第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是指描述系統(tǒng)當(dāng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型具有非唯一性，主要形式有微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、結(jié)構(gòu)圖和信號流圖等。同一系統(tǒng)不同形式的數(shù)學(xué)模型之間可以相互轉(zhuǎn)換建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。3/24/20241控制工程中將建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的過程簡稱為建模建模的方法：機理分析法（解析法）和實驗法建模的原則：一個合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該折中考慮模型的簡化性與分析結(jié)果的準確性。建模時，必須對控制系統(tǒng)的工作原理以及構(gòu)成系統(tǒng)的各個部分有一個全面的了解，這就要求設(shè)計人員必須具備扎實的理論基礎(chǔ)，并且掌握一定廣度的專業(yè)知識。太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/20242第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)2-l

微分方程2-2

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

2-3

傳遞函數(shù)

2-4

結(jié)構(gòu)圖

2-5

信號流圖

2-6

利用MATLAB描述和求解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3/24/202431.將系統(tǒng)劃分為若干個單向環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入和輸出信號。

所謂單向環(huán)節(jié)是指此環(huán)節(jié)的運動狀態(tài)與后面環(huán)節(jié)的存在與否沒有系。

2.根據(jù)個環(huán)節(jié)的工作原理和遵循的物理學(xué)的基本定律（基爾霍夫定律、牛頓定律、熱力學(xué)定律、電磁感應(yīng)定律、能量守恒定律等）建立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型（微分方程或代數(shù)方程）。3.聯(lián)立描述各環(huán)節(jié)變量之間關(guān)系的微分方程，消除中間變量，最后得到描述整個系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系的微分方程。4.通常還按照慣例把微分方程寫成標準形式，即將與輸入量有關(guān)的各項寫在方程的右邊，而與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊，方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。2.1微分方程一、建立控制系統(tǒng)微分方程的步驟太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/20244

例2-1

圖2-1所示為RLC串聯(lián)電路，ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量。 列寫該電路的微分方程。RLCui(t)uo(t)i(t)＋＋－－圖2-1RLC串聯(lián)電路解:

1.引入中間變量。設(shè)回路電流為i(t)

3.消去中間變量。將電路中電容元件的約束關(guān)系方程帶入上式整理可得：若令可得：2.列寫回路的KVL方程太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)二、環(huán)節(jié)和系統(tǒng)建模舉例1、電氣系統(tǒng)

3/24/202452、機械系統(tǒng)

例2-2

圖2-2是彈簧—質(zhì)量—阻尼器的機械位移系統(tǒng)。設(shè)外作用力F為輸入量，位移x為輸出量，試求該系統(tǒng)的微分方程。mFxkf圖2-2彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)解：中間變量：為了方便，在建模過程中引入的一些變量:消去中間變量的方法：太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)根據(jù)牛頓第二定律用輸入量和輸出量表示中間變量，帶入基本方程中。3/24/20246消去中間變量整理成標準形式系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型元件約束關(guān)系方程基本數(shù)學(xué)關(guān)系方程mFxkf圖2-2彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/2024例2-2(書上)

圖2-2所示由質(zhì)量、彈簧和阻尼器構(gòu)成得機械位移系統(tǒng)。其中m為物體的質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的阻尼系數(shù)。要求確定外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量時，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解：

質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)m（2-9）（2-8）3/24/20248（2-11）（2-10）根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出物體的受力平衡方程為將式（2-8）和式（2-9）帶入式（2-10）中，消去中間變量并將所得方程整理成標準形式，有顯然，這也是一個二階線性定常系統(tǒng)。3/24/202493.液位系統(tǒng)出水流量Q2圖2-3液位控制系統(tǒng)示意圖閥門目標水位H0實際水位H進水流量Q1例2-3考慮圖2-3所示液位控制系統(tǒng)，其中水箱水位H為被控量，忽略次要因素，引起水箱水位變化的物理量主要是輸入流量Q1和負載流量Q2。試確定該系統(tǒng)，節(jié)流閥開度一定時水箱水位與輸入流量的關(guān)系方程。

3/24/202410解：根據(jù)物質(zhì)守恒定律，列出液位系統(tǒng)流體過程的關(guān)系方程——非線性微分方程式中，A為容器截面積。當(dāng)節(jié)流閥開度一定時，通過包含連接導(dǎo)管和容器的液體流量為式中，K為節(jié)流閥的流量系數(shù)。將式（2-14）代入（2-13）中可得水箱水位與進水流量的關(guān)系方程（2-13）（2-14）3/24/202411例（補）

