2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編六：立體幾何解答題文

專題06立體幾何（解答題）（文）

近三年高考真題

知識點1：線面角及其正弦值

1.（2023?甲卷（理））在三棱柱ABC-A4G中，44,=2,AC_L底面ABC,ZACB=90°-R到平面BCC4

的距離為1.

（1）求證：AC=AC；

（2）若直線A4，與8用距離為2,求與平面BCC4所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：取CG的中點，連接A0，

ACJ■底面ABC,ACu底面ABC,

/4,CJ_AC,AC_LAG,A。=gcC=1，

AC_L底面AfiC,3Cu底面ABC,

:.AtCrBC,ZACB=90°,;.ACVBC,

\C[}AC=C,.?.3C_L平面AGG4,

BCu平面BCC4，平面BCGqJL平面AGC4,

A到平面8CC由的距離為1,

A到CG的距離為i,

/.4。_LC￡,

/.AC=A。；

(2)過A作AM//4。交GC的延長線與〃，連接

取BBi的中點N,連接ON,

M

，四邊形3coN為平行四邊形，

平面AGC4,

ry

AlOON=O,.?.CC|_L平面AON,

ANu平面AON,

.'.CC^A.N,

A4,_LX,N,

AN為直線A4,與BBt距離，

:.&N=2,.,.ON=5

由（1）可知AM_L平面BCC4,

NAgM為AB,與平面BCCe所成角的角,

易求得GM=3,

:.B、M=<9+3=20,

A^M=1,AyB=x!\+12=>/13>

1_713

）

/.sinZABA/713-IT

AB,與平面BCC.B,所成角的正弦值為唱.

2.（2021?上海）如圖，在長方體ABC￡>-A81GA中，已知AB=3C=2,A4,=3.

（1）若P是棱AR上的動點，求三棱錐C-皿>的體積；

（2）求直線A4與平面4CGA的夾角大小.

【解析】⑴如圖，在長方體ABCD-ABCQ中，VC_PAD=|SAPAD.hc_-.WAD=|xflx2x3jx2=2;

(2)連接AQ「4Q=O,

AB=BC,

四邊形ABCA為正方形，則OB,iOA,

又M,0A「=A,

OBl_L平面ACGA，

直線AB|與平面ACGA所成的角為NOA4,

???si的啜=法7=等

知識點2：體積問題

3.(2023?乙卷(文))如圖，在三棱錐P-ABC中，ABVBC,AB=2,BC=2丘,PB=PC=瓜,BP,

AP,8c的中點分別為。，E,O,點尸在AC上，BFJ.AO.

(1)求證：EF//平面ADO；

(2)若NPOP=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

p

A

【解析】(1)證明：在RtAABC中，作垂足為〃，^AH=x,則HB=2T,

因為尸4//C8,所以RtAAHFsRtAABC,所以理=竺，即^="，解得“尸=后，

ABBC22V2

又因為NBFH=NFBO,所以NAO8=N尸8”,E.ZBHF=AOBA=90°,

所以RtABHFsRmoBA,所以竺=空，即叵=義，解得x=l,

BHBO2-xV2

即4H=1,所以“是AB的中點，F(xiàn)是AC的中點，

又因為￡是R4的中點，所以EF//PC,同理，DO//PC,所以EF//DO,

又因為EF<t平面ADO,OOu平面ADO,

所以EF//平面450；

(2)過P作尸河垂直FO的延長線交于點例，因為尸8=PC,。是8c中點，所以POLBC,在RtAPBO

中，PB=瓜,BO=-BC=y/2,所以尸0=JPB，-0B2=q6-2=2,

2

因為AB_LBC,OF//AB,所以又POQ。尸=。，PO,O/u平面POP,所以BC1.平面尸6中，

又PMu平面POF,所以8CJ_PM,

XBCQFM=O,BC,Wu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,即三棱錐尸-MG的高為PM,

因為ZPOF=120°,所以4POM=60°,

所以PM=POsin60。=2x上=也，

2

AABC的面積為%呢=(848'8。=；、2*2夜=2夜，

所以三棱錐P-45C的體積為憶娜-8c=、2"x/=女.

--ISC?|t*COL3，Y3

p

4.(2022?乙卷(文))如圖，四面體A8C￡)中，ADYCD,AD=CD,ZADB=NBDC,E為AC的中點.

(1)證明：平面5即_1_平面ACD；

(2)設(shè)A3=3/)=2,NAC8=6O。，點尸在胡)匕當(dāng)A4FC的面積最小時，求三棱錐尸一ABC的體積.

