2024一輪收尾之統(tǒng)計(jì)模塊講義及練習(xí)

2024一輪收尾——統(tǒng)計(jì)模塊講義及練習(xí)（解析版）目錄1.1隨機(jī)抽樣1.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)3.兩種常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法1.1.2系統(tǒng)抽樣1.系統(tǒng)抽樣的定義2.抽樣概念的性質(zhì)1.1.3分層抽樣1.為何要進(jìn)行分層抽樣2.分層抽樣的步驟1.2用樣本估計(jì)總體1.2.1樣本與總體全面調(diào)查和抽樣調(diào)查1.2.2樣本頻率分布估計(jì)總體取值規(guī)律1.條形/扇形與折線統(tǒng)計(jì)圖2.頻率分布直方圖及特征3.密度曲線與頻率折線圖4.利用頻率直方圖估計(jì)統(tǒng)計(jì)量.1.2.3樣本特征值估計(jì)總體數(shù)據(jù)1.常用統(tǒng)計(jì)量及定義2.各統(tǒng)計(jì)量特征與對(duì)比3.第p百分位數(shù)4.標(biāo)準(zhǔn)差與方差1.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析1.3.1相關(guān)系數(shù)與一元線性回歸1.最小二乘法求回歸直線2.相關(guān)系數(shù)3.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點(diǎn)1.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)18.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n（）個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.（2）19.分層抽樣（1）定義：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.（2）應(yīng)用范圍：總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成的.（3）1.1隨機(jī)抽樣1.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)特點(diǎn)如下：有限性：總體個(gè)體數(shù)有限；逐個(gè)性：每次只抽取一個(gè)個(gè)體；不放回：抽取樣本不放回，樣本無(wú)重復(fù)個(gè)體；等概率：每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等．適用于總體中個(gè)數(shù)較少的情況．隨機(jī)抽樣不是隨意或隨便抽取，隨意或隨便抽取都會(huì)帶有主觀或客觀的影響因素．兩種常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種：隨機(jī)數(shù)法和抽簽法.抽簽法:先把總體中的個(gè)體編號(hào),然后把所有編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無(wú)差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號(hào)簽,并將這些小紙片放在一個(gè)⑤不透明的盒里,充分?jǐn)嚢?最后從盒中不放回地逐個(gè)抽取號(hào)簽,使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本,直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù).隨機(jī)數(shù)法:先把總體中的個(gè)體編號(hào),用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生已編號(hào)范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù),把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào),使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本,重復(fù)上述過程,直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù).產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法:(i)用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù);(ii)用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù).典例及真題：例．下列關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的敘述不正確的是()A．—定要逐個(gè)抽取B．它是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法C．總體中的個(gè)數(shù)必須是有限的D．先被抽取的個(gè)體被抽到的可能性較大【解析】答案D由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)可以判斷A，B，C都正確，并且在抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等，不分先后．知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：1．一個(gè)總體的60個(gè)個(gè)體編號(hào)為00,01，…，59，現(xiàn)需從中抽取一個(gè)容量為6的樣本，請(qǐng)從下面給出的隨機(jī)數(shù)表的第10列開始向右讀取，直到取足樣本，則抽取的第五個(gè)樣本的號(hào)碼是________．95339522001874720018387958693281768026928280842539【解析】讀取的數(shù)字兩個(gè)一組為01,87,47,20,01,83,87,95,86,93,28,17,68,02，…，由于抽取的號(hào)碼不能超過59，且不能重復(fù)，則抽取的樣本號(hào)碼是01,47,20,28,17,02，…，第五個(gè)是17.1.1.2系統(tǒng)抽樣知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：1.系統(tǒng)抽樣的定義系統(tǒng)抽樣：將總體均勻分成幾個(gè)部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取。在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體均分幾段，每段T個(gè)，第一段取a1，第二段取a1+T，第三段取a1+2T，……適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況2.抽樣概念的性質(zhì)抽樣過程是不放回抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等，總體容量N，樣本容量n，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率典例及真題：例．采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9。抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C。則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為()A.7 B.9 C.10 D.15【解析】解析由題意可知，抽取號(hào)碼的間隔為，所以抽取的號(hào)碼依次為9，39，69，…，939，落入?yún)^(qū)間的有459，489，…，729，這些數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為459，公差為30的等差數(shù)列，設(shè)有n項(xiàng)，顯然有，解得n=10，所以做問卷B的有10人，故選C.知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：1．高三某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知5號(hào)、33號(hào)、47號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)為()A．13 B．17C．19 D．21【解析】因?yàn)?7－33＝14，所以由系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本中的另一個(gè)學(xué)生的編號(hào)為5＋14＝19.1.1.3分層抽樣知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：1.為何要進(jìn)行分層抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”．2.分層抽樣的步驟分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進(jìn)行分層，實(shí)質(zhì)是等比例抽樣，抽樣比.典例及真題：例．防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，欲采用分層隨機(jī)抽樣的辦法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生()A．1030人 B．97人C．950人 D．970人【解析】由題意，知該中學(xué)共有女生2000×eq\f(200－103,200)＝970(人)．知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：1．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B．按性別分層抽樣QUOTEC．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣【解析】因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C．1.2用樣本估計(jì)總體1.2.1樣本與總體知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：1.全面調(diào)查和抽樣調(diào)查全面調(diào)查(普查)對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法,稱為全面調(diào)查,又稱普查。在一個(gè)調(diào)查中,我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體。組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體抽樣調(diào)查根據(jù)一定目的,從總體中①抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查,并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法,稱為抽樣調(diào)查，把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本.樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量1.2.1樣本頻率分布估計(jì)總體取值規(guī)律1.