求圖所示他激直流電動機在電樞控制情況下的微分方程。圖中，

ω為電動機角速度（rad/s），Mc為折算到電機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩（N.m），Ua為電樞電壓（V）。設(shè)激磁電流恒定，并忽略電樞效應(yīng)。ia圖2-3電樞控制的他激直流電動機ω＋-UaMcea＋－Uf解：圖所示他激直流電動機在電樞控制情況下：

Ua為輸入，ω為輸出量，Mc為擾動量為了便于列寫方程，引進中間變量：電動機電樞兩端的反電勢ea（V）；電樞電流ia（A）；電動機軸上產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩M（N.m）。

太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202412電樞回路KVL方程：反電動勢與轉(zhuǎn)速的關(guān)系方程：電動機軸上產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩：電動機軸上的動力學(xué)方程：J——折算到電動機軸上的總轉(zhuǎn)動慣量（kg?m2）。聯(lián)立、消去中間變量，并整理成標準形式

ω＋-UaMcea＋－UfCe——電動機的電勢常數(shù)（V?s/rad）；Cm——電動機的轉(zhuǎn)矩常數(shù)（N?m/A）；3/24/202413電動機的電磁時間常數(shù)，單位:s將所得數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)組合寫成具有一定實際意義的物理量，即令電動機的機電時間常數(shù)，單位：s電動機的電壓作用系數(shù)，單位:rad/(V?s)電動機的負載作用系數(shù)，單位：太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202414電動機的轉(zhuǎn)速隨時間的變化規(guī)律ω(t)取決于兩種輸入信號——電樞電壓和負載轉(zhuǎn)矩的變化規(guī)律。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理：兩種輸入信號同時作用下轉(zhuǎn)速的變化，等于各輸入信號單獨作用時轉(zhuǎn)速變化的疊加。電動機的數(shù)學(xué)模型太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202415三、相似系統(tǒng)、相似量例2-2機械位移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例2-1的RLC串聯(lián)電路中，q作為輸出時的數(shù)學(xué)模型太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)量q作為被控量，則若以電容元件極板上的電荷3/24/202416象這樣具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中位于對應(yīng)位置上的變量或參數(shù)稱為相似量。機械位移系統(tǒng)mfkxFRLC串聯(lián)電路LR1/CqUi按照輸入量定義相似系統(tǒng)： 力-電壓相似系統(tǒng)

相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，并依此出現(xiàn)了仿真研究方法。太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202417四、微分方程的增量化表示

微分方程也稱動態(tài)特性方程。當(dāng)輸入為恒定值，電動機處于平衡狀態(tài)時，變量的各階導(dǎo)數(shù)均為0，可得電動機的靜態(tài)特性方程當(dāng)電動機在工作在某靜態(tài)工作點(Uao,ωo,Mco)附近的一個小范圍內(nèi)時，如果系統(tǒng)受到擾動，電動機將偏離當(dāng)前的平衡狀態(tài)，系統(tǒng)各變量都將發(fā)生變化。用Δ表示變化量，電動機在原平衡狀態(tài)附近運動的各變量的增量表示式為這是一個代數(shù)方程，它表示平衡狀態(tài)下輸入量、輸出量之間的關(guān)系，也稱為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型。線性系統(tǒng)的靜特性可以用一個線性代數(shù)方程描述。太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202418在平衡狀態(tài)附近工作時，電動機微分方程的增量化表示式線性系統(tǒng)微分方程的變量表示和增量表示具有相同的形式，非線性系統(tǒng)則不然。變量形式微分方程：推導(dǎo)過程3/24/2024192.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化以上列舉的各元件，都假設(shè)其具有線性特性，因而求得的數(shù)學(xué)模型均是線性微分方程。求解線性常微分方程，可得輸入信號作用下系統(tǒng)的時域響應(yīng)，即被控量的實際值隨時間變化的規(guī)律。但是實際系統(tǒng)多多少少都有非線性，嚴格地講，其特性只能用非線性方程描述目前還沒有求解非線性方程的統(tǒng)一的方法在一定條件下對非線性特性進行線性化，將非線性方程用近似的線性方程來代替，就可以利用線性系統(tǒng)理論對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計，從而避免了非線性造成的數(shù)學(xué)處理上的困難，而且所得到的結(jié)果可以在一定范圍內(nèi)近似地反映系統(tǒng)的真實特性。太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202420非線性數(shù)學(xué)模型線性化的條件1.靜態(tài)非線性特性。3.系統(tǒng)在某個靜態(tài)工作點附近的小范圍內(nèi)工作，即：微偏2.非線性特性不嚴重，在工作點處連續(xù)，沒有折斷點、跳躍點等。y0x0yxxy圖2-5非線性函數(shù)的線性化這樣，在處將非線性函數(shù)展開成泰勒級數(shù)太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202421當(dāng)

