北京市十二中2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末經(jīng)典模擬試題含解析

北京市十二中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.命題P：若a>6,且">0,貝！Jln@>0,命題4：在ABC中，若A>5,貝!JsinA>sinB.下列命題中為真命題

b

的是。

A.（r?）A<?B.PM

C.pA(->q)D.(「p)A(—1")

2.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且生+%=16,則Sg=（）

A.64B.72

C.80D.144

3.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、

谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是4Q5尺，

芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子長為（）

A.6.5尺B.13.5尺

C.14.5尺D.15.5尺

4.某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某

4個月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：

月平均氣溫X（℃）171382

月患病y（人）24334055

由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y=+a中的。=-2,氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為9℃,據(jù)此估計該社區(qū)下個

月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）

A.38B.40

C.46D.58

22

5.已知用月分別是橢圓C:，+方=1（?！?〉0）的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且/亭明=（二串明

的面積為1,則橢圓C的短軸長為()

C.2&

6.設(shè)函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo)，則lim以匕竺匕姐=()

-3Ax

“⑴⑴

C.3/(l)D.以上都不對

22

7.已知拋物線y2=2px(p〉0)上一點(2,㈤到焦點的距離為3,準(zhǔn)線為/,若/與雙曲線CJ-馬=l(a>0,6>0)的

兩條漸近線所圍成的三角形面積為0,則雙曲線C的離心率為()

B.a

C.石

8.若*一(a+l)x+A<0的解集是(-5,2),則a+J等于(

Y—51

9.已知不等式一；〈一的解集為A,關(guān)于x的不等式2依2—%+2>0的解集為5,且AB=B,則實數(shù)”的取

x-32

值范圍為()

A.(0,+co)—,+00

16

1，+0°

—,+00

2

已知雙曲線「—斗的左、右焦點分別為耳，點的坐標(biāo)為點尸是雙曲

10.=1(?>o,Z?>0)F2,A1—￡,oj,

線在第二象限的部分上一點，且/耳尸鳥=2/4口4,點0是線段PK的中點，且耳，。關(guān)于直線”1對稱，則雙曲

線的離心率為()

2D.V2

2

11.已知等差數(shù)列{4},%=1,%=3,則數(shù)列1」一的前10項和為（）

aa

[?n+lJ

22

12.橢圓上+上=1的焦點坐標(biāo)為（）

62

A.（-夜,0）和（3,0）B.（—1,0）和（1,0）

C?-20,O）和（20,0）D.（-2,0）和（2,0）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線過點（4,百），且漸近線方程為y=±gx,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A,3的距離之比為常數(shù)2（2>0,471）的點的軌跡是一個圓心

在直線A3上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體ABC?！狝耳G2中，43=240=244）=6,點E在棱A3

上，BE=2AE,動低P滿足BP=6PE，若點尸在平面ABC。內(nèi)運動，則點尸對應(yīng)的軌跡的面積是；

F為CR的中點，則三棱錐P-4CT體積的最小值為.

15.已知函數(shù)〃力={32集合4=卜€(wěn)2,[/（尤）一。]叫，若4中有且僅有4個元素，則滿足條

A*3x+5,x<0

件的擎數(shù)a的個數(shù)為

16.圓錐的高為1,底面半徑為6，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路/,湖上有橋A3（AB是圓。的直徑）.

規(guī)劃在公路/上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路9、。4.規(guī)劃要求，線段m、QA上的所有點到點。的距

離均不小于圓。的半徑.已知點A,3到直線/的距離分別為AC和（C,。為垂足），測得AB=10,AC=6,

BD=n（單位：百米）.

（1）若道路形與橋A3垂直，求道路P3的長；

（2）在規(guī)劃要求下，點。能否選在。處？并說明理由.