條形/扇形與折線統(tǒng)計(jì)圖條形統(tǒng)計(jì)圖可以清楚地呈現(xiàn)各種數(shù)量的多少。但是條形統(tǒng)計(jì)圖不容易看出各部分量與總量的關(guān)系；扇形統(tǒng)計(jì)圖可以清楚地呈現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)量同總量之間的關(guān)系，即百分比或分?jǐn)?shù)比；折線統(tǒng)計(jì)圖表示數(shù)量變化情況2.頻率分布直方圖及特征頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來(lái)表示，由此畫成的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻率分布直方圖．頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：a.求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；b.決定組距與組數(shù)；c.將數(shù)據(jù)分組；d.列頻率分布表，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)，每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計(jì)算各小組的頻率，列出頻率分布表；e.畫頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標(biāo)（小長(zhǎng)方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長(zhǎng)方形的面積，即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.各個(gè)小長(zhǎng)方形面積的總和等于1頻率分布直方圖的特征：①圖中各個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率的數(shù)值，所有小矩形面積和為1．②從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)．③從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉．3.密度曲線與頻率折線圖總體分布的密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則相應(yīng)的頻率分布折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)，就得到頻率分布折線圖，簡(jiǎn)稱頻率折線圖．4.利用頻率直方圖估計(jì)統(tǒng)計(jì)量利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字．（最高矩形的中點(diǎn)）估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等．估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”．典例及真題：例．200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值分別為()A．62,62.5B．65,62C．65,62.5D．62.5,62.5【解析】∵最高的矩形為第三個(gè)矩形，∴時(shí)速的眾數(shù)的估計(jì)值為65.前兩個(gè)矩形的面積為(0.01＋0.03)×10＝0.4.∵0.5－0.4＝0.1，eq\f(0.1,0.4)×10＝2.5，∴中位數(shù)的估計(jì)值為60＋2.5＝62.5.知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：1.某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中，為了解居民對(duì)“創(chuàng)建文明城”的滿意程度，組織居民給活動(dòng)打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分)，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．第三組的頻數(shù)為18人B．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為75分C．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)為75分D．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)為75分【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1，所以分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)的頻率為f＝1－10×(0．005＋0．015＋0．030＋0．025＋0．010)＝0．15，所以第三組[60,70)的頻數(shù)為120×0．15＝18(人)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)，從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，又根據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計(jì)值為45×(10×0．005)＋55×(10×0．015)＋65×(10×0．015)＋75×(10×0．03)＋85×(10×0．025)＋95×(10×0．01)＝73．5(分)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?0．05＋0．15＋0．15)×10＝0．35＜0．5，(0．05＋0．15＋0．15＋0．3)×10＞0．5，所以中位數(shù)位于[70,80)上，所以中位數(shù)的估計(jì)值為70＋eq\f(0.5－0.35,0.030)＝75，故D項(xiàng)正確．故選C項(xiàng)2.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論正確的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之間出生，80前指1979年及以前出生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)榛ヂ?lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占比為56%，其中從事技術(shù)和運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占的比分別為39.6%和17%，則“90后”從事技術(shù)和運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×(39.6%＋17%)≈31.7%.“80前”和“80后”中必然也有從事技術(shù)和運(yùn)營(yíng)崗位的人，則總的占比一定超過三成，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)榛ヂ?lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占比為56%，其中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占的比為39.6%，則“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×39.6%≈22.2%.“80前”和“80后”中必然也有從事技術(shù)崗位的人，則總的占比一定超過20%，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，“90后”從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比為56%×17%≈9.5%，大于“80前”的總?cè)藬?shù)所占比3%，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×39.6%≈22.2%，“80后”的總?cè)藬?shù)所占比為41%，條件中未給出“80后”從事技術(shù)崗位的占比，故不能判斷，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．3.下表是某電器銷售公司2018年度各類電器營(yíng)業(yè)收入占比和凈利潤(rùn)占比統(tǒng)計(jì)表：空調(diào)類冰箱類小家電類其它類營(yíng)業(yè)收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%凈利潤(rùn)占比95.80%﹣0.48%3.82%0.86%則下列判斷中正確的是（）A．該公司2018年度冰箱類電器銷售虧損B．該公司2018年度小家電類電器營(yíng)業(yè)收入和凈利潤(rùn)相同C．該公司2018年度凈利潤(rùn)主要由空調(diào)類電器銷售提供D．剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后，該公司2018年度空調(diào)類電器銷售凈利潤(rùn)占比將會(huì)降低【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，該公司2018年度冰箱類電器銷售凈利潤(rùn)所占比為﹣0.48，是虧損的，A正確；小家電類電器營(yíng)業(yè)收入所占比和凈利潤(rùn)所占比是相同的，但收入與凈利潤(rùn)不一定相同，B錯(cuò)誤；該公司2018年度凈利潤(rùn)空調(diào)類電器銷售所占比為95.80%，是主要利潤(rùn)來(lái)源，C正確；所以剔除冰箱類電器銷售數(shù)據(jù)后，該公司2018年度空調(diào)類電器銷售凈利潤(rùn)占比將會(huì)降低，D正確．故選：ACD．1.2.3樣本特征值估計(jì)總體數(shù)據(jù)知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：1.常用統(tǒng)計(jì)量及定義眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).2.各統(tǒng)計(jì)量特征與對(duì)比樣本眾數(shù)通常用來(lái)表示分類變量的中心值，比較容易計(jì)算，但是它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息．中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)排在中間的數(shù)據(jù)的信息．樣本平均數(shù)與每個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．這是中位數(shù)，眾數(shù)都不具有的性質(zhì)，也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)，中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息．如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．3.第p百分位數(shù)第p百分位數(shù)：一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算i=③n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).4.