拋物線-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義與練習(xí)（新高考）原卷版

考點(diǎn)22拋物線（核心考點(diǎn)講與練）

1.拋物線的定義

（1）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/（西/）的距離相箜的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),

定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

（2）其數(shù)學(xué)表達(dá)式：｛MI"F∣=d｝（d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線/的距離）.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：

①求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條件確定夕值即可.

②因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量.

（2）利用拋物線的定義解決此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)靈活地運(yùn)用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)

化.“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線“，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的有效途徑.

2.確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧：

①利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.

②要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解.

3.（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.

（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式IABl

=x1+x2+p,若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.

（3）研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類(lèi)似，一般是聯(lián)立兩曲線方

程，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問(wèn)題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點(diǎn)差法”以及定義的靈

活應(yīng)用.

萄

物線的定義與方程

一、單選題

12342

1.（2022?廣東?二模）已知拋物線E：y=4x,圓F：（x-l）+∕=4,直線/：y=t"為實(shí)數(shù)）與拋物線

E交于點(diǎn)A,與圓F交于B,C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B位于點(diǎn)C的右側(cè)，則aE48的周長(zhǎng)可能為（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2022?江蘇?海安高級(jí)中學(xué)二模）已知拋物線C：V=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/.點(diǎn)P在C上，直線PF交

IXUULM

X軸于點(diǎn)。，且PF=3尸Q,則點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2021北京市第八中學(xué)高三10月月考）已知拋物線V=8χ第一象限上一點(diǎn)A到其焦點(diǎn)的距離為8,則

點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（）

A.2√4B.6C.4D.4√3

二、多選題

4.（2022?廣東韶關(guān)?二模）已知拋物線C-.V=4χ的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線/交X軸于點(diǎn)D,直線〃?過(guò)。且交C

于不同的A,B兩點(diǎn),8在線段A力上，點(diǎn)P為A在/上的射影.線段尸尸交y軸于點(diǎn)E,下列命題正確的是

（）

A.對(duì)于任意直線瓶，均有AELPF

B.不存在直線機(jī)，滿足品=2序

C.對(duì)于任意直線〃?，直線AE與拋物線C相切

D.存在直線”?，使∣AQ+∣BF∣=2∣OFI

5.（2022?山東濰坊?二模）己知四面體ABCZ）的4個(gè)頂點(diǎn)都在球。（O為球心）的球面上，AABC為等邊三

角形，M為底面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AB=BD=2,AD=y∕2,且ACL8。，貝IJ（）

A.平面AS_L平面ABC

B.球心。為AABC的中心

C.直線OM與CC所成的角最小為3

D.若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到平面ACD的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分

6.（2022.山東聊城?二模）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2,過(guò)F的直線/交

拋物線C于兩點(diǎn)A,B,貝!］（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2

B.若IAFl=4,則IOAl=后

C.若|4斗忸刊=4p2,則/的斜率為土立

D.過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H,若X軸平分4/8,則IAfj=4

7.（2022?遼寧葫蘆島.一模）已知拋物線C：V=2px過(guò)點(diǎn)加（2,2夜），焦點(diǎn)為F,則（）

A.點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3

B.直線M尸與X軸垂直

C.直線M尸與C交于點(diǎn)N,以弦MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切

D.過(guò)點(diǎn)M與C相切的直線方程為x-2y+l=0

三、填空題

8.（2022?遼寧沈陽(yáng)?二模）己知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為F,在C上有一點(diǎn)P,IPFl=8,則點(diǎn)尸到X軸的

距離為.

拋物線的幾何性質(zhì)

L（2021北京八中高三上學(xué)期期中）已知直線∕∣:x-y+4=0和直線4：x=-2,拋物線上一動(dòng)

點(diǎn)尸到直線4和直線4的距離之和的最小值是（）

A.3√2B,4√2C.∣√2D.2+2√2

2.（2021新疆克拉瑪依市高三第三次模擬檢測(cè)）2021年是中國(guó)傳統(tǒng)的“?！蹦?，可以在平面坐標(biāo)系中用拋

物線與圓勾勒出牛的形象.已知拋物線Z:/=4y的焦點(diǎn)為F,圓F：f+（y—i）2=4與拋物線Z在第一

（舟

象限的交點(diǎn)為Pm,-,直線/:X=（0<，<加）與拋物線Z的交點(diǎn)為A,直線/與圓尸在第一象限的

\4J

交點(diǎn)、為B,則CE43周長(zhǎng)的取值范圍為（）

A.（3,5）B.（4,6）

C.（5,7）D.（6,8）

<^可寶>直線與拋物線的位置關(guān)系

1.（云南省曲靖市第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷）已知直線/：）=x+l與拋物線C：x1=2py

（p>0）相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為N,且拋物線C上存在點(diǎn)M,使得。M=3ON（。為坐標(biāo)原

點(diǎn)）.

（1）求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若正方形PQHR的三個(gè)頂點(diǎn)P,Q,，都在拋物線C上，求正方形尸QHR面積的最小值.

2.（2021四川省成都市郭都區(qū)高三上學(xué)期階段性檢測(cè)）已知拋物線C：y2=2pχ（p>0）上的點(diǎn)（2,。到

焦點(diǎn)戶的距離為4.

