微考點(diǎn)6-2圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積類問(wèn)題

微考點(diǎn)62圓錐曲線中的弦長(zhǎng)面積類問(wèn)題（三大題型）直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：①一般方法：（其中為弦長(zhǎng)，為頂點(diǎn)到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截式.進(jìn)一步，=②特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著軸或者軸拆分成兩個(gè)三角形，不過(guò)在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在軸或者軸上，此時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng).③坐標(biāo)法：設(shè)，則④面積比的轉(zhuǎn)化：三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線法完成的線段之比或者設(shè)點(diǎn)法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類型：1.兩個(gè)三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離之比2.兩個(gè)三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)之比）3.利用三角形面積計(jì)算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長(zhǎng)之比4.面積的割補(bǔ)和轉(zhuǎn)化⑤四邊形的面積計(jì)算在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見(jiàn)的情況是四邊形的兩對(duì)角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解.⑥注意某條邊過(guò)定點(diǎn)的三角形和四邊形當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過(guò)定點(diǎn)時(shí)，我們就可以把三角形，四邊形某個(gè)定頂點(diǎn)和該定點(diǎn)為邊，這樣就轉(zhuǎn)化成定底邊的情形，最終可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見(jiàn)的定點(diǎn)結(jié)論，才能察覺(jué)出問(wèn)題的關(guān)鍵.題型一：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決弦長(zhǎng)問(wèn)題【精選例題】【例1】已知橢圓，，分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓E上.(1)求橢圓E的離心率；(2)過(guò)左焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，求取最大值時(shí)直線l的方程.【答案】(1)，(2)（1）解：將，代入橢圓方程，解得，所以橢圓的方程為，又，所以（2）解：設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立可得；則，且，，設(shè)的中點(diǎn)，則，，∴坐標(biāo)為，，因此直線的方程為，從而點(diǎn)為，又，，所以，令，則，因此當(dāng)，即時(shí)，最大值為3.所以的最大值為，此時(shí)，直線l的方程為.【例2】已知圓：和圓：，以動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓與其中一個(gè)圓外切，與另一個(gè)圓內(nèi)切，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)若斜率為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）確定圓在圓內(nèi)，設(shè)且對(duì)應(yīng)圓半徑為，根據(jù)題設(shè)及兩點(diǎn)距離公式得到關(guān)于關(guān)系，代入距離公式整理即得軌跡方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式建立關(guān)系并求出最大值即得.【詳解】（1）依題意，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即圓在圓內(nèi)，設(shè)，半徑為，顯然以為圓心的圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則有，則，所以軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡的方程為，設(shè)直線的方程為，由消去y并整理得，顯然，解得，設(shè)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)度的最大值為.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知橢圓C：，圓O：，若圓O過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓相交于點(diǎn)A，B，D，E，試求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(1)圓O：與x軸的交點(diǎn)為，即橢圓C的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)分別為，故，故，所以橢圓C的方程為：；(2)當(dāng)直線，中，有一條直線斜率不存在，一條直線斜率為0時(shí)，弦長(zhǎng)分別為，此時(shí)；當(dāng)直線，斜率都存在時(shí)，設(shè),聯(lián)立，可得，，，，同理，，令，則，，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?2．已知橢圓：的兩焦點(diǎn)，，且橢圓過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，求的取值范圍.【答案】(1)(2),．【分析】（1）由題意列出方程組，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為為不等于0的實(shí)數(shù)），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得線段的中垂線方程，求出的縱坐標(biāo)，結(jié)合題意求得，由弦長(zhǎng)公式可得，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其值域即得答案．【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為為不等于0的實(shí)數(shù)），，，，，由，可得，則，，，所以，所以的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線方程為：，令，則，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，又因?yàn)槭桥c軸交于負(fù)半軸，所以，，又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，所以，解得，又因?yàn)?，因?yàn)?，令，，由于函?shù)在單調(diào)遞增，所以在,上單調(diào)遞增，所以，，所以，，即的取值范圍為：,．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.題型二：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決三角形面積類問(wèn)題【精選例題】【例1】已知橢圓的方程為，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“蒙日?qǐng)A”，橢圓的焦距為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與其“蒙日?qǐng)A”交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)的值求出的方程，進(jìn)而可求得的面積；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，根據(jù)可得出，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的焦距為，離心率為，則，可得，故橢圓的方程為.（2）解：由題意，蒙日?qǐng)A方程為，圓心為，半徑，

