黑龍江省大慶實驗高中2020-2021學年高二10月月考數(shù)學（理）試題

大慶實驗中學2020—2021學年度高二上學期10月月考數(shù)學試題一、選擇題（每小題5分，共12小題，共60分）1.設命題，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】否定命題的結論，全稱量詞改為存在量詞即得．【詳解】由題意為故選：A．【點睛】本題考查命題的否定，掌握命題否定的是解題關鍵，特別注意全稱量詞與存在量詞的的互換．2.下面四個條件中，使成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義判斷．【詳解】，不能得出，不充分；，是充要條件；不能得出，不充分．，是充分條件，反之若不能得出，因此是不必要的，故選：D．【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，掌握充分必要條件的定義是解題關鍵．3.某班有學生人，現(xiàn)將所有學生按隨機編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本（等距抽樣），已知編號為號學生在樣本中，則（）A.14 B.34 C.48 D.50【答案】C【解析】【分析】利用系統(tǒng)抽樣的特征可求出、，進而可求解.【詳解】樣本容量為，樣本間隔為，編號為號學生在樣本中，，，.故選：C【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.4.阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積公式，設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為，則橢圓的面積公式為.若橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的的標準方程為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)離心率，面積公式結合求出得橢圓方程．【詳解】由題意，解得，∴橢圓方程為或故選：A．【點睛】本題考查求橢圓的標準方程中，求解題方法是根據(jù)已知條件列出方程組求出，只是要注意由于焦點的位置不確定，因此方程有兩種．5.連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上點數(shù)之積為6的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有基本事件有種，再求出向上點數(shù)之積為6的基本事件的個數(shù)，由概率公式可得概率．【詳解】連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有基本事件有種，向上點數(shù)之積為6的事件有16,23,32,61共4種，∴概率為．故選：A．【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出事件空間中基本事件的個數(shù)，及所求概率事件包含的基本事件的個數(shù)．6.關于曲線，給出下列五個命題：①曲線關于軸對稱；②曲線關于軸對稱；③曲線關于對稱；④曲線關于原點對稱；⑤曲線所圍成的區(qū)域面積大于其中正確的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方程對各命題進行判斷．【詳解】曲線的方程中用替換，方程不變，①正確；用替換，方程不變，②正確；位置互換，方程不變，③正確；同時用換，換，方程不變，④正確；在第一象限，方程為，即，它是以為圓心，為半徑的圓在第一象限的部分，記，實質(zhì)上是以為直徑的半圓，曲線在第一象限部分的面積為，曲線所圍成的區(qū)域面積為，⑤錯．正確命題有4個．故選：C．【點睛】本題考查曲線與方程的概念，利用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，如本題中的對稱性，是解析幾何的基本方法．7.某學校隨機抽查了本校20個學生，調(diào)查他們平均每天進行體育鍛煉的時間（單位：min），根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以5為組距將數(shù)據(jù)分為8組，分別是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】從題設中提供的頻率分布直方圖可算得在區(qū)間內(nèi)各有個，答案A被排除；在區(qū)間內(nèi)有個；在區(qū)間內(nèi)有個；在區(qū)間內(nèi)有個；在區(qū)間內(nèi)各有個，答案C被排除；在區(qū)間內(nèi)有個，答案D被排除；依據(jù)這些數(shù)據(jù)信息可推知，應選答案B．點睛：解答本題的方法是根據(jù)題設中所提供的頻率分布直方圖提供的信息，先算出在不同區(qū)間內(nèi)的個體的頻數(shù)，再分別結合所給的莖葉圖，對每個答案逐一進行分析推斷，從而排除不合題設的答案，選出正確答案，使得問題獲解．8.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是（）A.甲地：總體平均值為3，中位數(shù)為4 B.乙地：總體平均值為1，總體方差大于0C.丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D.丁地：總體均值為2，總體方差為2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例超過7人，中位數(shù)和眾數(shù)也不能確定，當總體方差大于0，不知道總體方差的具體數(shù)值，因此不能確定數(shù)據(jù)的波動大小，當總體平均數(shù)是2，若有一個數(shù)據(jù)超過7，則方差就大于2，從而得出答案.【詳解】不妨通過構造特殊值法進行判斷，對于甲地：0，0，0，0，4，4，4，4，4，10符合條件，但其第10天新增疑似病例超過7人，故不符合題意；對于乙地：0，0，0，0，0，0，0，0，10符合條件，但其第10天新增疑似病例超過7人，故不符合題意；對于丙地，0，0，1，1，2，2，3，3，3，10符合條件，但其第10天新增疑似病例超過7人，故不符合題意；對于丁地，當總體平均數(shù)是2時，若有一個數(shù)據(jù)超過7，則方差就超過了2，符合題意，因此，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是丁地.故選：D.【點睛】本題考查了方差、中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，熟練掌握方差、中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的意義是本題的關鍵.9.定義，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點滿足的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出表示的總區(qū)域以及表示的區(qū)域，再利用幾何概型即可求解.