【數(shù)學】棱柱、棱錐、棱臺學案-2023-2024學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

課題：第八章立體幾何初步8.1.1棱柱、棱錐、棱臺班級——————姓名——————一．學習目標1.通過計算機模擬或者利用實物概括出棱柱、棱錐、棱臺的幾何結構特征；2.能用數(shù)學語言概述棱柱、棱錐、棱臺的結構特征；3.能表示有關幾何體以及進行棱柱、棱錐、棱臺的分類。4.通過對棱柱、棱錐、棱臺的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng)。二．問題與例題總結1：在初中我們都學習過那些幾何圖形呢，空間幾何圖形都有哪些？【討論】下列物體（教材第97頁圖8.1-1)具有怎樣的形狀？在日常生活中，我們把這些物體的形狀叫做什么？如何描述它們的形狀？歸納出空間幾何體概念：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分．如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體（spacegeometry）．問題2：我們怎么來進一步規(guī)范的描述和定義這些空間幾何體?先討論一個問題：組成空間幾何體的元素有那些？從運動的角度來思考：點動成線，線動成面，面動成體規(guī)范定義：類別定義圖示多面體一般地，由若干個圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個叫做多面體的面；兩個面的叫做多面體的棱；的公共點叫做多面體的頂點旋轉體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的旋轉所形成的叫做旋轉面，的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體．叫做旋轉體的軸問題3：棱柱、棱錐、棱臺的結構特征多媒體演示，棱柱、棱錐、棱臺的形成過程；（概念生成）定義相關概念棱柱一般地，有兩個面互相，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱四棱柱ABCD－A′B′C′D′棱錐一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐四棱錐S－ABCD棱臺用一個棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺四棱臺ABCD－A′B′C′D′例1將下列各類幾何體之間的關系用Venn圖表示出來：多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體．解：如圖8.1-9所示．三課堂新知運用教材練習展示P101第1，2，3題四隨堂測試（40分鐘）批改日期：評價：一、單選題1．觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的定義分析判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的結構特征：一對平行的平面且側棱相互平行的幾何體，所以棱柱有（1）（3）（5）.故選：A.2．平行六面體的兩個對角面與都是矩形，則這個平行六面體是（

）．A．正方體 B．長方體 C．直平行六面體 D．正四棱柱【答案】C【分析】利用多面體的結構特征可得出答案.【詳解】，項為真項為真項為真項為真，A，B，D三項均假，所以C項為真.故選：C.3．已知正四棱錐的底面積為64，側棱長，則該四棱錐的高為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結合圖象利用勾股定理求解.【詳解】如圖：正四棱錐的底面積為64，則，又頂點在在底面上的射影是四邊形的中心，過點作于，連接，則，又側棱長為，所以該四棱錐的高為.故選：A.4．下列命題中正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊行的多面體叫做棱柱B．以圓的直徑為軸，將圓面旋轉180度形成的旋轉體叫球C．用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫棱錐【答案】B【分析】根據(jù)棱柱，棱臺，棱錐，球的定義或舉反例判斷即可.【詳解】對于A,如圖所示不表示棱柱，故不正確；對于B，以圓的直徑為軸，將圓面旋轉180度形成的旋轉體叫球，故正確；對于C，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺，故不正確；對于D，棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，故不正確；故選：B.5．下列說法正確的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方體B．底面是正多邊形，側棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的定義判斷即可.【詳解】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯誤；當棱錐的底面是正多邊形，側棱與底面所成的角均相等時，棱錐的頂點在底面的投影是底面的中心，所以該棱錐是正棱錐，故B正確；用一個平行于底面的平面截圓錐，可以得到一個圓錐和一個圓臺，故C錯誤；有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，故D錯誤.故選：B.6．如果棱臺的兩底面積分別是，，中截面的面積是，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設棱臺的高為，棱臺上面截去的棱錐的高為，根據(jù)比例關系得到.【詳解】設棱臺的高為，棱臺上面截去的棱錐的高為，則，，所以，即．故選：A．7．如圖，把咱們教室看作是一個正六棱柱，過教室墻面上的三點作一個截面，得到一個幾何體，若已知的高度依次為，則的高度之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設正六邊形中心為，設到截面的距離為，由題意利用中位線性質可得，進一步反復利用中位線性質即可求解.【詳解】設正六邊形中心為，則可得四邊形是菱形，記菱形對角線交點為，設到截面的距離為，其中為的中心，設與交于點，連接，易得為與的中點，由題意以及梯形的中位線性質可得，解得，又的中點為，所以，所以，同理，解得，，解得，所以.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是利用中位線定理列方程求長度，由此即可順利得解.8．在正方體的8個頂點中任取4個點，能構成正三棱錐的個數(shù)為（

）A．16個 B．12個 C．10個 D．8個【答案】C【分析】根據(jù)正方體以及正三棱錐的結構特征分析判斷.【詳解】如圖，以為頂點，可知三棱錐為正三棱錐，符合題意，此類三棱錐共有8個；可知三棱錐為正三棱錐，符合題意，此類三棱錐共有2個；其余情況均不合題意，所以符合條件的正三棱錐的個數(shù)為.故選：C.二、多選題9．下面關于空間幾何體敘述正確的是（）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．正四棱柱都是長方體D．直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐【答案】CD【分析】由正棱錐的定義判斷A，由棱臺的定義判斷B，由正四棱柱的定義判斷C，由圓錐的定義判斷D.【詳解】對于A，底面是正多邊形且頂點在底面內的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故A錯誤；對于B，將兩個相同的棱臺的底面重合得到的多面體滿足有兩個面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺，故B錯誤；對于C，因為正四棱柱是底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是長方體，故C正確；對于D，根據(jù)圓錐的定義可知D正確.故選：CD三、填空題10．如圖，已知正方體棱長為2，其內壁是十分光滑的鏡面.一束光線從點射出，在正方體內壁經(jīng)平面反射，又經(jīng)平面反射后，到達的中點，則該光線所經(jīng)過的路徑長為.【答案】【分析】易得光線從點射出通過兩次反射到達點，則其路徑在平面內，設光線在平面和平面內的反射點分別是，在矩形中，過點作于點，利用相似比及勾股定理求出即可.【詳解】如圖①，光線從點射出通過兩次反射到達點，則其路徑在平面內，設光線在平面和平面內的反射點分別是，如圖②，在矩形中，，過點作于點，則，故，則，所以，則，所以，，所以該光線所經(jīng)過的路徑長為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：明確入射光線和反射光線是共面的，都在平面內，是解決本題的關鍵.11．數(shù)學中有很多公式都是數(shù)學家歐拉（Leonhard

Euler）發(fā)現(xiàn)的，它們都叫歐拉公式，分散在各個數(shù)學分支之中，任意一個凸多面體的頂點數(shù)V.棱數(shù)E.面數(shù)F之間，都滿足關系式，這個等式就是立體幾何中的“歐拉公式”.若一個凸二十面體的每個面均為三角形，則由歐拉公式可得該多面體的頂點數(shù)為【答案】12【分析】根據(jù)幾何體的結構特征結合“歐拉公式”運算求解.【詳解】因為二十面體的每個面均為三角形，每條棱都是兩個面共用，所以棱數(shù)