①當(dāng)軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入“蒙日?qǐng)A”的方程得，解得，則，解得：，將直線的方程代入橢圓C的方程可得，解得，則，所以，；②當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，得，聯(lián)立，消去得，，可得，設(shè)、，則，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【例2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，上頂點(diǎn)為A，橢圓的焦距等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若B，C是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線AB和直線AC的斜率之積為，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可列方程求解，，，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式表達(dá)出三角形的面積，利用換元法及基本不等式求面積的最大值.【詳解】（1）由題意得，，①由的面積為，得，②又，得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知點(diǎn)，易知直線AB和直線AC的斜率均存在，所以點(diǎn)B，C與橢圓的上、下頂點(diǎn)均不重合．若直線BC的斜率不存在，不妨設(shè)，則，直線AB和直線AC的斜率分別是，，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，這與直線AB和直線AC的斜率之積為矛盾，所以直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為，其中，將直線BC的方程代入，得，則，設(shè)，，則，．直線AB和直線AC的斜率分別是，，所以，又，所以，即，所以，故，即，所以直線的方程為，，，所以，點(diǎn)到直線BC的距離，所以的面積．令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用k表示出來(lái)，然后再利用基本不等式長(zhǎng)最值．【例3】動(dòng)點(diǎn)滿足方程．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l與軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)，連接并分別延長(zhǎng)交軌跡于點(diǎn)，記的面積分別是，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得，從而求得軌跡的方程.（2）通過(guò)聯(lián)立方程組的方法求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求得的表達(dá)式，并利用不等式的性質(zhì)求得的取值范圍．【詳解】（1）方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，它的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓.，，，軌跡的方程是.（2）設(shè)，，，，，所以直線的方程為.與的方程聯(lián)立，，消去y得.即，，則，同理，∴，∵，∴，，則，即.【點(diǎn)睛】求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可通過(guò)定義法來(lái)進(jìn)行求解.定義法是根據(jù)已知條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)滿足哪種類型的軌跡的定義，由此來(lái)求得軌跡方程.圓錐曲線問(wèn)題中，求解面積的范圍問(wèn)題，可根據(jù)面積的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)、基本不等式等知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.【例4】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意可求得，，并且，求得，，，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得解；（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，可求得，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑可表示出，由此求得答案.【詳解】（1）由題可得，焦點(diǎn)在x軸上，，，，解得，，所以橢圓：.（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，的根為，，，，且，又∵，，∴，所以直線的方程為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二小問(wèn)屬于直線與圓錐曲線綜合性問(wèn)題，設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，可求出，另根據(jù)三角形內(nèi)切圓半徑和面積的關(guān)系可求得，由此可求得直線的方程.【跟蹤訓(xùn)練】1．如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為，，離心率為，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判定（為坐標(biāo)原點(diǎn)）與的面積之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)面積和為定值，定值為【分析】（1）根據(jù)題意求即可得到橢圓方程；（2）設(shè)，分別求出點(diǎn)，坐標(biāo)，然后求三角形面積即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，焦距為，則，，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得，，直線：，設(shè)點(diǎn)，，，則①，直線：，令，則，所以，直線：，令，則，所以，，由①得，所以.2．已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．①試討論直線AD是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)①恒過(guò)定點(diǎn)；②.【分析】（1）根據(jù)已知焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程；（2）①設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合A，B，共線有，整理化簡(jiǎn)求參數(shù)m，即可確定定點(diǎn)；②由直線AD所過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合并將韋達(dá)公式代入化簡(jiǎn)，應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.【詳解】（1）由題的周長(zhǎng)，可得，又，則，，故橢圓的方程為．