專題02平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

專題02平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理1、定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使2、基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．3、對(duì)平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．（3）是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（4）由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．4、平面向量基本定理的應(yīng)用（1）平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用：設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若，則（2）重要結(jié)論設(shè)是平面內(nèi)一個(gè)基底，若，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，與共線；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，與共線；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，；知識(shí)點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、向量和差運(yùn)算：已知，則，．結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．2、向量數(shù)乘運(yùn)算：若，則；結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。3、向量共線運(yùn)算：已知，則向量，共線的充要條件是知識(shí)點(diǎn)3線段的定比分點(diǎn)及λ設(shè)、是直線上的兩點(diǎn)，是上不同于、的任一點(diǎn)，則一定存在實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)分所成的比.有三種情況：(內(nèi)分)

(外分)()

(外分)()1、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為，我們稱為點(diǎn)分所成的比.2、點(diǎn)的位置與的范圍的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)；②當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的外分點(diǎn).3、若分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則；特別地為的中點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)4平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：若，，則兩個(gè)向量的數(shù)量積：等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。2、兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示：若兩個(gè)向量垂直，則3、用坐標(biāo)表示的三個(gè)重要公式（1）向量的模公式：若a=(x（2）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y（3）向量的交角公式：設(shè)兩個(gè)非零向量a=(x1,y1)，b則cos考點(diǎn)1對(duì)基本定理的概念理解【例1】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選）設(shè)是已知的平面向量，向量，，在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，其中真命題是（）A．給定向量，總存在向量，使；B．給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；D．若，存在單位向量，和正實(shí)數(shù)，，使，則．【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，給定向量和，只需求得其向量差即為所求的向量，故總存在向量，使，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取，無(wú)論取何值，向量都平行于x軸，而向量的模恒等于2，要使成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量使等式成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，又，不共線，，即，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，得，故D正確，故選：ABD．【變式11】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個(gè)非零向量表示B．平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共線向量的性質(zhì)可知選項(xiàng)A正確；根據(jù)平面向量基本定理可知：平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量表示，所以選項(xiàng)B不正確；根據(jù)平面向量基本定理可知中：選項(xiàng)C、D都正確，故選：B【變式12】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法中正確的是（）A．平面向量的一個(gè)基底中，，一定都是非零向量.B．在平面向量基本定理中，若，則.C．若單位向量?的夾角為，則在方向上的投影向量是.D．表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：作為基底的兩個(gè)向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此，一定都是非零向量，故A正確；選項(xiàng)B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正確；選項(xiàng)C：在方向上的投影向量為：，故C正確；選項(xiàng)D：平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量都可作為基底，因此基底不是唯一的，故D錯(cuò)誤故選：ABC【變式13】（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）（多選）如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.對(duì)于B，由平面向量基本定理可知，若基底確定，則該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時(shí)，這樣的λ有無(wú)數(shù)個(gè)，或當(dāng)為非零向量，而為零向量(λ2=μ2=0)，此時(shí)λ不存在.故選:BC.考點(diǎn)2基底的判斷【例2】（2023春·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，是平面向量的一組基底，以下四個(gè)選項(xiàng)中可以作為平面向量的一組基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】對(duì)A：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，A錯(cuò)誤；對(duì)B：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，B錯(cuò)誤；對(duì)C：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵，則與不共線，故和不能作為基底向量，D正確；故選：D.【變式21】（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】由于是平面內(nèi)所有向量的一組基底，故不共線，對(duì)于A，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對(duì)于B，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對(duì)于C，因?yàn)?，即和共線，不能作為基底；對(duì)于D，，故和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為平面的一組基底；故選：C【變式22】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】對(duì)于A，不共線，所以可以作為一組基底.對(duì)于B，不共線，所以可以作為一組基底.對(duì)于C，，所以共線，所以不可以作為一組基底.對(duì)于D，，所以共線，所以不可以作為一組基底.