第四章振動(dòng)和波教材

第四章振動(dòng)和波振動(dòng)是一種十分普遍的運(yùn)動(dòng)形式。其主要特征是物理量隨時(shí)間作周期性變化。波是振動(dòng)在空間的傳播，同時(shí)也是能量的傳播。盡管產(chǎn)生各類振動(dòng)、波動(dòng)具體機(jī)制不同，但可以分析研究它們的共同特征、波動(dòng)方程和普遍性質(zhì)。本章主要研究機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波，但其中的很多規(guī)律都適用于其他波。第一節(jié)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)一個(gè)物理量隨時(shí)間t

作周期性變化：“周期性”是這種運(yùn)動(dòng)形式的典型特征機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)(Harmonicvibration)的運(yùn)動(dòng)方程彈簧振子(springoscillator)的例子一根輕彈簧連接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，置于光滑水平面上。k

為勁度系數(shù)(coefficientofstiffness)小幅振動(dòng)滿足胡克定律：物體所受的合外力與和位移成正比，方向始終指向平衡位置，稱為線性回復(fù)力。

由牛頓第二定律：令微分方程的解即：或：這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合簡(jiǎn)諧函數(shù)形式，叫做簡(jiǎn)諧振動(dòng)(simpleharimonicvibration)

。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程A—振幅(amplitude)離開平衡位置的最大位移三個(gè)重要的特征量

—角頻率

（或稱圓頻率）(angularfrequency)在2π秒時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)單位:rad/s

—初相

(initialphase)反映初始時(shí)刻振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)的相位(phase)稱為振動(dòng)的相位，t=0時(shí)刻的相位為初相1、用“相位”描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2、用“相位”來比較兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的“步調(diào)”。頻率f：1秒內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)，單位：Hz。周期T

：完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間,單位s。頻率與周期(frequency&period)速度和加速度以上兩式表明，速度和加速度隨時(shí)間的變化也滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但與位移有相位差：速度超前位移π/2，加速度與位移反相振動(dòng)曲線xtoA-AT位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程判別簡(jiǎn)諧振動(dòng)的依據(jù)：1、運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為，其中

A

、

和

是常數(shù)。2、作用力的形式為，k

為常系數(shù)。3、動(dòng)力學(xué)方程可寫成，為大于零常系數(shù)，其平方根即為角頻率。

（或T）

決定于振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，叫做系統(tǒng)的固有角頻率前述的彈簧振子例子：再回顧三個(gè)重要的特征量A

，

決定于系統(tǒng)的初始條件(t=0)在0~2π內(nèi)為多值函數(shù)，注意取舍！yxP旋轉(zhuǎn)矢量圖法旋轉(zhuǎn)矢量的模為A，t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角為

，旋轉(zhuǎn)矢量的角速度為

。矢量端點(diǎn)在x

軸上的投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)！旋轉(zhuǎn)矢量的某一位置對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)例子：?jiǎn)螖[(simplependulum)在小幅振動(dòng)時(shí)：Ol

smgT例題

一個(gè)物體沿Ox軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A＝0.12m，周期T＝2s，當(dāng)t=0時(shí)，物體的位移x=0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（1）此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；（2）t=T/4時(shí)，物體的位置、速度、加速度；（3）物體從x=-0.06m向Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需的時(shí)間。解（1）設(shè)這一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為：根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法：（2）由振動(dòng)方程得：（3）當(dāng)x=－0.06m時(shí)，向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，所以相位為：當(dāng)?shù)谝淮位氐狡胶馕恢脮r(shí)，相位為：所以v二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量振子動(dòng)能振子勢(shì)能——振子的總能量為常量！txtE1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。2、簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比。EpEk三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成聲源1聲源2PP

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是兩個(gè)同方向振動(dòng)的合成1、兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成若兩個(gè)x

方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率都是

同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：x合振動(dòng)的振幅與初相x

相互加強(qiáng)與相互減弱1、若兩振動(dòng)同相2、若兩振動(dòng)反相合振幅最大合振幅最小例題兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線（如圖所示）

