江蘇省高郵市2023-2024學(xué)年高二年級上冊12月學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

江蘇省高郵市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期

12月學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若兩條直線2%+3丁-1=°與依+4y—5=°互相垂直，則實(shí)數(shù)。的值為（）

88

A.—B.—C.-6D.6

33

【答案】C

【解析】由題意可得：2。+12=0,解得a=-6.

故選：C.

2.拋物線好=8〉的焦點(diǎn)到點(diǎn)（2,5）的距離為（）

A.3B.V13C.5D.V29

【答案】B

【解析】拋物線必=8〉的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,

所以（0,2）到點(diǎn)（2,5）的距離為2）2+0—5）2=而.

故選：B.

2Q

3.已知數(shù)列｛4｝中，q=1且flu則％0為（）

an+幺

1122

A.—B.-C.-D.—

56911

【答案】D

2a

【解析】=七），

q+2

an+i（4+2）=2%,

即4+14+24+1=2?！?，

22

兩邊同時(shí)除以?！?得：1+—=----,

anan+\

22?

即--------=1,

a

n+la“

72

令％=7,則2+1-2=1，

an

X72c

則他（“｝是首項(xiàng)為仿=7=2,公差為1的等差數(shù)列,

/、2

則〃=2+(〃-1)=〃+1,即一=〃+1,

an

222

則a=---，貝(J%()=------=——.

nn+11010+111

故選：D

4.設(shè)函數(shù)/⑺在x=l處存在導(dǎo)數(shù)為3,則lim+⑴二（）

—一03Ax

A.1B.3C.6D.9

【答案】A

【解析】lim"ST⑴=—fr(l)=1x3=1,

心一。3Ax3微-°Ax33

故選：A.

5.已知圓C]：+y2-2煙+根2-16=0與圓。2：+>2—2y=0,若G與。2有且僅有

一條公切線，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.±y/2B.±6C.±2D.±2\[2

【答案】D

72

【解析】圓G：/+J?—2znx+療一16=0可化為Cx:（%-+y=16,圓心G（m,0）,

半徑八二4；

圓。2：必+丁2—2y=?？苫癁镃2：d+（y—1）2=1,圓心Q（0,l）,半徑弓二1；

因?yàn)镚與G有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切,

所以CG|=|G—目，即『(/?-0,+(0-1)2=3,解得m=±2也.

故選：D

6.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，4<0,%+。9〉。，則使得不等式S,<0成立的

最大的〃的值為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】｛4｝是等差數(shù)列，二％,+%=。4+。9>。，又。6<0，所以%>0,公差

d=%—/〉0，

因此｛S"中，當(dāng)〃W6時(shí)｛S"｝遞減，條是最小值，從〃=6開始，｛$"｝遞增，

S

又51=11(。；"“)=114<0,12=12(%；%2)=6(7+%)>0,

所以使得S,<0的最大的“為11,

故選：C.

22

7.已知雙曲線之-3=1,4,工是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn),

cos/片尸居=q,則歸。|=()

A.V10B.715C.2A/5D.底

【答案】A

【解析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,%,),%>0,

222

由題意可知〃2=9，從=4,c=a+b,

則〃=3,b=2,C=A/13，=2(2=6.

在△耳尸耳中，由余弦定理可得：

cC附f+|P周2-閨卜(|WH尸馬丫+2|尸印|「聞一|百戶廣

12--'

即_3=62+2附||明-僅舊)，解得歸耳歸閭=5.

52閥|廖-

34

因?yàn)閏osN耳尸耳=—y,則sinNGPg=(.

因?yàn)镾F照=；電便閭sinN耳/2=3由閭聞，

所以gx5x1=gx2屈xg],解得聞=卡.

22(2\

又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線三—匕=1,所以無；=91+3，

94I4J

91+十9+^^=V10.