【詳解】試驗包含的所有事件對應的集合為，滿足條件的事件，即，如圖所示：聯(lián)立，解得，則由幾何概型公式可得.故選：B【點睛】本題考查了幾何概型面積型，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.10.已知點，，若圓上存在點M滿足，則實數(shù)值不可以為（）A. B. C.0 D.3【答案】D【解析】【分析】設，求出滿足的點的軌跡方程，由方程知軌跡為圓，再兩圓有公共點可得的取值范圍，從而判斷各選項．【詳解】設，則，，即，∴點在圓上，由題意此圓與已知圓有公共點，∴，解得，四個選項中只有D不滿足．故選：D．【點睛】本題主要考查兩圓的位置關系，解題方法是利用圓心距與兩圓半徑之間的關系列不等式求解．11.若橢圓或雙曲線上存在點，使得點到兩個焦點的距離之比為，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“點”，下列曲線中存在“點”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出滿足條件時的和，再求出，驗證，，能否是三角形的三邊長，即可得．【詳解】，則，若是橢圓，則，，，若是雙曲線，則，，A中橢圓，，，，，不存在；B中橢圓，，，，，不存C中雙曲線，，雙曲線上點到到右焦點距離的最小值是，，，，構成，存在“點”，D中雙曲線，，，，，，不存在故選：C．【點睛】本題考查新定義“點”，解題方法是弱化條件，求出滿足部分條件點具有的性質(zhì)，驗證是否滿足另外的條件：構成三角形．從而完成求解．12.設點為橢圓上的動點（除左右頂點外），橢圓的焦點為，離心率為，為的內(nèi)心，則直線和直線的斜率之積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接延長交軸于，利用內(nèi)角平分線定理及等比定理得，設，，，用表示出，然后計算可得結論．【詳解】如圖，連接延長交軸于，由內(nèi)角平分線定理得，利用等比性質(zhì)得，設，，，則，，∴，，又，，∴由可得，化簡得，又∵，∴，∴，，∴．故選：B．【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題方法是設動點坐標，用動點表示出內(nèi)心的坐標，然后計算斜率之積，旨在考查學生的邏輯推理能力，運算求解能力．二、填空題（每小題5分，共4小題，共20分）13.是兩個平面，是三條直線，有下列四個命題：①若，則；②若則③若，則④若則與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有_____【答案】①③④【解析】【分析】由線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定判斷各命題．【詳解】由平行公理知①正確；若則或，②錯；若，則與無公共點，∴，③正確；若如圖，過上一點作于，延長交于，∵，∴，與分別交于點，連接，則分別是與所成的角，易得，過上一點作于，與交于點，連接，則是與成角，由，得，∴，∴，∴，④正確，故答案為：①③④．【點睛】本題考查線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)，考查等角定理，旨在考查學生的空間想象能力，邏輯思維能力．屬于基礎題．14.雙曲線的漸近線方程為．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線方程求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線，可得，，則該雙曲線的漸近線方程為：．故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，漸近線方程的求法，考查計算能力．15.如圖，在梯形中，已知，，雙曲線過三點，且以為焦點，則雙曲線的離心率為_____________.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的方程為，求出點，設，根據(jù)求出，將點代入雙曲線方程即可求解.【詳解】設雙曲線的方程為，由雙曲線是以為焦點，，，把代入，可得，即，又，，設，，，，解得，，可得，代入雙曲線的方程可得，即，解得，所以.故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了考生的運算求解能力，屬于中檔題.16.已知橢圓內(nèi)一點，過點的兩條直線分別與橢圓交于和兩點，且滿足（其中），若變化時直線的斜率總為，則橢圓的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設，由共線向量的坐標運算，得，由點差法結合直線的斜率得出，兩者比較可得的等式，從而求得離心率．【詳解】設，∵，∴，則，∴，同理，∴，∴，∵在橢圓上，∴，，相減可得，即，則①，同理可得②，①+②得，又，∴，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查求橢圓的離心率，向量的坐標運算，設出四點坐標，由點差法利用斜率得出四點的坐標間的關系，由向量的坐標運算得出四點的坐標間的關系，兩者比較后得的等量關系，從而求得離心率．本題旨在考查學生運算求解能力，屬于中檔題．三、解答題（共6道題，第17題10分，其余5道題各12分，共70分）17.設已知命題函數(shù)有零點；命題，.若為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】由題意為真可得，利用基本不等式，當為真時，再由為真命題，則均為真命題，取交集即可求解.【詳解】解：，解得或令，則，當時取等號，則.因為為真命題，所以均為真命題即，解得所以的取值范圍為【點睛】本題考查了由復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.18.從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄，（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算出，附：線性回歸方程，其中為樣本平均值.（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.【答案】（1）；（2）1.7【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，即可求得y對月收入x的線性回歸方程回歸方程x；（2）將x＝7代入即可預測該家庭的月儲蓄．【詳解】（1）由題意知，，∴由.故所求回歸方程為（2）將代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為（千元）.【點睛】本題考查線性回歸方程的應用，考查最小二乘法求線性回歸方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19.為了普及法律知識，達到“法在心中”的目的，某市法制辦組織了普法知識競賽．統(tǒng)計局調(diào)查隊隨機抽取了甲、乙兩單位中各5名職工的成績，成績?nèi)缦卤恚杭讍挝?/p>

