系數(shù)和為T,故B正確；

展開式的通項為小=q-(-)5-r(-2x)r=(-2)r?C(?x2r-5,

X

由2r-5=0,得r=∣舍去，故不存在常數(shù)項，C錯誤，

由2—5=3,得r=4,含何項的系數(shù)為(-2)4或=80,故D正確.

故選：ABD.

H.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這IOO件產(chǎn)品中任意抽出3件，

則下列結(jié)論正確的有()

A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有ClC全種

B.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C2種

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；8+C；Cg；種

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C：Uo-C1種

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件利用含有限制條件的組合問題，逐一分析各選項判斷作答.

【詳解】對于A,B,抽1件不合格品有C；種，再抽2件合格品有CM種，由分步計數(shù)乘法

原理知，

抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；Ii種，A正確，B不正確；

對于C,至少有1件是不合格品有兩類：1件是不合格品的抽法有CKjii種，2件是不合格品

的抽法有C；C；K種，

由分類加法計數(shù)原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；8+C；Cg；種，C

正確；

對于D,至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，從IOO件產(chǎn)品中任意抽出3件有

種，

抽出3件全是合格品有C）種，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（G%-C?）種，

D正確.

故選：ACD

12.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年冬奧會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)

游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（）

A.每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54

B.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為4用

C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方

法數(shù)為［c；+爭］小

IΛ2J

D.每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工

作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是G+

【正確答案】CD

【分析】利用分步計數(shù)原理可判斷A選項；利用先分組再排序，結(jié)合分步計數(shù)原理可判斷B

選項；利用分類加法與以及部分平均分組原理可判斷C選項：利用分類計數(shù)原理和分步計

數(shù)原理可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，每人各有4種選擇，每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為4$,A錯;

對于B選項，每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則必有2人參加一份工作,

其余3人都參加一份工作,

可先將5人分為4組，有一組為2人，然后將這四組分配給四種工作即可，共有種安排

方法，B錯;

對于C選項，如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，有兩種情況:

①有3人選同一種工作，其余2人只安排一種工作;

②有1種工作只有1人，其余2種工作都只有2人.

所以，不同的安排方法種數(shù)為［或+寶JA；,C對;

對于D選項，每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加,

甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，分兩種情況討論:

①開車這份工作有2人參與，其余工作各分配1人，共有C；用種安排方法;

②開車這份工作只有1人參與，有2人參與同一份工作，其余2人各參與一份工作，共有

C；C：A；.

綜上所述，共有不同安排方案的種數(shù)是GC：&+C；A；,D對.

故選：CD.

三、填空題

13.若C歲6=G『(〃eN*),則”=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)題意和組合數(shù)的運算性質(zhì)直接計算即可.

【詳解】由題意知，

因為嗡+6=Gi(zιeN*),

所以2〃+6=〃+2或2〃+6=20—5+2),

解得n=-4(舍去)或〃=4.

故4

14.六名同學(xué)排成一排照相，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，且甲和丁相鄰的情況有

種.(用數(shù)字作答)

【正確答案】72

【分析】設(shè)另外兩人為戊己，甲丁捆綁后和戊己排序，再將乙丙插空即可.

【詳解】設(shè)另外兩人為戊己.可以分步完成，

①甲丁捆綁后排序有A；方法，

②捆綁后的甲丁戊己排序，有A；種方法，

③將乙丙插空，四個空位中與甲相鄰的空位不能選擇，故有A；種方法，

根據(jù)分步乘法原理，共有2x6x6=72種方法.

故72.

15.2160有個不同的正因數(shù).

【正確答案】40

【分析】把2160進行質(zhì)因數(shù)分解，然后結(jié)合分步乘法原理計算.

【詳解】2160=24*33*5,它的正因數(shù)即為2,3,5的事的乘積，

因此正因數(shù)個數(shù)為(4+l)χ(3+l)χ(l+D=40,

故40.

16.45°除以17的余數(shù)為.

【正確答案】16

【分析】由題得450=(17-1)25,根據(jù)二項式展開解決即可.

【詳解】由題知，

5025250245224025

4=(17-l)=Cθ517(-l)+Cj517(-l)'+C?17'(-l)+....+C^17'(-l)+C^17(-l),

因為17"是17的倍數(shù)，只有最后一項T不能被17整除，

所以T除以17的余數(shù)為16,

所以4$。除以17的余數(shù)為：16

故16

四、解答題

17.已知在二項式(&-{1?(“≥2∕eN*)的展開式中前三項系數(shù)的和是97.

(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;

(2)求其展開式中所有的有理項.

【正確答案】⑴n=1120χ-2

458

(2)7；=x,η=H2x,7；=1120x-,7；=1792x^,T9=256x-.

【分析】(1)先確定前三項系數(shù)，根據(jù)題意列出等量關(guān)系，求得“，再根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)

確定二項式系數(shù)最大的項數(shù)，代入通項公式求對應(yīng)項，

(2)根據(jù)二項式定理得通項公式，根據(jù)X的次數(shù)為整數(shù)，求得項數(shù)，再代入通項公式求有

理項.

【詳解】(1)前3項的系數(shù)分別為C：,-2C：,4C；,

由題意知：Cθ-2C>4C>97,且〃≥2,解得〃=8或〃=-6(舍去)

_8rZ八r8-3r

所以7；M=4五廠卜］=(-2)gx丁(r=0,l,28),

.?.r=4時，二項式系數(shù)最大，

即二項式系數(shù)最大項為T、=1120Λ--2.

(2)由J‰Z,知r=0,2,4,6,8,

2

258

.?.有理項為I=/,T3=］↑2X,T5=??20X^,T1=1792X^,T9=256x^.