標(biāo)準(zhǔn)差與方差對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和方差概念的理解:標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:[0,+∞).標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.典例及真題：例．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，欲采用分層隨機(jī)抽樣的辦法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生()A．1030人 B．97人C．950人 D．970人【解析】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：1．演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分．7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，發(fā)生改變的數(shù)字特征是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差各自的含義即可判斷.中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選:BCD．2．已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Peq\f(1,4)ab若E(X)＝2，則D(X)的值是()A.eq\f(17,36)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(17,18)【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋a＋b＝1，,\f(1,4)＋2a＋3b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4)，))所以D(X)＝(1－2)2×eq\f(1,4)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).3.某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，試驗(yàn)結(jié)果如下試驗(yàn)序號(hào)12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，

（1）求，.

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）【解析】（1）由得12345678910968151119182012..（2）因?yàn)?，?故可以認(rèn)為甲工藝對(duì)伸縮率有顯著提高.1.3變量間的相關(guān)關(guān)系1.3.1相關(guān)系數(shù)與一元線性回歸知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：1.最小二乘法求回歸直線從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.回歸方程為，其中.通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.2.相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對(duì)值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.相關(guān)指數(shù)與相關(guān)系數(shù)在含有一個(gè)解釋變量的線性回歸模型中是等價(jià)的量，都是用來(lái)判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系的方法：散點(diǎn)圖，相關(guān)系數(shù)．3.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點(diǎn)共同點(diǎn)：二者都是指兩個(gè)變量間的關(guān)系.不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系.①回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù).②r的符號(hào)表明兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；|r|的大小表示線性相關(guān)性的強(qiáng)弱.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷.典例及真題：例．下列命題：①相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好．②對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大．③殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越高．④兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近0．其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為4．【解析】解：對(duì)于①，相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，此時(shí)模型的擬合效果越差，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越小，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越低，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，所以④錯(cuò)誤．綜上知，錯(cuò)誤命題的序號(hào)是①②③④，共4個(gè)．故答案為：4．知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：某公司為了了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入3.5萬(wàn)元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的．(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度；(2)估計(jì)該公司投入3.5萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值)；(3)該公司按照類似的研究方法，測(cè)得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：廣告投入x(單位：萬(wàn)元)12345銷售收益y(單位：萬(wàn)元)2327表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將(2)中的結(jié)果填入空白欄，并計(jì)算y關(guān)于x的線性回歸方程．【解析】(1)設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為m，由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形面積總和為1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)·m＝0.5m＝1，故m＝2.(2)由(1)知，各分組依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，其中點(diǎn)值分別為1,3,5,7,9,11，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故可估計(jì)平均值為1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5.(3)空白欄中填5.由題意可知，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋2＋5＋7,5)＝3.8，eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55.根據(jù)公式可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(69－5×3×3.8,55－5×32)＝eq\f(12,10)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝3.8－1.2×3＝0.2，即線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2.1.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)引入與思路分析：獨(dú)立性檢驗(yàn)y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表稱為2×2列聯(lián)表為K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量).典例及真題：例.通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計(jì)男女愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110已知，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的為（）A．愛好跳繩與性別有關(guān)B．愛好跳繩與性別有關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001C．愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)D．愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001【解析】，，，，，，故，愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001故選：D知識(shí)點(diǎn)練習(xí)：1．某公司為了為了解中學(xué)生課余觀看某檔熱門綜藝節(jié)目是否與性別有關(guān)，某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了n人進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查結(jié)果表明：女生中喜歡觀看該節(jié)目的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的eq\f(3,4)，男生中喜歡看該節(jié)目的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的eq\f(1,3).隨后，該小組采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這n份問卷中繼續(xù)抽取了5份進(jìn)行重點(diǎn)分析，知道其中喜歡看該節(jié)目的有3人，(1)現(xiàn)從重點(diǎn)分析的5人中隨機(jī)抽取了2人進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查，求這兩人都喜歡看該節(jié)目的概率；(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為“