87

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91

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乙單位

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（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩單位職工成績的平均數(shù)和方差，并判斷哪個單位對法律知識的掌握更穩(wěn)定；（2）用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2名，他們的成績組成一個樣本，求抽取的2名職工的分數(shù)差至少是4的概率．【答案】（1）,,,，甲單位對法律知識的掌握更穩(wěn)定；（2）．【解析】試題分析：（1）先求出甲乙兩個單位職工的考試成績的平均數(shù),以及他們的方差,則方差小的更穩(wěn)定；（2）從乙單位抽取兩名職工的成績,所有基本事件用列舉法得到共種情況,抽取的兩名職工的分數(shù)差至少是的事件用列舉法求得共有種,由古典概型公式得出概率．試題解析：解：（1），∵，∴甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位對法律知識的掌握更穩(wěn)定．（2）從乙單位5名職工中抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數(shù)對表示）：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93），共10個．則抽取的2名職工的分數(shù)差至少是4的基本事件：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93），共5個．用古典概型的概率計算公式可知，抽取的2名職工的分數(shù)差至少是4的概率．考點：1．平均數(shù)與方差公式；2．古典概型．20.已知橢圓的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點的直線的距離為，橢圓的長軸長為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，求弦長【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）由點到直線的距離得，再由長軸長可求得得橢圓方程；（2）直線的斜率一定存在，設方程為，代入橢圓方程整理，設，由韋達定理得，由中點坐標公式求得，再由弦長公式求得弦長．【詳解】解：（1）經(jīng)過兩點的直線為：即.由已知：原點到直線的距離即因為，所以所以橢圓的標準方程為：（2）當直線斜率不存在時，線段的中點在軸上，不合題意.所以直線的斜率存在，設為，則直線即為：設聯(lián)立得：顯然則，解得則所以【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，考查求直線與橢圓相交弦長，解題方法是設而不求的思想方法，即設交點坐標，設直線方程，代入橢圓方程應用韋達定理，得，由弦長公式得弦長．21.已知橢圓的左右焦點分別是，，點為橢圓短軸的端點，且的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上的一點，是橢圓上的兩動點，且直線關于直線對稱，試證明：直線的斜率為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由焦距得，再由三角形面積可得，從而求得，得橢圓方程．（2）易知直線斜率存在，設直線：，即，由對稱性得直線，求出的坐標，然后計算斜率即可證．【詳解】解：（1）由已知得，又，，∴．所以橢圓的標準方程為.（2）已知點，當直線斜率不存在時顯然不滿足題意，所以直線斜率存在，設直線：，即，由于直線關于直線對稱，則直線，設，聯(lián)立：得（方程有一解是），同理則所以直線的斜率為定值.【點睛】本題考查求