則歸o+v=

4

0）,。是橢圓C上的點(diǎn),耳（―c,0）,乙（c,o）是橢圓c

的左右焦點(diǎn)，若pRi.p戶2W2ac恒成立，則橢圓c的離心率e的取值范圍是（

B.（0,72-1]

【答案】D

,2,2,2

【解析】設(shè)P（x。,%）,則其+4=1,-a<x0<a,—烏）,

aba

jr

PF\PF?-（一。一％0,-%）?一玉）,一%）=%：-/+y：=焉一/+Z?2（1—

a

A2

-（12^X0+。2-，，

a

h2

因?yàn)閍>b>0,所以1—，〉0,又。（需99

a

所以X；=4時(shí)，尸耳.p瑪取得最大值（1_4）/+62-。2=/一02,

a

P尸1?尸尸2W2ac恒成立，則儲—c2<2ac，變形得e?+2e—l20，又0<e<l,故解得

-x/2,-1<e<1，

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.）

9.下列說法正確的有（）

A.若直線的斜率越大，則直線的傾斜角就越大

B.直線—2左+3=0必過定點(diǎn)（—3,2）

C,直線2x—4y—1=0與直線x—2y=0的距離為坦

10

D.斜率為3,且在y軸上的截距為2的直線方程為y=3%±2

【答案】BC

【解析】對于A,當(dāng)斜率為時(shí)，傾斜角為120。，當(dāng)斜率為正時(shí)，傾斜角為60。，故A錯(cuò)

誤;

對于B,將直線*+@—2k+3=0化為左(y-2)+x+3=0,

y-2=0y=2

則一°c，解得4

x+3=0x=-3

即直線x+份—2左+3=0必過定點(diǎn)（—3,2）,故B正確;

對于C,將直線x—2y=0化為2x—4y=0,

則這兩平行直線間的距離為d=——=—,故C正確;

@+4210

由斜截式方程的定義可知斜率為3,且在y軸上的截距為2的直線方程為y=3x+2,故D

錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(%——)f=1+—TB.(lgx)f=-

XXX

C.(kx+b)'=k+1D.(tanx)r=-

cosx

【答案】AD

【解析】由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可得:

對A,(X--)'=l+^z-,A正確;

XX

對B,(lgx)r=-^――,B錯(cuò)誤;

x-lnlO

對C,{kx+by=k,C錯(cuò)誤；

.??21

a-z、，/Smx、,cosx+sinxl?丁丁生

對D,(tanx)'=()'=-------；-----=——,D正確.

cosxcos-Xcos-X

故選：AD

II.已知點(diǎn)”(-1,0)在拋物線c：y2=2PMp>o)的準(zhǔn)線上,過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線,

交C于4(玉,%)、6(%2，%)兩點(diǎn)，貝U()

A.拋物線C的方程是V=4xB.=I

32

C當(dāng)AF=3EB時(shí)，恒目=可D.ZAMF=ABMF

【答案】ABD

【解析】對于A選項(xiàng)，拋物線。的準(zhǔn)線方程為尤=-4，

2

因?yàn)辄c(diǎn)/(—1,0)在拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上，貝!]—(=—1,可得p=2,

所以拋物線。的方程為V=4x,A對；

對于B選項(xiàng)，拋物線C的焦點(diǎn)為尸(1,0),

若直線/與x軸重合，此時(shí)，直線/與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意,

所以直線/不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為％=陽+1,

x=my+l_

聯(lián)立2/，可得y—4加丁-4=0,A=16m2+16>0，貝1%%=一4,

y=4x-

所以xxK.戈=(zf)_=l，B對;

124416

對于C選項(xiàng)，因?yàn)锳尸=3尸5，即（1一%,一%）=3（%2—1,%），貝1一%=3%，

因?yàn)?+%=-2%=4根，可得見=~2m，

則X%==—3x（—2m）2=—12m2=—4,則m？=g,

2

此時(shí)，|AB|=再+%2+2=my1+l+my2+1+2=加（％+j2）+4=4^m+1）

=4x[+l]告,C錯(cuò);

yyy

對于D選項(xiàng)，kAM=7：=一^,同理可得kBM=-2,

再+1myx+2my2+2

訴”"+k；%I%—x（沖2+2）+%（g+2）

AMBM沖1+2my2+2（my+2）（m%+2）

2zn%為+2（%+%）-8m+8m八

------------------------------------------------------------=（j

（7町+2）（7佻+2）（7孫+4）（沖2+4）

所以執(zhí)沖=功3，D對.

故選：ABD.