18.（12分）已知數(shù)列｛為｝和也｝滿足q=2,an+bn_i=3（n>2）

（1）若期=,求｛%｝的通項公式;

（2）若4=0,a?_1+^,=l（?>2）,證明｛4｝為等差數(shù)列，并求｛&｝和｛〃｝的通項公式

19.（12分）如圖，直角梯形AE尸3與菱形A3。所在平面互相垂直，AE//BF,AE1AB,AB=AE=2,BF=1,

ZABC=120°,M為AD中點.

（1）證明：直線5M〃面。E尸；

（2）求二面角EC—E的余弦值.

20.（12分）如圖，正方體—的棱長為4,E,F分別是3C,CD上的點，且3E=CF=3.

(i)求男尸與平面BCG4所成角的正切值；

(2)求證：BF工.

21.(12分)如圖，在直三棱柱ABC—A^IG中，AC1BC,AC=BC=CQ=2,E、尸分別是人不、瓦G的中點

(1)求證：所//平面ACG4

(2)求證：防，平面A3C

22.(10分)某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下:

表1

年份2011201220132014201520162017201820192020

年份序號X12345678910

營業(yè)收入y(億元)0.529.3633.6132352571912120716822135

由表1,得到下面的散點圖:

(3億元

100

950

800

650

瑞

怒

罌

瑞

森

11111tli11上

12345678910湃盼序號

根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型y=(5和“是待定參數(shù))來擬合y和x的關(guān)系.這時，可以對

年份序號做變換，即令/=/，得丁=初+。，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.

表2

T149162536496481100

Y0.529.3633.6132352571912120716822135

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于，的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；

（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.

附：對于一組數(shù)據(jù)（4#1）,（應(yīng)#2），、（“"力"），其回歸直線丫=6"+2的斜率和截距的最小二乘估計分別為

同（匕—v）

a=v-/3u?

參考數(shù)據(jù)：i=38.5,亍工703.45,自力―)工1.051x1()4電3―亍卜2.327xlO5.

i=\i=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題p的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦定理可判斷命題1的真假,

再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.

【詳解】解：若a>6,且">0,則0<@,

b

當(dāng)時，->1,所以lnq>0,

bb

當(dāng)0>。>小時，0<q<1,所以ln3<o,

bb

綜上命題。為假命題，則r7為真命題，

在中，若A>6,貝!

由正弦定理得sinA>sinB,

所以命題夕為真命題，F(xiàn)為假命題，

所以（9）/\鄉(xiāng)為真命題，P^q,pA（［q）,（「p）A（［q）為假命題.

故選:A.

2、B

【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得名,再用等差數(shù)列前項和公式即可求解.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，%+%=2。5=16,解得%=8,

9（a.+a。）

S=、:"=9%=9x8=72.

9

故選：B.

3、D

【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項.

【詳解】設(shè)冬至的日影長為為,雨水的日影長為囚+%+%=40.5,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知3%=40.5n=13.5,

芒種的日影長為卬2=4.5,

ax+2d=13.5

<，解得：q=15.5,d=—1>

a{+lld=4.5

所以冬至的日影長為15.5尺.

故選：D

4、B

【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數(shù)，寫出回歸方程,進而估計

下個月老年人與兒童患病人數(shù).

【詳解】由表格得正,工）為（1。,38）,由回歸方程y=Zzx+a中的方=-2,

???10x(-2)+「=38,解得0=58,即y=_2x+58.

當(dāng)x=9時，y=_2x9+58=40，

故選：B.

5、B

【解析】首先分別設(shè)|西|=九，|為明|=丁，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長.

【詳解】設(shè)|摩|=九，|陛|=丁,

x+y=2a

12

所以《——1,即(％+y)=X?+y?+2g;=%?+y?+4=4〃2,

x2+y2=4c之

即4c2+4=4〃，得步="—02=1,短軸長為》=2.

