第四章振動和波教材

第四章振動和波振動是一種十分普遍的運動形式。其主要特征是物理量隨時間作周期性變化。波是振動在空間的傳播，同時也是能量的傳播。盡管產生各類振動、波動具體機制不同，但可以分析研究它們的共同特征、波動方程和普遍性質。本章主要研究機械振動和機械波，但其中的很多規(guī)律都適用于其他波。第一節(jié)簡諧振動振動一個物理量隨時間t

作周期性變化：“周期性”是這種運動形式的典型特征機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。一、簡諧振動(Harmonicvibration)的運動方程彈簧振子(springoscillator)的例子一根輕彈簧連接一個質點，置于光滑水平面上。k

為勁度系數(coefficientofstiffness)小幅振動滿足胡克定律：物體所受的合外力與和位移成正比，方向始終指向平衡位置，稱為線性回復力。

由牛頓第二定律：令微分方程的解即：或：這樣的運動規(guī)律符合簡諧函數形式，叫做簡諧振動(simpleharimonicvibration)

。簡諧振動的運動方程A—振幅(amplitude)離開平衡位置的最大位移三個重要的特征量

—角頻率

（或稱圓頻率）(angularfrequency)在2π秒時間內完成全振動的次數單位:rad/s

—初相

(initialphase)反映初始時刻振動系統的運動狀態(tài)振動的相位(phase)稱為振動的相位，t=0時刻的相位為初相1、用“相位”描述物體的運動狀態(tài)。2、用“相位”來比較兩個同頻率簡諧振動的“步調”。頻率f：1秒內完成全振動的次數，單位：Hz。周期T

：完成一次全振動所經歷的時間,單位s。頻率與周期(frequency&period)速度和加速度以上兩式表明，速度和加速度隨時間的變化也滿足簡諧運動的規(guī)律，但與位移有相位差：速度超前位移π/2，加速度與位移反相振動曲線xtoA-AT位移、速度、加速度與時間的關系簡諧振動的動力學方程物體作簡諧振動的動力學方程判別簡諧振動的依據：1、運動表達式為，其中

A

、

和

是常數。2、作用力的形式為，k

為常系數。3、動力學方程可寫成，為大于零常系數，其平方根即為角頻率。

（或T）

決定于振動系統的動力學性質，叫做系統的固有角頻率前述的彈簧振子例子：再回顧三個重要的特征量A

，

決定于系統的初始條件(t=0)在0~2π內為多值函數，注意取舍！yxP旋轉矢量圖法旋轉矢量的模為A，t=0時，旋轉矢量與x軸的夾角為

，旋轉矢量的角速度為

。矢量端點在x

軸上的投影點作簡諧振動！旋轉矢量的某一位置對應簡諧振動的一個運動狀態(tài)例子：單擺(simplependulum)在小幅振動時：Ol

smgT例題

一個物體沿Ox軸作簡諧振動，振幅A＝0.12m，周期T＝2s，當t=0時，物體的位移x=0.06m，且向x軸正方向運動，求（1）此簡諧運動方程；（2）t=T/4時，物體的位置、速度、加速度；（3）物體從x=-0.06m向Ox軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需的時間。解（1）設這一簡諧運動的表達式為：根據旋轉矢量法：（2）由振動方程得：（3）當x=－0.06m時，向x負方向運動，所以相位為：當第一次回到平衡位置時，相位為：所以v二、簡諧振動的能量振子動能振子勢能——振子的總能量為常量！txtE1、簡諧振動系統的機械能守恒。2、簡諧振動系統的總能量與振幅的平方成正比。EpEk三、簡諧振動的合成一、同方向簡諧振動的合成聲源1聲源2PP