足夠小時，忽略的二階以上高階無窮小量得或其中非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型這種線性化的方法也叫微偏法，其實質(zhì)是在系統(tǒng)工作點附近的小偏差范圍內(nèi)，以切線代替實際曲線對系統(tǒng)進行研究。使用時應(yīng)注意其適用范圍。xyy0x0yx圖2-5非線性函數(shù)的線性化太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202422例2-6

三相橋式可控硅整流電路的輸入量為控制角α，輸出量為整流電壓Ud。輸入-輸出之間的關(guān)系為。UI為輸入交流電電壓的有效值。求其線性化的書寫模型。解：顯然Ud是α的非線性連續(xù)函數(shù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在。設(shè)額定工作點為α0，Ud0，當(dāng)控制角α在α0附近的小范圍內(nèi)變化時，將非線性函數(shù)在α0處展開成泰勒級數(shù)并取其線性部分令即非線性函數(shù)在工作點（α0，Ud0

）處切線的斜率，則有用變量表示增量，可得太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202423線性化是相對于某一額定工作點（平衡點）進行的。工作點不同，則對應(yīng)的切線斜率不同，線性化微分方程的系數(shù)也就不同，因此，在線性化之前，必須確定元件的靜態(tài)工作點。變量的變化必須是小范圍的。變量只有在足夠小的范圍內(nèi)變化，才能保證線性化具有足夠的精度。線性化方程通常是以增量方程描述的。如果元件或系統(tǒng)存在本質(zhì)非線性，即函數(shù)具有間斷點、折斷點，微偏理論不再適用，而只能利用非線性系統(tǒng)理論解決。求取非線性環(huán)節(jié)的線性化數(shù)學(xué)模型時應(yīng)注意下列幾點太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202424六、線性系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)是由多個元件組成的。在編寫控制系統(tǒng)的微分方程時，通常是先列寫組成系統(tǒng)的各單向元件的方程，然后按照它們在系統(tǒng)中的連接情況將方程合并，消去中間變量；最后整理出只包含系統(tǒng)輸出變量（即被控量）和輸入變量（包括給定輸入和擾動輸入）的微分方程，并寫成標準形式。在列寫過程中，為使信號的傳送關(guān)系更加明確，往往還要畫出相應(yīng)的方塊圖。太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202425例2-8

編寫圖2-11所示轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的微分方程功率放大器＋＋＋－－電動機負載減速器運算放大器Ⅰ運算放大器Ⅱ電位器測速發(fā)電機＋－ωuf反饋連接ugu1u2Mc圖2-11轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)原理圖····太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202426解：系統(tǒng)中電動機為被控對象，電動機的轉(zhuǎn)速ω為被控量，電位器的輸出Ug為給定輸入，負載轉(zhuǎn)矩Mc為擾動輸入?？刂葡到y(tǒng)由輸入電位器、運算放大器Ⅰ、運算放大器Ⅱ、功率放大器、被控對象和測速反饋裝置等組成。運算放大器Ⅰ起信號求差并放大的作用；運算放大器Ⅱ（連同RC網(wǎng)絡(luò)）起倒相和校正的作用，它使系統(tǒng)穩(wěn)定工作且有較好的動態(tài)性能。該系統(tǒng)的方塊圖如圖2-12所示。運算放大器Ⅰ運算放大器Ⅱ功率放大器電動機測速發(fā)電機ugufueu1u2uaωMc＋－圖2-12轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)方塊圖·太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/2024271.運算放大器Ⅰ

2.運算放大器Ⅱ3.功率放大器4.電動機5.測速發(fā)電機連同分壓器一般有太原科技大學(xué)控制工程基礎(chǔ)3/24/202428圖2-11所示轉(zhuǎn)速自動控制系統(tǒng)微分方程為式。令有前向通道傳遞(放大)系數(shù)