故選：B

6、B

【解析】根據(jù)極限的定義計算

「羊融】山.音r/(i+M-zWi/(i+M-zW

［詳解］由題意hm--------------=—rlim--------------=—f(1)

—°3Ax3-0Ax3

故選：B

7、C

【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出P=2,從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線/與兩條漸近線的交點

分別為A-1,-,B-1,--,然后由題意可得sAOB=2?IA31」=2=&，進而可求出雙曲線的離心率

<aj\a)2a

詳解】依題意，拋物線丁2=2加(”〉0)準(zhǔn)線=

由拋物線定義知2；言］=3,解得p=2,則準(zhǔn)線/：x=—1,

雙曲線C的兩條漸近線為丁=±2了，于是得準(zhǔn)線/與兩條漸近線的交點分別為A-1,2"，原點為。,

a

1bI

則一AOB面積SAO8=7IA5|1=—二3，

*2a

「2A2L

雙曲線。的半焦距為c,離心率為°,貝!I有/=三=1+勺=3,解得e=G

aa

故選:c

8、A

【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)。、b,即可得a+b.

【詳解】???￡—(a+l)x+b<0的解集為(―5,2),

.?.-5和2為方程/―(。+1)》+/,=0的兩根,

—5+2=a+1〃二一4

??.有《「C7，解得

—5x2=/?，=T0

d~\~b——14?

故選：A.

9、B

X—51

【解析】解出不等式一〈一可得集合A,由A3口3可得A=然后可得2a/—x+2>0在xe(3,7］上恒成

x-32

立，然后分離參數(shù)求解即可.

【詳解】由二〈工得=一!<0,W。,解得3<%W7,

x—32x-322(X-3)

因為AB匚B,所以4屋3

所以可得2依2一%+2>0在xe(3,7］上恒成立,

X—2

即?！怠冈趚e(3,7］上恒成立，故只需

2x2

x-211(\1V11「1止11-r萬-211田1

-—，一，當(dāng)—=：時，，故

——T2=―72+—=-+—eI=77a>7

2xx2x[x4J16xL73jx4I2%-Jmax1616

故選：B

10、C

|PF|\AF|1

【解析】由角平分線的性質(zhì)可得號；=乙蘆]=不，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.

\PF.|\AF,|2

【詳解】由題設(shè)，易知：|P^I=|PQI=JPKI，

a

c——

\PF.|\AF.|1整理得:c3

由"知：制=后=5,即2g,e=—=—

a

c+一a2

2

故選：C

11、A

【解析】求出通項，利用裂項相消法求數(shù)列的前〃項和.

【詳解】因為等差數(shù)列｛凡｝,%=1,%=3,

所以公",

所以％=

ax+(n-l)d=1+(〃=

,1_1_1_1

anan+1n-(n+1)nn+1

所以數(shù)列<------"的前10項和為1-』+!-』+...+'....-=—

144+/223101111

故B,C,D錯誤.

故選：A.

12、D

【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c,即可求得焦點坐標(biāo).

【詳解】C=JK=2,可得焦點坐標(biāo)為(一2,0)和(2,0).

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

丫2

13、-y=i

4'

【解析】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為好―4/=%.

點M(4,6)為該雙曲線上的點，

.?.2=16—12=4.

2

2*42

該雙曲線的方程為：x-4y=4f即三―y2=i.

4

2

故本題正確答案是--y2=l.

4'

14、①.12萬②與—3底

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)3尸=6PE,可得P對應(yīng)的軌跡方程；先求△4C尸的面積，其是固定值，要

使體積最小，只需求點P到平面4cp的距離的最小值即可.

【詳解】分別以為x，%z軸建系，設(shè)。(羽又0),而B(6,0,0),E(2,0,0),四(6,0,3),

C(6,3,0),C(3,3,3).

由BP=也PE，有J-6,+(y-O1+(0—0)2=QxJ(尤—2%+(y—O'+(0—0)2,化簡得p對應(yīng)的軌跡方程為

d+V=12.所以點尸對應(yīng)的軌跡的面積是乃<2石產(chǎn)=12萬.