點的運動就是兩個同方向振動的合成1、兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成若兩個x

方向的簡諧振動的角頻率都是

同方向、同頻率簡諧振動的合成仍是簡諧振動：x合振動的振幅與初相x

相互加強與相互減弱1、若兩振動同相2、若兩振動反相合振幅最大合振幅最小例題兩個同方向的簡諧振動曲線（如圖所示）

1、求合振動的振幅。2、求合振動的振動表達式。兩個簡諧振動同方向，同頻率

=2π/T，反相合振動振幅：合振動初相：xxTt解合振動的振動表達式：一、機械波(mechanicalwave)的產生和傳播兩個條件：波源(wavesource)（振動）、彈性介質(elasticmedium)第二節(jié)簡諧波機械波電磁波波動機械振動在彈性介質中的傳播.交變電磁場在空間的傳播.☆機械波的傳播需有傳播振動的介質;☆電磁波的傳播不需介質。機械波和電磁波的不同之處兩類波的共同特征☆都是振動狀態(tài)的傳播☆都是能量傳播☆都能發(fā)生反射、折射、干涉、衍射質點的振動方向和波動的傳播方向垂直，交替出現波峰和波谷。橫波(TransverseWave)質點的振動方向和波動的傳播方向平行，疏密相間。簡諧波(HarmonicWave)介質中各質點都作簡諧振動縱波(Longitudinalwave)機械波的傳播特征1、波動是振動狀態(tài)的傳播。介質中各質點在平衡位置附近振動，并未“隨波逐流”。2、波動是相位的傳播。在波的傳播方向上，各質點的振動相位依次落后。3、波動是能量的傳播。xy波線：表示波的傳播方向的直線波陣面：振動相位相同的點組成的面波前：某一時刻最前面的波陣面波線、波陣面、波前球面波波源波前波線u波陣面平面波波線波前u波陣面波長

：在同一波線上兩個相鄰的、相位差為2π的振動質點之間的距離。波長反映了波動在空間上的周期性xy

波的周期T：波前進一個波長的距離所需的時間。波的頻率f：周期的倒數周期和頻率反映了波動在時間上的周期性。二、波長、頻率和波速波速u

：振動的傳播速度。在一個時間周期T內波向外傳播了一個空間周期λ，因此波速為：波速和波長由介質的性質決定，而波的頻率與介質的性質無關，由波源決定。三、波動方程平面簡諧波：波陣面為平面的簡諧波。xyO設平面簡諧波以速度u沿Ox方向傳播。已知t=t0

時的波動情況，要給出波線上任意坐標x

處的質點P的位移y

隨時間t

的變化規(guī)律——波動方程y(x,t)函數形式。uPt=t0

時刻設

O

點的振動表達式為：振動從

O

點傳波到P

點需時間，所以：t時刻在x處的P點的振動情況與O點處的t－

t時刻的情況相同，因此P點的運動表達式應該為：xyOuPt=t0

時刻t+

t時刻沿

x軸正方向傳播的平面簡諧波的波動方程也可改用周期T、頻率ν和波長λ表示：沿x軸負方向傳播的平面簡諧波的波動方程xyOuPt=t0

時刻u若已知x0

點的振動表達式同樣可得在

x軸正方向傳播的平面簡諧波的波動方程：xyOPx0波動方程的物理意義1、體現波動在時間上和空間上都具有周期性2、分別用x=x1、x=x2

（定值）代入，得x1、x2

點的振動表達式在波的傳播方向上，兩定點x1和x2的振動相位依次落后，相位差為:在波線上，對應一個波長的間距，相位差為2π.（P.63)3、用t=t1（定值）代入，得t1

時刻的波形圖：yxoλ

t1

t1+Δt

uΔtu例題已知

t=0時的波形曲線為Ⅰ，波沿x正向傳播，在t=0.5s時波形變?yōu)榍€Ⅱ。已知波的周期T>1s，試根據圖示條件求波動方程和P

點的振動表達式。（已知A=0.01m）y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu解設坐標原點振動表達式：根據初始條件，y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu因此O點振動表達式：所以，可得波動方程：P點振動表達式：四、波的能量機械波傳播到彈性介質中某處，該點介質由不動到振動，因而具有動能，同時該點介質將產生形變，因而具有彈性勢能。介質由近及遠地振動，相應地，能量向外傳播。設有一平面簡諧波，以波速u在密度為ρ的均勻介質中傳播。在介質中取體積為dV、質量為dm=ρdV的介質元，波傳播到此體元時，體元具有動能Ek和勢能Ep。