12.對于正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,定義：Gn=.+3%+9%++3"為數(shù)列｛4｝的“勻稱值”.已

知數(shù)列｛??｝的“勻稱值”為G“=3",｛4｝的前n項(xiàng)和為S”,則下列關(guān)于數(shù)列｛4｝的描述正

確的有（）

A.數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列

B.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

C.32L=2025

2023

3

D.記7；為數(shù)列的前〃項(xiàng)和，則看<—

4

【答案】BCD

【解析】由已知可得

Gn=q+3%++3"%=3?,

n

所以％+3%++3"1=〃,3",①

當(dāng)及22時(shí),q+3%++3"2%_]=(幾―1).3"i,②

由①—②得，3〃T為二〃?3〃_(〃_1)?3〃一1二(2〃+1)?3"一1,

即時(shí)，氏=2〃+1,

當(dāng)〃=1時(shí)，由①知弓=3,滿足?！?2〃+1,

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤，B正確；

因?yàn)镾=—―—=n(n+2),所以=〃+2,

〃2v7n

故2^21=2023+2=2025,故C正確；

2023

1If111

因?yàn)椴欢?,小二孑7X，

Sn〃(〃+2)2\nn+2J

.1(1111111132n+33,

所以[]_[+彳_：++------+=-<,故正

21324n-1n+71nn+~2)742(〃+ilw)(〃+\2)\~4AD

確.

故選：BCD.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡中的橫線上.）

WV*2l

13.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓^―+上=1的焦距為2a,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

10-mm-2

【答案】5

【解析】由于橢圓焦距為2底，所以c=&，

由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，10—/%>加一2>0,

解得m=5.

故答案為：5

14.己知｛4｝為等比數(shù)列，公比qwl,q=《，且3%,2%,生成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式4=

【答案】工?3"T

2

【解析】由3q,2a2，生成等差數(shù)列，且4=g，

得4g—3q+qo4q,q=3%+=/—4q+3=0,解得q=］或q=3,

又所以q=3,所以

故答案為：

2

IllilPAl1

15.已知平面內(nèi)的動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(2,0),6(4,0)的距離分別為|PA|和歸國，且扁一一

2

則點(diǎn)P到直線3x—4y+6=0的距離的最大值為

…小

【答案】—10

3

【解析】設(shè)動點(diǎn)為尸(乂丁),

,2

"+y1

由題意可得

阿,22

整理得Y9+y92——8％=0,即

3i+T

4

故動點(diǎn)尸的軌跡是半徑為r=-,圓心為的圓,

3

4

3x——4x0+6

因?yàn)閳A心到直線3Iy+6=。的距離公3

=2'

的+16

-410

所以點(diǎn)尸到此直線的最大距離為d+r=2+—=—.

33

故答案為：—

3

16.在數(shù)列｛2｝中，q=4,an+x=3an—2,若對于任意的〃wN*,左(4-1)22〃一7恒

成立，則實(shí)數(shù)左的最小值為

【答案/

【解析】/=34-2,故/I-1=3(為一1),設(shè)"=%T,則=3〃，伉=4-1=3,

n

{〃}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，故a=3",an=bn+l=3+l,

2〃一7

k(an-V)>2n-l,即左.3"22〃一7，即女?恒成立，

2m—7>+—7

3m3川+1

設(shè)%=」|^,設(shè)｛1｝的最大項(xiàng)為曝，貝卜,解得4<m<5,

2m—7〉2(m-l)-7

I3m3根t

故第4項(xiàng)或者第5項(xiàng)最大為,，故女》工

8181

故答案為：一.

81

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5〃，且滿足2〃3=%+3,S7=49.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

〃〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列也｝滿足仇=<〃為偶數(shù)’求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和

解：(1)依題意，設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

2(q+2d)=%+3d+3

2a,=aA+3Q]=1

因?yàn)椋?=49，所以cr7x6,，解得：,

S7=7qH——=49d—2

所以=%+(n-l)d=l+2(n-l)-2n-l.

日,〃為奇數(shù)=2n-l,〃為奇數(shù)

(2)因?yàn)閐=<12",偽偶數(shù)’所"廣

2",〃為偶數(shù)

所以(2=2+。2++b9+bl0

=1+22+5+24+...+17+210=(1+5+.+17)+(22+24+—+210)

5x(l+17)22-212

?=45+1364=1409.

21-22

18.己知圓C的圓心在直線x—y—5=0上且與>軸相切于點(diǎn)M(0,-2).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/過點(diǎn)P(-I,o)且被圓C截得的弦長為2君，求直線/的方程.