易得最吠的三個邊BXC=BXF=CF=3及

即△耳。尸是邊長為為342的等邊三角形，其面積為竽，

0=(0,—3,3),CF=(—3,0,3),設(shè)平面31cp的一個法向量為”=(羽y,z),

—3y+3z—0.、

則有,可取平面3c廠的一個法向量為〃

根據(jù)點P的軌跡，可設(shè)P(2jGcosa2jGsin<9,0),

,CP=(26cos。-6,sin。-3,0),：.CP-n=2s/3cos0+2s/3sin0-9，

I2sl6sm3\3+-\-9r

所以點P到平面B]CF的距離,_卜八"I_______I9-2,6,

開一3~^JT

所以V=Ls/z=』Sd2〃一3n.

332

27r-

故答案為：12TI；——3A/6

2

15、32

【解析】作出/(X)的圖像，由x=0時，不等式成立，所以O(shè)eA,判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個，即等價

于尤>0時，/(x)>a；x<0時，/(%)<?；利用數(shù)形結(jié)合，進行求解.

【詳解】作出〃龍)的圖像如圖所示：

因為x=0時，不等式成立，所以O(shè)eA,符合條件的非零整數(shù)根只有三個.

由尤20可得：

x>0時，/(x)>a；x<0時，/(x)<a；

所以在y軸左側(cè)，/(光)的圖像都在丁=。的下方；在y軸右側(cè)，/(光)的圖像都在丁=。的上方；

而/(4)=_3x]6+24=_24,43)=-3x9+18=-9,/(-l)=-(-l)3-3x(-l)2+5=3,

/(-3)=-(-3)3-3x(-3)2+5=5,"T=-(-4)3-3X(^)2+5=21.

平移直線，=。，由圖像可知：

當(dāng)—24<aW—9時，集合A中除了0只含有1,2,3,符合題意，此時整數(shù)?？梢匀。?23,-22,-21……-9.一共15

個；

當(dāng)。=3時，集合A中除了0含有1,-1,-2,符合題意.

當(dāng)54a<23時，集合A中除了0只含有-1,-2,-3,符合題意，此時整數(shù)a可以?。?,6,7……20—共16個.

所以整數(shù)”的值一共有15+1+16=32(個).

故答案為：32

【點睛】分離參數(shù)法求零點個數(shù)的問題是轉(zhuǎn)化為于(x)=k,分別做出芳=/(%)和%=%的圖像，觀察交點的個數(shù)即為

零點的個數(shù).用數(shù)形結(jié)合法解決零點問題常有以下幾種類型：

⑴零點個數(shù)：幾個零點；

⑵幾個零點的和；

(3)幾個零點的積.

16、2

【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值

【詳解】如圖，1s是圓錐軸截面，SC是一條母線，

設(shè)軸截面頂角為9,因為圓錐的高為1,底面半徑為班，所以tan0￡=百r-，夕6（0,萬），

ezuc2n"

所以一=一，0=——>—,

2332

設(shè)圓錐母線長為/,則/=jF+（百）2=2,

11°

截面SBC的面積為S=—SBSCsin/BSC=-l2sin/BSC,

22

TC

12

因為NBSCelO,——],所以N3SC=一時，Smax=-x2=2

322

故答案為：2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）15（百米）

（2）點。選在。處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析

【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓。及直線網(wǎng)的方程，進而得解.

（2）不妨點。選在。處，求方程并求其與圓的交點，在線段A。上取點不符合條件，得結(jié)論.

【小問1詳解】

如圖，過。作。"_L/,垂足為”.

以。為坐標(biāo)原點，直線為》軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為A3為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為必+丁2=25.

因為AC=6,BD=12,所以O(shè)H=AC+BD=9,故直線/的方程為y=9,

2

則點A,8的縱坐標(biāo)分別為3,-3

從而4(4,3),

3

直線A5的斜率為三.

4

4

因為所以直線網(wǎng)的斜率為-一，

3

495

直線網(wǎng)的方程為y=—gx—3.令l=—13,得y=9,P(-13,9),

所以PB=J(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路P3的長為15(百米).