（2）①由題，設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立方程可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，，因?yàn)锳，B，共線，則有，化簡(jiǎn)可得，即，化簡(jiǎn)可得恒成立．∴，即直線AD的方程為恒過(guò)定點(diǎn)．②設(shè)直線AD恒過(guò)定點(diǎn)記為，由上，可得，所以，·，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)直線AD為且，利用橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知條件求出參數(shù)m為關(guān)鍵.3．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．橢圓的中心為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且．(1)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)．記和的面積分別為和，是否存在直線，使得？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)存在，其方程為或【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得拋物線方程，再設(shè)，，結(jié)合，可得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，可得面積，再根據(jù)，可得直線方程.【詳解】（1）由拋物線的焦點(diǎn)為，可知，所以，所以拋物線的方程為；設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以，，由，可得，又，所以，解得或（舍），則，所以橢圓方程為；（2）

由題意可知，直線的斜率一定不為，則設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，則，，所以的面積，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，所以的面積，又，所以，解得，所以存在滿足條件的直線，且直線方程為或.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．題型三：利用弦長(zhǎng)公式距離公式解決定四邊形面積問(wèn)題【精選例題】【例1】如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)4；(3)是，定值為【分析】（1）由題意求出b的值，根據(jù)離心率可求出，即得答案；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，即可求得四邊形面積的表達(dá)式，利用三角代換，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值；（3）求出直線與的斜率之積的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)直線的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線方程為，，所以，直線與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問(wèn)得，，，故直線與的斜率之積為定值，且定值為.【例2】已知，分別為橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于C，D兩點(diǎn)，且，求四邊形ACBD面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由的周長(zhǎng)即可得到，從而求得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，所以的周長(zhǎng)為，解得，所以.所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

當(dāng)直線，中的一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為0時(shí)，四邊形ACBD的面積.當(dāng)直線，的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立得，整理得，則，則，，，因?yàn)?，故直線的方程為，同理可得，（把上式中的k替換為，即可得到）則四邊形ACBD的面積，令，則，故，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.所以.綜上所述，四邊形ACBD面積的取值范圍為.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知橢圓：，橢圓：，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（提示：過(guò)橢圓C：上一點(diǎn)與C相切的直線方程為）(1)求直線AB的方程（用，表示）；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OAPB的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意求切線方程，進(jìn)而可得直線AB的方程；（2）分和兩種情況，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求面積，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解.【詳解】（1）不妨設(shè)，，：，：，由題知A，B處的切線方程分別為，，因?yàn)檫@兩條直線均過(guò)，則，所以：.（2）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，消去y得，因?yàn)?，則代入上式，化簡(jiǎn)得，則，且，所以，到直線的距離，O到直線的距離，所以；當(dāng)時(shí)，則，直線：，由，解得，可得；所以綜上：四邊形OAPB的面積為定值.2．已知焦距為2的橢圓：，，分別為其左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)且滿足，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)直接求即可；（2）分斜率不存在，等于零，不等于零三種情況討論，由弦長(zhǎng)公式得出面積的表達(dá)式再用二次函數(shù)的單調(diào)性求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8所以則有所以所以所以的方程為（2）斜率不存在時(shí).方程為，方程為

則有所以斜率為時(shí).方程為，此時(shí)無(wú)法構(gòu)成，不符合題意；斜率存在且不為時(shí).設(shè)方程為則方程為所以由得所以所以同理，設(shè)代入并化簡(jiǎn)可得.所以即...令則即所以此時(shí)當(dāng)時(shí)，面積最小，【點(diǎn)睛】本題計(jì)算量較大，屬于弦長(zhǎng)問(wèn)題；第一問(wèn)直接由橢圓的定義可得；第二問(wèn)需要分類討論斜率不存在，等于零，不等于零三種情況，再由弦長(zhǎng)公式得到面積的表達(dá)式，最后得出結(jié)果.1．設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)．已知，．(1)求橢圓方程．(2)若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)．若，求直線的方程．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列式計(jì)算得，，，得解；（2）設(shè)直線為，由圓心到直線的距離小于半徑得出的范圍，由圓的性質(zhì)求出弦的長(zhǎng)，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，求出弦的長(zhǎng)，由條件得出方程，可得答案.【詳解】（1）由題意，，，解得，，，所以橢圓方程為．