A

【解析】證明：（1）AD=CD,ZADB=ZBDC,BD=BD,

,-.AADB=ACDB,

:.AB=BC,又，E為AC的中點.

/.ACYBE,

AD=CD,E為AC的中點.

ACA.DE,又BE[yDE=E,

ACJ_平面3E￡）,

又ACu平面ACO,

平面阻）J■平面AC。；

（2）由（1）可知43=BC,

:.AB=BC=2,ZACB=60。，.?.AABC是等邊三角形，邊長為2,

:.BE=y/3,AC=2,AD=CD=>/2,DE=\,

-：DE2+BE2=BDr,:.DELBE,

又DEI.AC,AC「BE=E,

平面ABC,

由（1）知AAZJ8三△COB,:.AF=CF,連接EF,則EFJ_AC,

SMFC=gxACxEF=EF,

.??當(dāng)￡F_L8D時，EF最短,此時A4FC的面積最小，

過點F作尸G，BE于點G,則尸G〃￡>E,，F(xiàn)G_L平面ABC,

eDExBEV3

BD2

22EFxBF

BF=^BE-EF=-,:.FG=.=l,

2BE4

...三棱錐廠一ABC的體積丫=2xxFG='xNXLB.

3MSC3444

5.（2021?甲卷（文））已知直三棱柱ABC-4線￡中，側(cè)面A4.48為正方形，AB=BC=2,E,f分別

為AC和CC,的中點，BF±4^i?

（1）求三棱錐尸-E8C的體積；

（2）已知。為棱A5上的點，證明：BF^DE.

【解析】（1）在直三棱柱ABC-ABC中，BBL「

又8F_LAB|,BB「BF=B,BB、,BFu平面BCC4，

AM_L平面BCG4,

ABHAB、,

平面BCCg,

:.ABVBC,

又AB=BC,故AC=j2?+22=20,

CE=V2=BEt

而側(cè)面朋耳8為正方形，

CF=-CC.=-AB=l,

212

V=ls.CF=-xlxV2x^xl=l,即三棱錐F-￡BC的體積為1；

33233

(2)證明：如圖，取8C中點G,連接EG,B}G,設(shè)BF=H,

.點E是AC的中點，點G時3c的中點，

:.EG//AB,

:.EG//AB//B,D,

：.E、G、與、。四點共面，

由(1)可得AB_L平面8CC4,

.?.EGJ?平面BCCg,

:.BFLEG,

tanZCBF=—=-,tanZBB,G=—=-,且這兩個角者B是銳角，

BC2BBt2

：.NCBF=ZBBtG,

NBHB、=NBGB、+ZCBF=NBGB、+NBB、G=90°,

BF±BtG,

又EG0|4G=G,EG,BtGu平面EGB、D,

.?出產(chǎn)上平面反祖。，

又DEu平面EGBQ,

:.BFLDE.

G

C

6.(2021?乙卷(文))如圖，四棱錐P-98的底面是矩形，底面MCD,M為BC的中點，且

PBYAM.

(1)證明：平面R4”_L平面P3D；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-/4BCD的體積.

【解析】(1)證明：PD_L底面MCE),AMu平面ABCD,

:.PDYAM,

又PBLAM,

PDCPB=P,PB,PDu平面P8Z).

AW_L平面P8Z).

AMu平面RVW,

平面RW_L平面；

(2)由尸。_L底面4?C￡>,

r.PD即為四棱錐P-ABCD的高，ADPB是直角三角形；

底面是矩形，PD=DC=l,M為BC的中點，且

設(shè)AD=8C=2?,取CP的中點為尸.作EfJ_C￡>交于E,

連接MF,AF,AE,

可得MF//PB,EF//DP,

那么/W_LA/F.且EF=1.AE=ylAD2+ED2=l-+4a2,AM=\lAB2+BM2=Va2+1.

2V4

AF=y/EF2+AE2=J；+必.

ADPB是直角三角形，

.?.根據(jù)勾股定理：BP=yl2+4a2,則=，2+44一；

2

由A4MF是直角三角形，

可得4W?+A/尸=AF?,

底面ABCD的面積S=0,

則四棱錐P—A8C￡＞的體積V=L/LS=2X1XV5=Y1.

333

7.（2021?上海）四棱錐P-ABCD,底面為正方形MC￡>,邊長為4,E為中點，PKJ_平面ABCD.

（1）若AE4B為等邊三角形，求四棱錐2-鉆8的體積；

（2）若CZ）的中點為尸，PF與平面ABCZ）所成角為45。，求PC與4）所成角的大小.