【小問2詳解】

若點。選在。處，連結(jié)A。，可求出點0(-4,9),又4(4,3),

3

所以線段AD:y=—WX+6(—4<x<4).

x2+y2=25c”

,24

由〈3解得工=4或%=_,

y=——x+625

I4

故不妨?。?3,得到在線段A。上的點M。,

因為OM=Js?+<，32+42=5?

所以線段上存在點到點。的距離小于圓0的半徑5.

因此點。選在D處不滿足規(guī)劃要求.

一，、31/<\n—\

18、⑴an=-+-x(-l)

(2)證明見解析，an=n+l,bn=l-n

【解析】(1)代入4=%可得4=-4T+3,變形得可―|=構(gòu)造等比數(shù)列求｛4｝的通項公式;

⑵先由已知得4+i—%T=2(〃22),先分別求出｛%_]｝,｛%J的通項公式，然后合并可得｛4｝的通項公式,

進而可得｛2｝的通項公式

【小問1詳解】

當(dāng)a”=b“，時，a1=%,所以a“+a,i=3,即a“=—a“_j+3，

整理得4=--l^

所以14-是以q—|=g為首項，-1為公比的等比數(shù)列

,.31/\n-lrr31/

故4—5=萬義(—1),即4=5+5x(-1)

【小問2詳解】

當(dāng)“22時，由4+2T=3,q”]+〃=1,得a,,+i+d=3,

所以4+1_%_1=2(〃之2)

因為4=0,所以%=3,

則｛%"1｝是以4=2為首項，2為公差的等差數(shù)列，a2t_1=2+(k-l)x2=2k,keN*;

｛%/是以外=3為首項，2為公差的等差數(shù)列，4K=3+(k—l)x2=2左+1,左eN*

綜上所述，an=n+l

所以4-的=5+1)_〃=1,n>2,

故｛4｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列

當(dāng)時，bn=l-an_x=l-n,且4=0滿足bn=\-n,

所以〃=l-n

19、(1)證明見解析

⑵坦

31

【解析】(1)由平面AEEB,平面A5CZ),可得平面A5CZ>,連接5Z>,可得5Md.AD,以/為原點，MB,MD

為羽V軸，豎直向上為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算8M與平面。瓦'的法向量々=(%，X，zJ的數(shù)量積

為0即可得證；

UUUU

(2)分別計算出平面MEC和平面EC尸的法向量%=(%，%*2),%=(x3,j3,z3),然后利用向量夾角公式即可求

解.

【小問1詳解】

證明：因為平面AEEB，平面A8CZ>,平面AEFBc平面A5CZ>=AB,且A￡_LAB,

所以平面ABC。，連接5。，則△ABD等邊三角形，所以

以M為原點,為乂y軸，豎直向上為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(O,-1,O),B(y/3,0,0),C(y/3,2,0),D(0,l,0),E(0,-l,2),F(6,0,1),設(shè)々%)為平面DEF的法向量,

UU1UULHUDE-n,=05

因為。石=(0,-2,2),。/=("-1,1)，則有“八，取々=(0,1,1),

DF=0

UUUUUULL

又因為BM=(-V3,0,0).所以BM-nl=0,

因為BMu平面DEF,所以BMH平面DEF；

【小問2詳解】

UULU

解：分別設(shè)％=（工2，%，Z2），4=（七，丁3，Z3）為平面MEC和平面ECF的法向量,

uumuuu廠ME.%=0

因為ME=(0,-l,2),MC=(6,2,0)，則有＜取%=(—4,26,6)，

MC-n2=Q

ULIU_UUUEC?〃3=0-皿L[-

因EC=(V3,3,-2),CF=(0,-2,1).則有,口…，取…"2?

UUUU

22A/31

所以

cose=后方一，由圖可知二面角以一EC—尸為銳二面角,

所以二面角M-EC-F的余弦值為上叵.

31

20、（1）逑；

8

（2）