廣西壯族自治區(qū)防城港市名山中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣西壯族自治區(qū)防城港市名山中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)變量x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（

）A．13

B．14

C．15

D．5參考答案：C2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到，解出即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故選C．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．3.在中，若，那么等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B，在中，，則，由余弦定理得，又，=.4.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中間抽取一個(gè)容量為42的樣本，則老年人、中年人、青年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)是（）A．7，11，18 B．6、12、18 C．6、13、17 D．7、14、21參考答案：D【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由題意，要計(jì)算各層中所抽取的人數(shù)，根據(jù)分層抽樣的規(guī)則，求出各層應(yīng)抽取的人數(shù)即可選出正確選項(xiàng)．【解答】解：由題意，老年人、中年人、青年人比例為1：2：3．由分層抽樣的規(guī)則知，老年人應(yīng)抽取的人數(shù)為×42=7人，中年人應(yīng)抽取的人數(shù)為×42=14人，青年人應(yīng)抽取的人數(shù)為×42=21人．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣，解題的關(guān)鍵是理解分層抽樣，根據(jù)其總體中各層人數(shù)所占的比例與樣本中各層人數(shù)所占比例一致建立方程求出各層應(yīng)抽取的人數(shù)，本題是基本概念考查題．5.從標(biāo)有數(shù)字3，4，5，6，7的五張卡片中任取2張不同的卡片，事件A=“取到2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2張卡片上數(shù)字都為奇數(shù)”，則P（B|A）=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件．【分析】先求出P（A），P（B），根據(jù)條件概率公式計(jì)算得到結(jié)果．【解答】解：從5張卡片中隨機(jī)抽取2張共有C52=10種方法，事件A=“取到2張卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)”，表示取出的2張卡片上的數(shù)字必須兩個(gè)奇數(shù)或兩個(gè)偶數(shù)，共有C22+C32=4種結(jié)果，則P（A）=事件B=“取到的2張卡片上數(shù)字都為奇數(shù)”，表示取出的2張卡片上的數(shù)字必須兩個(gè)奇數(shù)共有=3種結(jié)果，則P（B）=，所以P（B|A）=故選：C【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等可能事件概率求解問題，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．6.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線

C．雙曲線 D．直線參考答案：B過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在平面上過(guò)作的垂線，垂足為，連接，由三垂線定理知：，線段的長(zhǎng)即為點(diǎn)到直線的距離，,過(guò)點(diǎn)在平面上作，垂足為，連接，則平面，

,又點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，由拋物線的定義知軌跡為拋物線，選B．7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a=3，b=2，則輸出的a的值為（）A．2 B．7 C．9 D．13參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累加a值，并判斷滿足a＞8時(shí)輸出a的值．【解答】解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的聚會(huì)如下表示：是否繼續(xù)循環(huán)

a

b循環(huán)前/3

2第一圈

否

5

2第二圈

否

7

2第三圈

否

9

2第四圈

是故最終輸出的a值為9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．8.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.函數(shù)的定義域是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），離心率，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程為（）A．

B． C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，從而可得a=2，b=，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意得，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=1，e==，故a=2，b=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，則的值為

．參考答案：12.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：…

按照上面的規(guī)律，第個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為

參考答案：6n+2略13.已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱，其各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為

．參考答案：∵正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，∴正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)為，又∵正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，∴正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑，得球半徑，根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為，故答案為.

14.球坐標(biāo)（2，，）對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為： 。參考答案：15.凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E之間的關(guān)系如下表.凸多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569長(zhǎng)方體6812五棱柱71015三棱錐446四棱錐558

猜想一般結(jié)論:F＋V－E＝____.參考答案：2【分析】根據(jù)前面幾個(gè)多面體所滿足的結(jié)論，即可猜想出【詳解】由題知：三棱柱：，則，長(zhǎng)方體：，則，五棱柱：，則，三棱錐：，則四棱錐：，則，通過(guò)觀察可得面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)的關(guān)系為。【點(diǎn)睛】本題由幾個(gè)特殊多面體，觀察它們的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)，歸納出一般結(jié)論，著重考查歸納推理和凸多面體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。16.已知是非零向量，且夾角為，則向量的模為

．參考答案：17.已知，則的值為_________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.參考答案：解：由已知，（a＋3b）·（7a－5b）＝0，（a－4b）·（7a－2b）＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0

①

7a－30a·b＋8b2＝0

②①－②得2a·b＝b2

代入①式得a2＝b2

∴cosθ＝，故a與b的夾角為60°.19.某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布如下： X0～678910P00.20.30.30.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為ξ． （I）求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率； （Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ． 參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】（1）設(shè)A=“該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)”，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出P（A）． （2）依題意ξ在可能取值為：7、8、9、10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ． 【解答】解：（1）設(shè)A=“該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)”， 則P（A）=0.2×0.2=0.04． （2）依題意ξ在可能取值為：7、8、9、10 且P（ξ=7）=0.04， P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21， P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39， P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36， ∴ξ的分布列為： ξ78910P0.040.210.390.36ξ的期望為Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用． 20.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求橢圓的方程；（2）求m的取值范圍；（3）若直線l不經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)M（4，1），求證：直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出2a=4，e=，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）將y=x+m代入，得5x2+8mx+4m2﹣20=0，利用根的判斷式能求出m的取值范圍．（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，設(shè)A（），B（x2，y2），k1+k2=+，由此利用韋達(dá)定理能證明直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∴2a=4，e=，解得a=2，c=，b=，∴橢圓方程為．…（4分）（Ⅱ）將y=x+m代入，并整理，得：5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B，∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5，∴m的取值范圍是（﹣5，5）．（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，設(shè)A（），B（x2，y2），則由（Ⅱ）得x1+x2=﹣，x1x2=，k1+k2=+=，∵分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=，∴k1+k2=0，∴直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查兩直線的斜率互為相反數(shù)的證明，解題時(shí)要注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．21.袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)一次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球（Ⅰ）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果；（Ⅱ）若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．參考答案：【考點(diǎn)】等可能事件的概率；隨機(jī)事件．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）由分步計(jì)數(shù)原理知這個(gè)過(guò)程一共有8個(gè)結(jié)果，按照一定的順序列舉出所有的事件，順序可以是按照紅球的個(gè)數(shù)由多變少變化，這樣可以做到不重不漏．（2）本題是一個(gè)等可能事件的概率，由前面可知試驗(yàn)發(fā)生的所有事件數(shù)，而滿足條件的事件包含的基本事件為：（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（黑、紅、紅），根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．【解答】解：（I）一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：（紅、紅、紅、）、（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（紅、黑、黑）、（黑、紅、紅）、（黑、紅、黑）、（黑、黑、紅）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）本題是一個(gè)等可能事