【解析】（1）A/VW為等邊三角形，且E為4?中點，AB=4,

:.PE=2拒,

又PE_L平面ABCD,

???四棱錐P-ABCD的體積V=gPE.S正方呼BCD=；X2#x#=嘩.

（2）PE_L平面

ZPFE為PF與平面ABCD所成角為45°,即ZPFE=45°,

.?.APEF為等腰直角三角形，

E,尸分別為AB,8的中點，

:.PE=FE=4,

:.PB=-JPE2+BE2=275,

AD/IBC,

NPCB或其補角即為PC與AD所成角，

莊_L平面ABCD,:.PEYBC,

又3C_LAB,PEQAB=E,PE、ABu平面以3,

.?.8C_L平面:.BCLPB,

在RtAPBC中，tanZPCB-——,

BC42

故PC與4D所成角的大小為arctan且.

2

8.(2021?新高考I)如圖，在三棱錐A—BCD中，平面42_L平面BCD,AB=AD,。為3。的中點.

(1)證明：Q4JLC力；

(2)若△如￡)是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AO上，DE=2E4,且二面角E-8C—￡>的大小為45。,

求三棱錐A-BCD的體積.

【解析】(1)證明：因為43=4),O為8。的中點，所以AOJ.3D,

又平面AB￡>_L平面BCD,平面M￡)C平面8a>=叨，AOu平面ASD,

所以AO_L平面BC￡),又C￡)u平面B8,

所以AOJ_C￡>;

(2)過E作￡F_L3Z),交.BD于息F,過尸作FG_LBC于點G,連結(jié)EG,

由題意可知，EF//AO,又40_1_平面381

所以所_L平面BCD,又BCu平面BCD,

所以EF_LBC,又BC工FG,FG「EF=F

所以3cL平面EFG,又EGu平面EFG,

所以8c_LEG,

則NEGF為二面角E—BC—D的平面角，即NEGP=45。,

又CD=DO=OB=OC=\,

所以ZBOC=120°,則20cB=Z.OBC=30°,

故ZBCD=90。，

所以FG//CD,

DEDFEF2

因為一=—=—=-

ADODAO3

3i2

貝lj40=—￡￡0尸=一,。尸=一

233

所以需=若’則GF=T=：

23

所以所=GF=—，則AO=—所=1,

32

所以匕8CD=-54BCDAO=lxlxV3xlxl=^l.

n—tf^U3AZJCZx32，6

9.（2022?甲卷（文））小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面ABCD

是邊長為8（單位：加）的正方形，AEAB,\FBC,\GCD,均為正三角形，且它們所在的平面都

與平面A8CD垂直.

（1）證明：EF//平面ABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

【解析】（1）證明：如圖所示，將幾何體補形為長方體，

做莊于點￡,做尸F(xiàn)'LBC于點F',

由于底面為正方形，MBE,ABCF均為等邊三角形，

故等邊三角形的高相等，即診=所’，

由面面垂直的性質(zhì)可知￡￡,尸F(xiàn)均與底面垂直，

則￡￡//"',四邊形￡E'R戶為平行四邊形，則所〃Ek,

由于E廠不在平面AB8內(nèi)，￡尸在平面ABCQ內(nèi)，

由線面平行的判斷定理可得所//平面MCD.

(2)易知包裝盒的容積為長方體的體積減去四個三棱錐的體積,

其中長方體的高AA=E￡=4g,

長方體的體積V；=8X8X4G=256X/3CW3,

一個三棱錐的體積匕=—x(—x4x4)x4>/3=。加，

2323

則包裝盒的容積為V=V-4匕=2566-4x駕1=寫8加3.

知識點3：線面距離

10.（2023?上海）已知三棱錐尸一49C中，Q4_L平面ABC,ABYAC,PA=AB=3,AC=4,M為BC

中點，過點“分別作平行于平面R4B的直線交AC、PC于點E,F.

(1)求直線PM與平面ABC所成角的大小;

(2)求直線ME到平面的距離.

M

B

【解析】(1)連接AM,PM,

%_L平面ABC,

.?.NPM4為直線PM與平面ABC所成的角,

在AftVW中，AB±AC,：.BC=>/32+42=5,

Mr為8c中點，..AM=-BC=-

22

tanZPMA=-,即直線PM與平面ABC所成角為arctan9；

55

(2)由ME//平面MF//平面ME^MF=M,

平面MEF//平面HR,MEu平面MEF,;.〃￡：//平面,

%_L平面ABC,ACu平面ABC,

:.PA±AC,