2024年中考數(shù)學專題訓練 專題03 平行線四大模型（專項訓練）原卷版+解析

專題03平行線四大模型（專項訓練）1．將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，∠BAC的平分線交直線b于點D，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．70° C．80° D．110°3．如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．360° C．270° D．540°4．把一塊直尺與一塊直角三角板如圖放置，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)為．5．如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中AB∥DE，測得∠B＝140°，∠D＝120°，則∠C的度數(shù)為度．6．問題情境（1）如圖①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，試探究直線AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由．小明給出下面正確的解法：直線AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．理由如下：過點E作EF∥AB（如圖②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依據(jù)1），因為∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依據(jù)2），因為EF∥AB，所以AB∥CD（依據(jù)3）．交流反思上述解答過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指什么？“依據(jù)1”：，“依據(jù)2”：，“依據(jù)3”：，類比探究（2）如圖，當∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時，有AB∥CD．拓展延伸（3）如圖，當∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時，有AB∥CD．7．如圖，a∥b，將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置．若∠1＝15°，則∠2的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．45°8．將長方形紙條按如圖方式折疊，折痕為DE，點A，B的對應點分別為A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，則∠β的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．809．如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．80°10．如圖，將直尺與30角的三角尺疊放在一起，若∠2＝50°，則∠1的大小是（）A．40° B．50° C．70° D．80°11．如圖，一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O，AB∥OC，DC與OA交于點E，則∠DEO的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．70° D．60°12．如圖，船C在觀測站A的北偏東35°方向上，在觀測站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（）度．A．20° B．35° C．55° D．60°13．如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．414．已知l1∥l2，一個含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若∠1＝65°，則∠2＝度．15.如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）16．小明同學遇到這樣一個問題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線l1、l2上，猜想：如圖②，若點P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點P在直線EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．17．如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．18．如圖，AB∥CD，點E為AB上方一點，F(xiàn)B、CG分別為∠EFG、∠ECD的角平分線，若∠E+2∠G＝210°，則∠EFG的度數(shù)為（）A．140° B．150° C．130° D．160°19．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°20．某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如右圖所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點B緩慢向上抬高，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CD與AE始終平行），在該運動過程中∠ABC+∠BCD的度數(shù)始終等于（）度A．360 B．180 C．250 D．270專題03平行線四大模型（專項訓練）1．將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【解答】解：如圖，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∴∠1＝45°，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∴∠α＝∠1+30°＝75°．故選：D．2．如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，∠BAC的平分線交直線b于點D，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．70° C．80° D．110°【答案】B【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵a∥b，∠1＝55°，∴∠BAD＝∠CAD＝55°，∴∠2＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故選：B．3．如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．360° C．270° D．540°【答案】B【解答】解：過點P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故選：B．4．把一塊直尺與一塊直角三角板如圖放置，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)為．【答案】128°【解答】解：如圖，∵∠1＝∠3＝38°，∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．故答案為：128°．5．如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中AB∥DE，測得∠B＝140°，∠D＝120°，則∠C的度數(shù)為度．【答案】100【解答】解：如圖所示：過點C作CF∥AB．∵AB∥DE，∴DE∥CF；∴∠BCF＝180°﹣∠B＝40°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝100°．故答案為：100．6．問題情境（1）如圖①，已知∠B+∠E+∠D＝360°，試探究直線AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由．小明給出下面正確的解法：直線AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．理由如下：過點E作EF∥AB（如圖②所示），所以∠B+∠BEF＝180°（依據(jù)1），因為∠B+∠BED+∠D＝360°（已知），所以∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝360°，所以∠FED+∠D＝180°，所以EF∥CD（依據(jù)2），因為EF∥AB，所以AB∥CD（依據(jù)3）．交流反思上述解答過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指什么？“依據(jù)1”：，“依據(jù)2”：，“依據(jù)3”：，類比探究（2）如圖，當∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時，有AB∥CD．