1、求合振動(dòng)的振幅。2、求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)同方向，同頻率

=2π/T，反相合振動(dòng)振幅：合振動(dòng)初相：xxTt解合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式：一、機(jī)械波(mechanicalwave)的產(chǎn)生和傳播兩個(gè)條件：波源(wavesource)（振動(dòng)）、彈性介質(zhì)(elasticmedium)第二節(jié)簡(jiǎn)諧波機(jī)械波電磁波波動(dòng)機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播.交變電磁場(chǎng)在空間的傳播.☆機(jī)械波的傳播需有傳播振動(dòng)的介質(zhì);☆電磁波的傳播不需介質(zhì)。機(jī)械波和電磁波的不同之處兩類波的共同特征☆都是振動(dòng)狀態(tài)的傳播☆都是能量傳播☆都能發(fā)生反射、折射、干涉、衍射質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波動(dòng)的傳播方向垂直，交替出現(xiàn)波峰和波谷。橫波(TransverseWave)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波動(dòng)的傳播方向平行，疏密相間。簡(jiǎn)諧波(HarmonicWave)介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)縱波(Longitudinalwave)機(jī)械波的傳播特征1、波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播。介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近振動(dòng)，并未“隨波逐流”。2、波動(dòng)是相位的傳播。在波的傳播方向上，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。3、波動(dòng)是能量的傳播。xy波線：表示波的傳播方向的直線波陣面：振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面波前：某一時(shí)刻最前面的波陣面波線、波陣面、波前球面波波源波前波線u波陣面平面波波線波前u波陣面波長(zhǎng)

：在同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2π的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距離。波長(zhǎng)反映了波動(dòng)在空間上的周期性xy

波的周期T：波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需的時(shí)間。波的頻率f：周期的倒數(shù)周期和頻率反映了波動(dòng)在時(shí)間上的周期性。二、波長(zhǎng)、頻率和波速波速u

：振動(dòng)的傳播速度。在一個(gè)時(shí)間周期T內(nèi)波向外傳播了一個(gè)空間周期λ，因此波速為：波速和波長(zhǎng)由介質(zhì)的性質(zhì)決定，而波的頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)，由波源決定。三、波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧波：波陣面為平面的簡(jiǎn)諧波。xyO設(shè)平面簡(jiǎn)諧波以速度u沿Ox方向傳播。已知t=t0

時(shí)的波動(dòng)情況，要給出波線上任意坐標(biāo)x

處的質(zhì)點(diǎn)P的位移y

隨時(shí)間t

的變化規(guī)律——波動(dòng)方程y(x,t)函數(shù)形式。uPt=t0

時(shí)刻設(shè)

O

點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：振動(dòng)從

O

點(diǎn)傳波到P

點(diǎn)需時(shí)間，所以：t時(shí)刻在x處的P點(diǎn)的振動(dòng)情況與O點(diǎn)處的t－

t時(shí)刻的情況相同，因此P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式應(yīng)該為：xyOuPt=t0

時(shí)刻t+

t時(shí)刻沿

x軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程也可改用周期T、頻率ν和波長(zhǎng)λ表示：沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程xyOuPt=t0

時(shí)刻u若已知x0

點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式同樣可得在

x軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：xyOPx0波動(dòng)方程的物理意義1、體現(xiàn)波動(dòng)在時(shí)間上和空間上都具有周期性2、分別用x=x1、x=x2

（定值）代入，得x1、x2

點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式在波的傳播方向上，兩定點(diǎn)x1和x2的振動(dòng)相位依次落后，相位差為:在波線上，對(duì)應(yīng)一個(gè)波長(zhǎng)的間距，相位差為2π.（P.63)3、用t=t1（定值）代入，得t1

時(shí)刻的波形圖：yxoλ

t1

t1+Δt

uΔtu例題已知

t=0時(shí)的波形曲線為Ⅰ，波沿x正向傳播，在t=0.5s時(shí)波形變?yōu)榍€Ⅱ。已知波的周期T>1s，試根據(jù)圖示條件求波動(dòng)方程和P

點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式。（已知A=0.01m）y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu解設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：根據(jù)初始條件，y(cm)x(cm)123456ⅡⅠPOu因此O點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：所以，可得波動(dòng)方程：P點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：四、波的能量機(jī)械波傳播到彈性介質(zhì)中某處，該點(diǎn)介質(zhì)由不動(dòng)到振動(dòng)，因而具有動(dòng)能，同時(shí)該點(diǎn)介質(zhì)將產(chǎn)生形變，因而具有彈性勢(shì)能。介質(zhì)由近及遠(yuǎn)地振動(dòng)，相應(yīng)地，能量向外傳播。設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波，以波速u在密度為ρ的均勻介質(zhì)中傳播。在介質(zhì)中取體積為dV、質(zhì)量為dm=ρdV的介質(zhì)元，波傳播到此體元時(shí)，體元具有動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep。

