高中數(shù)學(xué)必修2課時素養(yǎng)評價13-2-3-3距離直線與平面所成的角

課時素養(yǎng)評價三十距離、直線與平面所成的角(20分鐘35分)1.在正三棱錐PABC中,三條側(cè)棱兩兩互相垂直,側(cè)棱長為a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選C.作PH⊥平面ABC于H,連接CH并延長,交AB于D,連接PD,由PH·CD=PC·PD,求得PH=QUOTEa.2.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=λ(0≤λ≤1),則點(diǎn)G到平面DA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.A1B1∥面D1EF,所以G到面D1EF的距離為A1到面D1EF的距離.在△A1D1E中,過A1作A1H⊥D1E交D1E于H,顯然A1H⊥面D1EF,則A1H即為所求,在Rt△A1D1E中,A1H=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱長相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB【解析】如圖所示,取BC的中點(diǎn)E,連接DE,AE,則AE⊥平面BB1C所以AE⊥DE,因此AD與平面BB1C1C所成角即為∠ADE,設(shè)AB=a,則AE=QUOTEa,DE=QUOTE,即有tan∠ADE=QUOTE,所以∠ADE=60°.答案:60°4.已知正方形ABCD的邊長為1,線段PA垂直于平面ABCD,且PA=1,則點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為________.

【解析】如圖,連接AC,則AC=QUOTE.又PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD.所以PA⊥AC,又PA=1,所以在Rt△PAC中,PC=QUOTE.答案:QUOTE5.如圖,邊長為2QUOTE的正方形ABCD在α上的射影為EFCD,且AB到α的距離為QUOTE,則AD與α所成的角為________.

【解析】在Rt△AED中,AE=QUOTE,AD=2QUOTE,所以∠ADE=30°.答案:30°6.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M為AC邊上的一個動點(diǎn),則PM的最小值為________.

【解析】作CH⊥AB交AB于H,連接PH.因?yàn)镻C⊥平面ABC,所以PH⊥AB,則當(dāng)點(diǎn)M在H處時,PH最小.因?yàn)锳C=8cos60°=4,所以CH=4sin60°=2QUOTE,所以PH=QUOTE=2QUOTE,即PM的最小值為2QUOTE.答案:2QUOTE(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.空間四點(diǎn)A,B,C,D每兩點(diǎn)的連線長都等于a,動點(diǎn)P在線段AB上,動點(diǎn)Q在線段CD上,則點(diǎn)P與Q的最小距離為 ()A.QUOTE B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選B.當(dāng)P,Q為中點(diǎn)時,PQ為AB和CD的公垂線,此時最短,求出得PQ=QUOTEa.2.如圖所示,AA′⊥平面A′B′B,BB′⊥A′B′,∠BAB′=QUOTE,∠ABA′=QUOTE,則AB∶A′B′等于 ()A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3【解析】選A.由∠BAB′=QUOTE,∠ABA′=QUOTE,設(shè)AB=2a,經(jīng)計(jì)算BB′=QUOTEa,A′B=QUOTEa,所以在Rt△BB′A′中得A′B′=a,所以AB∶A′B′=2∶1.3.在四面體ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么點(diǎn)D在平面ABC上的射影H必在 ()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部【解析】選A.在四面體ABCD中,因?yàn)锳B⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,又平面ABC∩平面ABD=直線AB,故點(diǎn)D在平面ABC上的射影H必在直線AB上.4.已知平面α∥平面β,直線m?α,直線n?β,點(diǎn)A∈m,點(diǎn)B∈n,記點(diǎn)A,B之間的距離為a,點(diǎn)A到直線n的距離為b,直線m和n的距離為c,則 ()A.b≤c≤a B.a≤c≤bC.c≤a≤b D.c≤b≤a【解析】選D.如圖:α∥β,考慮m,n異面時,m和n的距離等于α,β間的距離,點(diǎn)A到n的距離為:過A作AO⊥β于O,過O作OC⊥n于C,則AC為A點(diǎn)到直線n的距離,顯然,此時c≤b≤a.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.已知平面α外兩點(diǎn)A,B到平面α的距離分別是2和4,則A,B的中點(diǎn)P到平面α的距離可能是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選AC.若A,B在α同側(cè),如圖①,則P到α的距離為3;若A,B在α異側(cè),如圖②,則P到α的距離為PO′OO′=32=1.6.如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,SD⊥底面ABCD,則在下列說法中,正確的是 ()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA與平面ABD所成的角等于SC與平面ABD所成的角D.AC⊥SO【解析】選ABCD.連接SO,如圖所示:因?yàn)樗睦忮FSABCD的底面是正方形,所以AC⊥BD,因?yàn)镾D⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因?yàn)锽D∩SD=D,所以AC⊥平面SBD,因?yàn)镾B?平面SBD,所以AC⊥SB,則A正確;因?yàn)锳B∥CD,AB?平面SCD,則B正確;因?yàn)镾D⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分別是SA與平面ABD所成的角、SC與平面ABD所成的角,因?yàn)锳D=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,則C正確;因?yàn)锳C⊥平面SBD,SO?平面SBD,所以AC⊥SO,則D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.下列說法:①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是QUOTE;②直線與平面所成的角的取值范圍是QUOTE;③若兩條直線與一個平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行;④若兩條直線互相平行,則這兩條直線與一個平面所成的角相等.其中正確的是________(填序號).