拓展延伸（3）如圖，當∠B、∠E、∠F、∠D滿足條件時，有AB∥CD．【解答】解：（1）“依據(jù)1”：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，“依據(jù)2”：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，“依據(jù)3”：平行于同一條直線的兩直線平行，故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；平行于同一條直線的兩直線平行，（2）如圖，當∠B、∠BEF、∠EFD、∠D滿足條件∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°時，有AB∥CD．理由：過點E、F分別作GE∥HF∥CD．則∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFD+∠CDF＝180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC＝360°；又∵∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；故答案為：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°；（3）如圖，當∠B、∠BEF、∠EFD、∠D滿足條件∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD時，有AB∥CD．理由：過點E、F分別作GE∥FH∥CD．則∠GEF＝∠EFH，∠D＝∠HFD，∵∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD，即∠B+∠BEG+∠GEF+∠D＝180°+∠EFH+∠HFD，∴∠B+∠BEG＝180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD，故答案為：∠B+∠BEF+∠D＝180°+∠EFD．7．如圖，a∥b，將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置．若∠1＝15°，則∠2的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：如圖：過點B作BC∥b，∴∠1＝∠CBD＝15°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，∵a∥b，∴a∥BC，∴∠2＝∠ABC＝30°，故選：C．8．將長方形紙條按如圖方式折疊，折痕為DE，點A，B的對應點分別為A′，B′，若∠α＝∠β﹣20°，則∠β的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80【答案】C【解答】解：如圖：延長EB′交AF于點G，∵四邊形ABHF是矩形，∴∠B＝90°，AF∥BH，由折疊得：∠B＝∠A′B′E＝90°，∠BEB′＝2∠BED＝2∠β，∴∠CB′G＝180°﹣∠A′B′E＝90°，∵AF∥BH，∴∠FGB′＝∠BEB′＝2∠β，∵∠FGB′是△CGB′的一個外角，∴∠FGB′＝∠GCB′+∠CB′G，∴2∠β＝∠α+90°，∵∠α＝∠β﹣20°，∴2∠β＝∠β﹣20°+90°，∴∠β＝70°，故選：C．9．如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．80°【答案】B【解答】解：反向延長DE交BC于M，如圖：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故選：B．10．如圖，將直尺與30角的三角尺疊放在一起，若∠2＝50°，則∠1的大小是（）A．40° B．50° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：如圖：由題意得，∠3＝60°，∵∠2＝50°，AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故選：C．11．如圖，一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O，AB∥OC，DC與OA交于點E，則∠DEO的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．70° D．60°【答案】B【解答】解：過點E作EF∥CO，∴∠AEF＝∠A＝30°，∵AB∥CO，∴EF∥CO，∴∠FEC＝∠C＝45°，∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝75°，∴∠DEO＝∠AEC＝75°，故選：B．12．如圖，船C在觀測站A的北偏東35°方向上，在觀測站B的北偏西20°方向上，那么∠ACB＝（）度．A．20° B．35° C．55° D．60°【答案】C【解答】解：如圖：過點C作CF∥AD，由題意得：∠DAC＝35°，∠CBE＝20°，AD∥EB，∴CF∥EB，∴∠FCB＝∠CBE＝20°，∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝35°，∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝55°，故選：C．13．如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由題意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正確；②由題意得∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正確；③過點F作FH∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，F(xiàn)H∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③錯誤；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④錯誤．綜上所述，正確的有2個．故選：B．14．已知l1∥l2，一個含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若∠1＝65°，則∠2＝度．【答案】25【解答】解：如圖，過直角頂點作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1∥l2∥l3，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∵∠1＝65°，∴∠2＝25°．故答案為：25．15.如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】270°n°．【解答】解：（1）過點M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案為：270°；（2）過點N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點N，∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF＝∠EMF＝n°．故答案為：n°．16．小明同學遇到這樣一個問題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問的證明．證明：過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線l1、l2上，猜想：如圖②，若點P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點P在直線EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：猜想：如圖1，過點P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如圖1，當點P在線段CD上時，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如圖2，當點P在射線DP上時，過點P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如圖3，當點P在射線CE上時，過點P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；綜上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系為∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．17．如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：作OM∥AB，如圖1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如圖2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．18．如圖，AB∥CD，點E為AB上方一點，F(xiàn)B