1、波的能量介質(zhì)元的總機(jī)械能：介質(zhì)元的總機(jī)械能隨時(shí)間作周期性變化，表明對(duì)任意介質(zhì)元，都在不斷的接受和放出能量——波動(dòng)傳遞能量，波是能量傳播的一種形式?？梢宰C明：平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。機(jī)械波的平均能量密度與振幅的平方、頻率的平方及介質(zhì)的密度都成正比。2、能量密度(volumedensityofenergy)能量密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)波的總能量。能流密度(energyfluxdensity)在單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波線的單位面積上的波的平均能量，即為能流密度I，也叫波的強(qiáng)度：uuS它是表征波動(dòng)中能量傳播的一個(gè)重要物理量。單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某面積的能量稱為通過該面積的能流。在圖中垂直于波速u方向取面積S，單位時(shí)間內(nèi)通過S面的能量，等于體積uS中的能量。則一個(gè)周期內(nèi)通過S的平均能流為第三節(jié)波的衍射介質(zhì)中波前上各點(diǎn)都可以當(dāng)作獨(dú)立的波源，發(fā)出球面子波（wavelet），在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就形成新的波前?；莞梗℉uygens）原理O球面波的傳播平面波的傳播一、惠更斯原理1.子波小孔可看作是新波源，發(fā)出的波叫子波。2.惠更斯原理

1690年荷蘭物理學(xué)家惠更斯

惠更斯原理：介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波源,這些子波的包絡(luò)就是新的波前。

圖4-11小孔成為新的波源二、波的衍射1.波的衍射波在遇到障礙物時(shí)，能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)。2.衍射條件障礙物或縫寬與波長(zhǎng)相近，才能觀察到明顯的衍射現(xiàn)象。聲波(波長(zhǎng)約在0.02～20米之間)衍射顯著無線電波中波波長(zhǎng)有幾百米衍射顯著超聲波，波長(zhǎng)只有幾毫米，衍射現(xiàn)象不顯著3.衍射現(xiàn)象是波動(dòng)的特征之一

無論機(jī)械波或者是電磁波都會(huì)產(chǎn)生衍射現(xiàn)象一、波的疊加原理(superpositionprinciple)幾列波可以保持各自的特點(diǎn)（頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）同時(shí)通過同一介質(zhì)，即波的傳播具有獨(dú)立性。在疊加區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位移是各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的位移的合成。疊加過后原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣。第四節(jié)波的疊加原理波的干涉二、波的干涉(interference)干涉現(xiàn)象:幾列波在相遇的疊加區(qū)域內(nèi)，某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另有一些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱。S1S2相干條件：1.波的振動(dòng)頻率相同，2.振動(dòng)方向相同，3.振動(dòng)相位相同或有恒定的相位差。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列波叫做相干波（coherentwave）設(shè)有兩相干波源S1、S2，振動(dòng)方程為：兩波在P點(diǎn)相遇，在P點(diǎn)的振動(dòng)分別為：S1S2r2r1P兩振動(dòng)在P點(diǎn)的合成后的方程為：其中：注意到A的大小與

j

有關(guān)！當(dāng)：合振幅最大：干涉加強(qiáng)！干涉加強(qiáng)條件對(duì)于初相相同的相干波源，上述條件可簡(jiǎn)化為：其中δ為波程差當(dāng)：合振幅最?。焊缮鏈p弱！干涉減弱條件干涉加強(qiáng)條件從波程差δ=r1-r2角度考慮波的干涉：干涉減弱條件當(dāng)兩個(gè)初相相同的相干波源發(fā)出的波疊加時(shí)：波程差等于波長(zhǎng)整數(shù)倍的各點(diǎn)，合振動(dòng)振幅最大，干涉加強(qiáng)；波程差等于半波長(zhǎng)奇數(shù)倍的各點(diǎn)，合振動(dòng)振幅最小，干涉減弱。波的干涉是波的重要特征，在光學(xué)、聲學(xué)、現(xiàn)代信息工程、近代物理等許多學(xué)科中有著重要的應(yīng)用。第五節(jié)聲波和超聲波聲波(soundwave)：頻率范圍20～20000Hz內(nèi)的聲振動(dòng)。超聲波(ultrasonic)：頻率高于此范圍。次聲波(infrasound)：頻率低于此范圍。聲波是機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中傳播的縱波。

一、聲強(qiáng)和聲強(qiáng)級(jí)聲強(qiáng)級(jí)公式：?jiǎn)挝挥梅重?decibel,dB)表示：聲強(qiáng)：聲波的能流密度。它是單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲波能量。即：。人耳是很靈敏的感覺器官，所能感受的聲音的強(qiáng)度范圍非常大，數(shù)量級(jí)相差1012倍。如：1000Hz聲音，10-12W