1、波的能量介質元的總機械能：介質元的總機械能隨時間作周期性變化，表明對任意介質元，都在不斷的接受和放出能量——波動傳遞能量，波是能量傳播的一種形式。可以證明：平均能量密度：能量密度在一個周期內的平均值。機械波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方及介質的密度都成正比。2、能量密度(volumedensityofenergy)能量密度：單位體積內波的總能量。能流密度(energyfluxdensity)在單位時間內通過垂直于波線的單位面積上的波的平均能量，即為能流密度I，也叫波的強度：uuS它是表征波動中能量傳播的一個重要物理量。單位時間內通過介質中某面積的能量稱為通過該面積的能流。在圖中垂直于波速u方向取面積S，單位時間內通過S面的能量，等于體積uS中的能量。則一個周期內通過S的平均能流為第三節(jié)波的衍射介質中波前上各點都可以當作獨立的波源，發(fā)出球面子波（wavelet），在其后的任一時刻，這些子波的包絡就形成新的波前?；莞梗℉uygens）原理O球面波的傳播平面波的傳播一、惠更斯原理1.子波小孔可看作是新波源，發(fā)出的波叫子波。2.惠更斯原理

1690年荷蘭物理學家惠更斯

惠更斯原理：介質中波動傳播到的各點，都可以看作是發(fā)射子波的波源,這些子波的包絡就是新的波前。

圖4-11小孔成為新的波源二、波的衍射1.波的衍射波在遇到障礙物時，能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進。2.衍射條件障礙物或縫寬與波長相近，才能觀察到明顯的衍射現象。聲波(波長約在0.02～20米之間)衍射顯著無線電波中波波長有幾百米衍射顯著超聲波，波長只有幾毫米，衍射現象不顯著3.衍射現象是波動的特征之一

無論機械波或者是電磁波都會產生衍射現象一、波的疊加原理(superpositionprinciple)幾列波可以保持各自的特點（頻率、波長、振幅、振動方向等）同時通過同一介質，即波的傳播具有獨立性。在疊加區(qū)域內，任一質點振動的位移是各列波單獨存在時在該點產生的位移的合成。疊加過后原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣。第四節(jié)波的疊加原理波的干涉二、波的干涉(interference)干涉現象:幾列波在相遇的疊加區(qū)域內，某些點的振動始終加強，而另有一些點的振動始終減弱。S1S2相干條件：1.波的振動頻率相同，2.振動方向相同，3.振動相位相同或有恒定的相位差。能產生干涉現象的兩列波叫做相干波（coherentwave）設有兩相干波源S1、S2，振動方程為：兩波在P點相遇，在P點的振動分別為：S1S2r2r1P兩振動在P點的合成后的方程為：其中：注意到A的大小與

j

有關！當：合振幅最大：干涉加強！干涉加強條件對于初相相同的相干波源，上述條件可簡化為：其中δ為波程差當：合振幅最?。焊缮鏈p弱！干涉減弱條件干涉加強條件從波程差δ=r1-r2角度考慮波的干涉：干涉減弱條件當兩個初相相同的相干波源發(fā)出的波疊加時：波程差等于波長整數倍的各點，合振動振幅最大，干涉加強；波程差等于半波長奇數倍的各點，合振動振幅最小，干涉減弱。波的干涉是波的重要特征，在光學、聲學、現代信息工程、近代物理等許多學科中有著重要的應用。第五節(jié)聲波和超聲波聲波(soundwave)：頻率范圍20～20000Hz內的聲振動。超聲波(ultrasonic)：頻率高于此范圍。次聲波(infrasound)：頻率低于此范圍。聲波是機械振動在彈性介質中傳播的縱波。

一、聲強和聲強級聲強級公式：單位用分貝(decibel,dB)表示：聲強：聲波的能流密度。它是單位時間內通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲波能量。即：。人耳是很靈敏的感覺器官，所能感受的聲音的強度范圍非常大，數量級相差1012倍。如：1000Hz聲音，10-12W