（1）求拋物線。的方程；

（2）設(shè)縱截距為1的直線/與拋物線C交于A,8兩個(gè)不同的點(diǎn)，若FA?FB=4,求直線/的方程.

L（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考（新課標(biāo)1））己知A為拋物線C:）2=2PX（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離

為12,到），軸的距離為9,則p=（）

A.2B.3C.6D.9

2.（2021年全國(guó)新高考I卷）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2=2pχ（p>（））的焦點(diǎn)為尸，P為。上一

點(diǎn)，PF與X軸垂直，。為X軸上一點(diǎn)，且PQ若忻。=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

3.（2021年全國(guó)高考乙卷）已知拋物線C:V=2*（〃>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求C的方程；

（2）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)。滿足PQ=9Qb,求直線。。斜率的最大值.

一、單選題

1.（2022?山東泰安?二模）己知以尸為焦點(diǎn)的拋物線y2=-2x上的兩點(diǎn)A,8（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)B的橫

坐標(biāo)），滿足OA-O5=∕IE4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-：，則實(shí)數(shù)人=（）

O

34

A.-B.-C.3D.4

23

2?（2022?河北唐山?二模）/為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（m,4）在。上，直線M尸交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M

則網(wǎng)=（）

510

A.-B.—C.5D.12

43

3.（2022?天津?一模）已知拋物線丁=8工的準(zhǔn)線與雙曲線χ2-1=ι（m>o）相交于兩點(diǎn)，且OE

m

（。為原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）

JC??/?C??/?s

Aλ.y=±-xB.V=±-----XC.V=±——XD.y=±——χ

3324

4.（2022.遼寧錦州?一模）已知拋物線Uy2=2pχ（p>0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且IPFl=5,以PF

為直徑的圓截X軸所得的弦長(zhǎng)為1,則P=（）

A.2B.2或4C.4D.4或6

5.（2022?廣東惠州?一模）若拋物線V=2px（p>0）上一點(diǎn)P（2,%）到其焦點(diǎn)的距離為4,則拋物線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.∕=8x

二、多選題

6.（2022.河北秦皇島.二模）過(guò)拋物線C:y2=2px上一點(diǎn)A（l,-4）作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)

交點(diǎn)分別為M,N,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程是x=-4

B.過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8

C.直線MN過(guò)定點(diǎn)（0,4）

D.當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為2x+y-38=0

7.（2022?江蘇江蘇?二模）已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)原點(diǎn)。的動(dòng)直線/交拋物線于另一點(diǎn)P,交拋

物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若。為線段PQ中點(diǎn)，則∣PF∣=2B.若IPH=4,則IoH=2石

C.存在直線/,使得PFJ■。/D.ZV5FQ面積的最小值為2

8.（2022?廣東?一模）已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線C上存在〃個(gè)點(diǎn)[,P2,?,Pn（“≥2且

27F

"∈N）滿足NaR=N6容==NEiFK=NRFq=-,則下列結(jié)論中正確的是（）

n

+=2

?'〃=2時(shí)'∣^[∣∕>f∣

B.〃=3時(shí)，忸目+∣g尸|+山產(chǎn)I的最小值為9

]1_1

c+-

'”=4時(shí)，∣^F∣+∣∕>F∣∣^F∣+∣^F∣4

D.〃=4時(shí)，歸尸|+怛F∣+∣AF∣+∣/∣的最小值為8

9.（2022?湖南常德?一模）已知拋物線C:V=2PX（P>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為2,則（）

A.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）

B.過(guò)點(diǎn)A（T,0）恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

C.直線χ+y-1=0與拋物線C相交所得弦長(zhǎng)為8

D.拋物線C與圓/+>2=5交于M,N兩點(diǎn)，則IMVl=4

10.（2022?廣東肇慶?模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線∕∣,l2,I1

與C相交于A,B兩點(diǎn)，4與C相交于E,。兩點(diǎn)，M為A,8中點(diǎn)，N為E,。中點(diǎn)，直線/為拋物線C的

準(zhǔn)線，則（）

A.點(diǎn)M到直線/的距離為定值B.以為直徑的圓與/相切

C.∣A即+|￡>目的最小值為32D.當(dāng)IMM最小時(shí)，MN//I

11.（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

Λ∕（l,2）,A（XI,χ）,3（々,必）都在拋物線上，且FA+FB+FM=0，則下歹IJ結(jié)論正確的是（）

A.拋物線方程為>2=2XB.尸是ABM的重心

7

C.∣∕A∣+∣FΛ∕∣+∣FB∣=6D.S^AFO+S^BFO+S^MFO=3

三、填空題

12.(2022.北京豐臺(tái)?二模)已知拋物線C：V=8y,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為.

13?(2022?福建?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線y2=2p∣x(p∣>0)與拋物線Y=20/(烏>°)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為

P(X。，%)，若點(diǎn)P在圓C:(x-&U『+(y-My=8上，且直線O尸與圓C相切，則PQ=.

14.(2022.重慶八中模擬預(yù)測(cè))若拋物線V=2PX(P>())上的點(diǎn)A(Λ0,2)到焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離的

2倍，則