【解析】②應(yīng)為QUOTE;③中這兩條直線可能平行,也可能相交或異面.答案:①④8.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是邊長為2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,則直線AP與平面PBC所成角的正切值為________.

【解析】作AE⊥BC于點(diǎn)E,連接PE,則BC⊥平面PAE,可知點(diǎn)A在平面PBC上的射影在直線PE上,故∠APE為所求的角.AE=ABsin45°=QUOTE,所以tan∠APE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在棱長均為a的正三棱柱中,D為AB中點(diǎn),連接A1D,DC,A1C(1)求證:BC1∥平面A1DC;(2)求BC1到平面A1DC的距離.【解析】(1)如圖所示,連接AC1交A1C于E,連接DE,則DE∥BC1,而DE?平面A1DC,BC1?平面A1所以BC1∥平面A1DC.(2)由(1)知BC1∥平面A1DC,所以BC1上任一點(diǎn)到平面A1DC的距離等于BC1到平面A1DC的距離.所以求C1到平面A1DC的距離即可.因?yàn)槠矫鍭1DC過線段AC1的中點(diǎn),所以A到平面A1DC的距離等于C1到平面A1DC的距離.由題意知CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1.過A作平面A1DC的垂線,垂足H在A1D上.在Rt△A1AD中,A1A·AD=A1D·AH,解得AH=QUOTEa,即BC1到平面A1DC的距離為QUOTEa.10.如圖,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD,PA=2c,Q是PA的中點(diǎn),連接QB,QD,BD.求:(1)Q到BD的距離;(2)P到平面BQD的距離.【解析】(1)在矩形ABCD中,作AE⊥BD,E為垂足,連接QE,因?yàn)镼A⊥平面ABCD,所以QA⊥BD,又AE∩QA=A,所以BD⊥平面AEQ,得QE⊥BD,所以QE的長為Q到BD的距離.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,所以AE=QUOTE.在Rt△QAE中,QA=QUOTEPA=c,所以QE=QUOTE=QUOTE.所以Q到BD的距離為QUOTE.(2)因?yàn)槠矫鍮QD經(jīng)過PA的中點(diǎn)Q,所以P到平面BQD的距離等于A到平面BDQ的距離.在△AQE中,作AH⊥QE,H為垂足.因?yàn)锽D⊥AE,BD⊥QE,所以BD⊥平面AQE.所以BD⊥AH,所以AH⊥平面BQE,即AH為A到平面BQE的距離.在Rt△AQE中,因?yàn)锳Q=c,AE=QUOTE,所以AH=QUOTE.所以P到平面BQD的距離為QUOTE.1.如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=1,則點(diǎn)C到平面ABC1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,C1E,過點(diǎn)C作CF⊥C1E,在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,則AB⊥CC1,因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以AB⊥CE,又CE∩CC1=C,所以AB⊥平面CC1E,因?yàn)镃F?平面CC1E,所以CF⊥AB,所以CF⊥平面ABC1,則CF的長即為所求.在Rt△CEC1中,CC1=1,CE=QUOTEAB=QUOTE,所以C1E=QUOTE=QUOTE,由等面積得CF=QUOTE=QUOTE.2.如圖,已知AB是圓O的直徑,C為圓上一點(diǎn),AB=2,AC=1,P為☉O所在平面外一點(diǎn),且PA垂直于☉O所在平面,PB與平面ABC所成的角為45°.(1)求證:BC⊥平面PAC;(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥BC.因?yàn)锳B是☉O的直徑,C為圓上一點(diǎn),所以BC⊥AC.又因?yàn)镻