（2）設(shè)直線為，，，由題意，以為直徑的圓的方程為，則圓心到直線的距離，即，所以，由，消去，整理得，，解得，又，所以，，，，因?yàn)?，所以，解得，又，所以，所以直線的方程為：或．2．已知圓O：，點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，M在x軸上的射影為N，點(diǎn)P滿足，記點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求曲線E的方程；(2)已知，過(guò)F的直線m與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F且與m垂直的直線n與圓O交于C，D兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，則，根據(jù)已知可推得，即可得出坐標(biāo)，代入圓的方程，即可得出答案；（2）先求出直線的斜率為0以及不存在的情況.然后設(shè)，則，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理得出.聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出弦長(zhǎng)，即可得出.根據(jù)不等式的性質(zhì)求出，換元令，則，.構(gòu)造函數(shù)，.求出導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，則，所以，，.由，可得，所以，.由點(diǎn)M在圓上，所以，整理得，所以曲線E的方程是.（2）當(dāng)直線m的斜率為0時(shí)，直線m的方程為，代入橢圓方程可得，.直線的方程，代入圓的方程可得，,所以，，；當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m的方程為，代入橢圓方程可得，.直線的方程，代入圓的方程可得，,所以，，；當(dāng)直線m的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，則，點(diǎn)O到直線n的距離，圓的半徑，根據(jù)垂徑定理可得，所以.將代入曲線E的方程，整理得，恒成立.設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，，，則.所以.因?yàn)?，所以，所?令，則，.令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.又，，所以，即.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式得出弦長(zhǎng).3．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓過(guò)，斜率為的直線與橢圓交于、.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，記的中點(diǎn)為坐標(biāo)為且，求直線的方程，并寫(xiě)出的坐標(biāo).【答案】(1)(2)直線方程為，此時(shí)，或直線方程為，此時(shí).【分析】（1）根據(jù)題意得到和，結(jié)合求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，根據(jù)得到方程，求出直線的方程，并寫(xiě)出的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得中，，且，故，又橢圓過(guò)，所以，解得，故橢圓方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立與得，，則，解得，設(shè)，則，則，則，，故，故，因?yàn)榫€段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，故，解得，且，因?yàn)椋?，平方后，將代入，化?jiǎn)得，即，解得，當(dāng)?shù)茫藭r(shí)滿足，直線方程為，，當(dāng)?shù)茫藭r(shí)滿足，直線方程為，，【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線相交，通常要求解弦長(zhǎng)或面積，其中弦長(zhǎng)公式為：或.4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，記的面積為，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于，，的方程即可求解；（2）設(shè)直線方程（有兩種方法，一種設(shè)；另一種設(shè)），與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及基本不等式即可求出面積的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，從而，.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）易知點(diǎn)在的外部，則直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，，聯(lián)立方程組消去得，由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知所以，化簡(jiǎn)得.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以的面積令，得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)闈M足，所以的最大值為.評(píng)分細(xì)則：第二問(wèn)另解：（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程組，消去得.由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知.所以，化簡(jiǎn)得.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以的面積.令，得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)闈M足，所以的最大值為.5．已知橢圓C：的離心率為，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P與左、右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線PQ交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，已知，設(shè)和的面積分別為，，求的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意列式即可求解；（2）先討論直線PQ的斜率為0的情況，斜率不為0時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件證明直線PQ恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)，再表示出即可求解.【詳解】（1）由題意知解得所以橢圓C的方程為．（2）依題意，，，設(shè)，．若直線PQ的斜率為0，則點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，必有，即，不合題意．所以直線PQ的斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，所以，且因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，滿足，所以，則，即．因?yàn)?，所以，此時(shí)，故直線PQ恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)．因此，，所以，則，當(dāng)即時(shí)，取得最大值．6．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若與的面積相等，求直線的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）確定當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)取最大值，由此求得a的值，再根據(jù)離心率求得c，繼而求出b，即可求得答案.