故選：CD.【變式23】（2022春·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）如圖所示，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】AC【解析】B中與共線，D中與共線，A、C中兩向量不共線，故選：AC.【變式24】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不共線的非零向量，且．（1）證明：可以作為一個(gè)基底；（2）以為基底，求向量的分解式．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）假設(shè)共線，則，則．由不共線，得所以λ不存在，故不共線，即可以作為一個(gè)基底．（2）設(shè)，則所以，解得，故．考點(diǎn)3用基底表示向量【例3】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，是以為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，設(shè)，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭且詾橹睆降陌雸A圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又為上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，所以.故選：C.【變式31】（2023春·河南·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，且線段EF交AC于點(diǎn)P．若，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，∴，，設(shè)，∵E，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，∴，解得，于是．故選：B.【變式32】（2023春·河南洛陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知和交于點(diǎn)E，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，由圖可知，，則，解得.故選：B.【變式33】（2023春·湖北·高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，D為中點(diǎn)，連接，若，則的值為（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)椋裕?，又，因此有，則.故選：C【變式34】（2022春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在矩形中，，，E為CD的中點(diǎn)，若，，則________．【答案】【解析】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，由已知得，，，，由得，設(shè)，則，可得，解得，所以，，又因?yàn)?，所以，解得，，則.【變式35】（2023春·安徽安慶·高一安慶一中校考階段練習(xí)）如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝，＝.（1）用表示向量；（2）若點(diǎn)F在AC上，且，求AF∶CF.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)椋剑?，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以＝＝()，因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.（2）設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.考點(diǎn)4向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例4】（2023春·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，則__________.【答案】【解析】.【變式41】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，若滿足，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，將代入?.故選：A【變式42】（2023春·河北滄州·高一校考階段練習(xí)）已知向量，若，則（）A．1B．2C．6D．6【答案】D【解析】向量，則，，故，解得.故選：D【變式43】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，，設(shè)，，，且，，（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題得，所以（2）由（1）得，所以，所以，解得，所以滿足的實(shí)數(shù)的值為.考點(diǎn)5利用坐標(biāo)求向量共線問題【例5】（2023秋·遼寧·高一沈陽(yáng)市第十中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚?，，若與共線，則（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】由題意向量，，，則，由于與共線，則，故選：D【變式51】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，，且與平行，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c平行，所以，解得.【變式52】（2023春·河南洛陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知.（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線?（2）若且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)榕c共線，所以解得.故當(dāng)時(shí)，與共線.（2）因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，與不共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得即，整理得所以，解得.故的值為.【變式53】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，下列點(diǎn)D的坐標(biāo)中不能使點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成四邊形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，顯然三點(diǎn)不共線，如圖在坐標(biāo)系中可得選項(xiàng)ABC能構(gòu)成四邊形，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)A、C、D共線，不能使點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成四邊形.故選：D考點(diǎn)6向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【例6】（2022秋·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，則的值為（）A．B．C．D．4【答案】D【解析】建立坐標(biāo)系如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，則，點(diǎn)滿足，所以，則，故選：D．【變式61】（2023春·河南·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)x的值為______．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，則，又，且，因此，解得，所以實(shí)數(shù)x的值為.【變式62】（2023春·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.故選：B．【變式63】（2022春·北京·高一北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D【變式64】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于，所以，所以，，所以，所以.（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，由于，所以的取值范圍是.考點(diǎn)7利用坐標(biāo)求向量的夾角【例7】（2022春·重慶長(zhǎng)壽·高一重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，若，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，即，解得，所以，，則又所以與的夾角為，故選：B.【變式71】（2023春·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，若為銳角，則實(shí)數(shù)可能的取值是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因?yàn)椋?