解：(1)圓C的圓心在直線x—y—5=。上且與y軸切于點(diǎn)/(0,-2),

/u—b—5—0

可設(shè)圓心坐標(biāo)為。(。力)，貝U'解得。=31=一2,.

所以圓心。(3,—2),半徑「=\MC\=J(0-3)2+(-2+2)2=3，

故圓的方程為(x—3)2+(y+2)2=9.

(2)由直線/過點(diǎn)尸(-1,0)且被圓C截得的弦長為2百，

根據(jù)圓的弦長公式，可得/=2，戶—儲，即26=2的”,解得[=2,

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程為x=-1,此時(shí)d=4不滿足條件；

當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的斜率為左，則方程為丁=左(％+1),即履—y+左=0,

,\3k+2+k\4

可得d=l/1=2,解得左=0或左=——,

所以直線方程為y=0或4x+3y+4=0.

19.己知函數(shù)/(x)=d+x—2.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(L0)處的切線方程；

(2)直線/為曲線＞=/(元)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線/的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

解：(1)/(x)=d+x—2,/(X)=3X2+1,/(1)=3X12+1=4.

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(L0)處的切線方程為y—o=4(x—1),

即4x—y—4=0；

(2)設(shè)切點(diǎn)為(%0，■+%-2),/(%)=3片+1,

切線方程為y-(方+超-2)=(3焉+1)(%-x0),.

切線經(jīng)過原點(diǎn)，故—(需+/―2)=—%―(3焉+1),所以2焉=-2,x°=T，

故/(―1)=3義(―I)?+1=4,切點(diǎn)為(-1,-4),切線方程為y+4=4(x+1),

即過原點(diǎn)的切線方程為y=4x,切點(diǎn)為(-L-4).

20.已知數(shù)列｛。"｝,弓=2,%=5,a“+2=4a“+]—4a”

(1)令〃=a.+i—2a“，求證：數(shù)列｛"｝是等比數(shù)歹!J；

(2)若，=nbn,求數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和S”.

解：⑴因?yàn)椋?2=4〃用一4%，所以％+2—2%=2（%+1—2%）,即%=2%

b

又4=%-2q=1w0,則=2.

b

所以數(shù)列｛"｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

(2)由(1)得"=2"一1,則c“=〃-2"T,

貝ij=1x2°+2x21+3x22+4x23++nx2n-1,

2S?=1X21+2X22+3X23++(n-l)x2^1+nx2",

1

兩式相減得—S=1+2+2?++2n-'-nx2n=-------HX2,!=(l-n)x2,!-1,.

"1-2

所以S.=(〃-l)2"+1.

21.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，存在兩定點(diǎn)/(—1,0),N(l,0)與一動點(diǎn)4>,y).已知直

線MA與直線NA的斜率之積為8.

(1)求點(diǎn)A的軌跡方程：T；

(2)記「的左、右焦點(diǎn)分別為《、F2,過定點(diǎn)(0,1)的直線/交『于P、。兩點(diǎn).若P、Q

兩點(diǎn)滿足(W+PE,)-(QFl+QF2)=-33,求直線I的方程.

2

解：(1)設(shè)a(x,y),由題意―?上=8,化簡可得好一匕=1.

x+1x—18

2

所以點(diǎn)A的軌跡方程為/_1_=1(%w±1).

2

(2)由題設(shè)過定點(diǎn)(0,1)的直線/方程為丁=履+1,將其與必-匕=l(xw±l)聯(lián)立有:

8

1-丁=1（"土1）,消去y得：（8—左2）f—2a—9=0,

y=kx+1

A=4^2+36（8-^2）＞0

因/交r于尸、。兩點(diǎn)，則<

8-42wo

解得：^G(-3,-2A/2),(—20,20)—(20,3).

2k-9

設(shè)P（%,%），2（%2，%），則由韋達(dá)定理有：石+%2

-------,x,-X?=------7??

8—左2128-k2

又￡(—3,0),5(3,0),則「耳+正g=2PO=2(—七,—%)=(—2%,—2%),

同理。耳+。匹=2QO=2(-七，一%)=(一29，一2%)，

又因?yàn)?咫+Pgj?(。耳+QF2)=-33,所以4(石々+%%)=-33.

2

又%%=(2+1)(仇+1)=kxYx2+k?+x2)+l

-92k8-8左2

=k~'+k-+1=

8—428-k28—/

“-98—8左2—