（2）分類討論，考慮點(diǎn)Q的位置，即點(diǎn)在橢圓外和橢圓內(nèi)，根據(jù)與的面積相等，推出相關(guān)線段的比例關(guān)系，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，由題意可知，則，當(dāng)重合時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)取最大值，所以因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意得：①當(dāng)點(diǎn)在橢圓外，由于與的面積相等，，故,則，故，設(shè)，則，又P點(diǎn)在上，則，即，故，又，所以直線的方程為，即；②當(dāng)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，此時(shí)，同理可得，又P點(diǎn)在上，則，即，故，又，所以直線的方程為，即綜上：直線的方程為：或.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題關(guān)于直線和橢圓的位置關(guān)系類問(wèn)題，難點(diǎn)就在于計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量較大，解答時(shí)要注意分類討論，即考慮Q點(diǎn)位置，結(jié)合與的面積相等，推出線段間的比例關(guān)系，由此求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解直線的方程.7．在平面直角坐標(biāo)系中，、為圓：與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)異于、兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且______，從下列條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中作答.條件①：直線與直線的斜率之積為；條件②：設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為點(diǎn)在軸上的射影，且為的中點(diǎn)；注：如果選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)計(jì)分.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與（1）問(wèn)中軌跡方程交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，且，求面積最大值.【答案】(1)①：；②：；(2)【分析】（1）選①：表示出兩條直線的斜率，整理方程，可得答案；選②：表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，建立等量關(guān)系，結(jié)合圓的方程，可得答案.（2）根據(jù)圓心角求得弦心距，利用直線與橢圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合分類討論以及函數(shù)思想，可得答案.【詳解】（1）選①：設(shè)，由圓，則，，所以直線的斜率分為為，，其中，由題意可得，整理可得.選②：設(shè)，，則，，由為的中點(diǎn)，則，解得，可得，整理可得.（2）在圓中，由，，則，在中，，則，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，代入方程，可得：，解得，可得；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立可得，消去整理可得：，，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，整理可得，則，解得，，令，則，令，解得或，可得下表：所以，則的最大值為，綜上所述，的最大值為.8．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為，過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為3．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，若，試求內(nèi)切圓的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)以及通經(jīng)的計(jì)算公式，建立方程組，可得答案；（2）根據(jù)垂直直線，寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)內(nèi)切圓與三角形的關(guān)系，結(jié)合圓的面積公式，可得答案.【詳解】（1）依題意得．解得．所以．（2）

由（1）得，，，由于，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由．消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，，則，，所以，到直線即的距離，所以三角形的面積為，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則，，所以內(nèi)切圓的面積為．9．已知直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)橢圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與垂直相交于橢圓的左焦點(diǎn)，是四邊形的面積，求的最小值.【答案】(1)；(2)存在，；(3)【分析】（1）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用求解即可；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，設(shè)，通過(guò)求出的范圍，然后與橢圓聯(lián)立，求出線段的中點(diǎn)，代入直線，求出與的關(guān)系，進(jìn)而可得大范圍；（3）先求出對(duì)角線與中有一個(gè)斜率不存在，另一個(gè)斜率為零時(shí)的，再求對(duì)角線與的斜率即存在，又不為零時(shí)的，對(duì)于這種情況，設(shè)，與橢圓聯(lián)立，然后利用弦長(zhǎng)公式求出，同理求出，通過(guò)計(jì)算求其范圍，然后綜合可得的最小值.【詳解】（1）聯(lián)立，消去得直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，，解得即橢圓的方程為；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，聯(lián)立，消去得，則，解得，由韋達(dá)定理得，，，，存在實(shí)數(shù)，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，且的取值范圍是.（3）橢圓的左焦點(diǎn)為，當(dāng)對(duì)角線與中有一個(gè)斜率不存在，另一個(gè)斜率為零時(shí)，，當(dāng)對(duì)角線與的斜率即存在，又不為零時(shí)，設(shè)，則，聯(lián)立，消去得，則，，同理：，令，則，因?yàn)?，，綜合得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即的最小值為.10．已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是．(1)求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn)，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)，然后根據(jù)題中的幾何條件得出方程，從而求解出軌跡方程；（2）根據(jù)題意設(shè)出直線，求出直線與橢圓相交弦長(zhǎng)，并結(jié)合點(diǎn)到直線距離知識(shí)從而求解.【詳解】（1）依題意，得，整理化簡(jiǎn)得，，所以：點(diǎn)的軌跡的方