因?yàn)闉殇J角，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.所以實(shí)數(shù)可能的取值是，.故選：BD.【變式72】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，其中．（1）試計(jì)算及的值；（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1），＝；（2）【解析】（1），，∴，．（2）設(shè)的夾角為θ，由，．【變式73】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夾角的大小.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)椋?，，且，，所以，，所以，，所以，；?）設(shè)向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因?yàn)?，所以．【變?4】（2022春·陜西延安·高一?？茧A段練習(xí)）已知，．（1）若與垂直，求k的值；（2）若為與的夾角，求的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）因?yàn)?，，則，，依題意，，解得，所以.（2）由（1）知，，，則，，因此，而，所以.考點(diǎn)8利用坐標(biāo)求向量的模長(zhǎng)【例8】（2022春·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，向量，，且，則（）A．B．C．D．5【答案】D【解析】由可得，解得，則，.故選：D.【變式81】（2022春·河北邢臺(tái)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量與的夾角為，則等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，所以，所以，所以，故選：B.【變式81】（2022春·廣東茂名·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，，θ∈，則的值可以是（）A．B．C．2D．2【答案】ABC【解析】由，，可得，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，則A、B、C符合題意，故選：ABC．【變式82】（2023春·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，則下列選項(xiàng)中可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】，，，，若，此時(shí)，故，A可能正確；若，此時(shí)，，B選項(xiàng)可能正確；，故C一定不正確；，當(dāng)時(shí)，，故，D可能正確.故選：ABD【變式83】（2022春·湖北宜昌·高一宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直角的斜邊長(zhǎng)為，，且點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方，則下列說法成立的是（）A．有最大值B．無(wú)最大值C．有最大值D．是定值【答案】ACD【解析】設(shè)，在中，，，則、、，，則點(diǎn)，則，對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，因?yàn)椋瑒t，故當(dāng)時(shí)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D對(duì).故選：ACD.1．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（）．A．和B．和C．和D．和【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則和共線，A選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，故和不共線，B選項(xiàng)能作為基底；同理可知和不共線，和也不共線，CD選項(xiàng)均能作為基底．故選：A．2．（2022春·北京·高一北京八中校考階段練習(xí)）與向量和夾角均相等，且模為2的向量的坐標(biāo)是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】設(shè)所求向量為，因?yàn)?，故，又與向量和夾角均相等，根據(jù)平行四邊形法則可得與共線，設(shè)，則，故，即，故或，故選：C3．（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊上一點(diǎn).Р是線段AD的中點(diǎn)，且.則（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因?yàn)槭蔷€段AD的中點(diǎn)，且，所以，得，又B、D、C三點(diǎn)共線，所以，得.故選：A.4．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)E滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，．故選：C．5．（2022春·廣西桂林·高一?？计谀┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，，，連接CE、DF交于點(diǎn)M，若，則實(shí)數(shù)λ與μ的乘積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知條件得為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，連接,,∵三點(diǎn)共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)使,∴,整理得,即，故可知①，同理∵三點(diǎn)共線，∴②,將①②聯(lián)立解得，即，故選：.6．（2022春·北京豐臺(tái)·高一北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，由平行四邊形可得，即，解得，故.故選：D.7．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，，若與共線，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．5D．【答案】B【解析】依題意，，，因?yàn)?，所以，解得．故選：B．8．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若向量，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知向量，因?yàn)椋?，得，所以，，又，所以，所以在上的投影向量為：，故選：A.9．（2022春·河南洛陽(yáng)·高一欒川縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量與的夾角為，，，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，向量，可得，又由向量與的夾角為，，則.故選：D.10．（2022春·江蘇常州·高一常州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若與垂直，則與夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)榕c垂直，故，解得，則,，設(shè)與夾角為，則.故選：A.11．（2023春·河北滄州·高一校考階段練習(xí)）（多選）已知向量，則（）A．B．C．D．與不共線【答案】ABD【解析】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，又，所以與不共線，D正確．故選：ABD12．（2022春·廣東韶關(guān)·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A．與的夾角為鈍角B．向量在方向上的投影為C．D．的最大值為2【答案】CD【解析】對(duì)于A，因?yàn)樗裕瑒t與的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗韵蛄吭诜较蛏系耐队盀?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樗?因?yàn)椋?，所以，即，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為2，故D正確.故選:CD.13．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知向量，若，則下列結(jié)論在確的是（）A．B．C．D．與的夾角為銳角【答案】AC【解析】，由得，所以，所以A正確；對(duì)于B，由，可得，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，所以，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：AC.14．（2022春·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知向量，（），則下列命題正確的是（