二項式系數(shù)最大項的確定方法

①如果”是偶數(shù)，則中間一項(第］+1項)的二項式系數(shù)最大；

②如果〃是奇數(shù)，則中間兩項第二?項與第(學(xué)+1)項的二項式系數(shù)相等并最大.

18.男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下

列情形中各有多少種選派方法？

(1)男運動員3名，女運動員2名；

(2)隊長中至少有1人參加；

（3）既要有隊長，又要有女運動員.

【正確答案】（1）120（種）；（2）196（#）；（3）191（種）.

【分析】（1）本題是一個分步計數(shù)問題，首先選3名男運動員，有C；種選法.再選2名女

運動員，有仁種選法.利用乘法原理得到結(jié)果；

（2）只有男隊長的選法為C；種，只有女隊長的選法為C；種，男、女隊長都入選的選法為C；

種，把所有的結(jié)果數(shù)相加；

（3）當(dāng)有女隊長時，其他人選法任意，共有C；種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有C；

種選法.其中不含女運動員的選法有C；種，得到結(jié)果.

【詳解】（1）分兩步完成：

第一步，選3名男運動員，有種選法；

第二步，選2名女運動員，有種選法.由分步乘法計數(shù)原理可得，共有C0C：=120（種）選

法.

（2）方法一（直接法）可分類求解：

“只有男隊長”的選法種數(shù)為C；;

“只有女隊長”的選法種數(shù)為C；;

“男、女隊長都入選”的選法種數(shù)為C；,

所以共有20+盤=196（種）選法.

方法二（間接法）從10人中任選5人有CM種選法，

其中不選隊長的方法有C；種.所以“至少有1名隊長”的選法有盤,-盤=196（種）.

（3）當(dāng)有女隊長時，其他人任意選，共有種選法；當(dāng)不選女隊長時，必選男隊長，共有

種選法，其中不含女運動員的選法有C；種，所以不選女隊長時的選法共有（C；-仁）種.

所以既要有隊長又要有女運動員的選法共有C；+C：-C；=191（種）.

本題主要考查了分步乘法計數(shù)原理，考查分類加法計數(shù)原理，在比較復(fù)雜的題目中，會同時

出現(xiàn)分類和分步，本題是一個比較綜合的題目，屬于中檔題.

19.(I)解方程C■+C戰(zhàn)=5A';

(2)構(gòu)造一個實際背景，對等式c>&*=c>c,的意義做出解釋.

【正確答案】(1)x=4;(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式及性質(zhì)，化簡得至∣J*2—x—12=0,即可求解；

(2)等式兩邊都是組合數(shù)相乘，可以考慮分步計數(shù)原理，即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)由C；；；+C：：；=《A"，可得C北='A*,即C>=AAL，

?(x+3)!(x+3)!1I

可得-------=-------,即nπ=---------,

口5!(X-2)!IOx!120IOX(X-I)

可得χ2-x-12=0,解得x=4或x=—3,

經(jīng)檢驗可得x=4是原方程的解，

所以x=4；

(2)實際背景：在“個人中選出機個人打掃衛(wèi)生，其中％個人擦玻璃，，〃-無個人拖地，問

有多少選取人員的方法？

利用分步計算原理：先從〃個人中選出，〃個人，然后從，”個人中選出k個人擦玻璃，剩余的

人拖地，這樣有c7.c；種選法；

也可以從〃個人中選出k個人擦玻璃，然后從剩余的“-4個人中選出〃LZ個人拖地，這樣

有C>C展種選法，

所以C>c*=c?c;.

20.(1)設(shè)有6個相同的小球，放入3個不同的盒子里，每個盒子至少有1個小球，有多少

種不同的放法？

(2)設(shè)有6個不同的小球，放入3個不同的盒子里，盒子不允許為空，有多少種不同的放

法？(結(jié)果用數(shù)字表示)

【正確答案】(1)10；(2)540.

【分析】(1)利用隔板法解決相同元素的分組問題.

(2)分成三類：2,2,2；4,1,1;1,2,3,先分組再排列，即可求解不同的放法.

【詳解】(1)利用隔板法：由題可知使每個盒子都能分到小球的分法有C；=H)種.

(2)分成三類：2,2,2；4,1,1；1,2,3,先分組再排列.

第一類：c????A^90;第二類：C：.￡^.A；=90；

??A?

第三類:C：CC?A；=360,共有540種.

π

21.已知(l+2x)”=%+qx+<?χ2++anx,∏∈N*>其中%=60.

⑴求(％+"1+“2++a,S[ao~a?+a2~+(T)”4J的值；

⑵設(shè)(l+√5j'=α+J%(其中〃、。為正整數(shù))，求"—32的值

【正確答案】(1)729；

⑵/-2Z√=L

，；2

【分析】(1)?(x)=(1+2x)=a0+axx+a2x++allx",∕ι∈N*,寫出(l+2x)”的展開式通

項，由為=60可得出關(guān)于”的方程，解出”的值，再利用賺值法可求得所求代數(shù)式的值；

(2)寫出(1+√Σ『的展開式，求出。、b的值，即可求得的值.

【詳解】(1)解：設(shè)/(x)=(l+2x)"=%+a/+%/++anx">"wN*,

rr

(1+2x)"的展開式通項為&=??(2x)=Cn-Tx,

22

所以，a2=C^?2=2∕I(Λ-1)=60,BPn-∕J-30=0,n∈N*,解得”=6,

62b

所以，/(x)=(1+2x)=an+aix+a2x++ahx

66

(a0+al+a2++a6)(a0-al+a2-+α6)=∕(l)√(-l)=3×(-l)=729.