6.3.1平面向量基本定理3題型分類（原卷版）

6.3.1平面向量基本定理3題型分類一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.二、基底的性質(zhì)(1)不共線性平面內(nèi)兩個不共線的向量才可以作為一組基底.由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底．(2)不唯一性對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個平面的一組基底{e1，e2}線性表示．(3)如果對于一組基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，則可以得到．（一）平面向量的基底考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來.題型1：平面向量基底的判斷11．（2023下·上海浦東新·高一?？计谀┤粝蛄颗c是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與12．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省震澤中學(xué)期中）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和13．（2023·高一課時練習(xí)）如果是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與14．（2023下·江西·高一校聯(lián)考期中）如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，則下列說法正確的是（

）A．，是該平面所有向量的一組基底，B．，是該平面所有向量的一組基底，C．，不是該平面所有向量的一組基底，D．，不是該平面所有向量的一組基底，（二）用基底表示向量1．用基向量表示向量的三個依據(jù)(1)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；(2)向量減法的幾何意義；(3)數(shù)乘向量的幾何意義．2．關(guān)于基底的一個結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一個基底，當λ1e1＋λ2e2＝0時，恒有λ1＝λ2＝0.題型2：用基底表示向量21．（2023上·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃?，是邊的中點，與交于點．若，，則（

）A． B． C． D．22．（2023下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，、分別為、的中點，設(shè)，，則向量=（

）A． B．C． D．23．（2023下·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．24．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，已知分別是矩形的邊，的中點，與交于點G，若，，用基底，表示.（三）平面向量基本定理的應(yīng)用利用平面向量基本定理解題的策略：（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算．（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式．題型3：平面向量基本定理的應(yīng)用31．（重慶市銅梁區(qū)20222023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，點線段上任意一點，點滿足，若存在實數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．32．（2023下·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）如圖，分別是邊上的中線，與交于點F，設(shè)，，，則等于（

）A． B． C． D．33．（2023下·上海嘉定·高一?？计谀┤鐖D，三角形ABC中，，D是線段BC上一點，且，F(xiàn)為線段AB的中點，AD交CF于點M，若，則.34．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）銳角三角形ABC中，D為邊BC上一動點（不含端點），點O滿足，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．35．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，點E是BC的中點，，則（

）A． B． C．2 D．636．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．37．（2023上·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校cP是所在平面上一點，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．一、單選題1．（2023下·湖南·高一湖南師大附中校考期中）如圖，在中，D為AB的中點，E為CD的中點，設(shè)，，以向量，為基底，則向量（

）A． B． C． D．2．（2023高一練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023下·四川南充·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若，則λ＋μ等于（

）A．1 B．－1 C． D．4．（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，則（

）A． B． C． D．5．（2023下·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）在四邊形中，，若，且，則（

）A． B．3 C． D．26．（2023上·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點在邊上，.記，則（

）A． B． C． D．7．（2023下·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）已知向量是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中也能作為平面向量的一組基底的是（

）A． B． C． D．8．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，則（

）A． B．C． D．9．（2023下·重慶巴南·高一重慶市實驗中學(xué)?？计谀┰谥校?，，若點滿足，以為基底，則（

）A． B． C． D．10．（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與11．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，分別是的中點，，，則（

）A． B． C． D．12．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若，則等于（

）A．1 B． C． D．13．（江蘇省徐州市邳州市20222023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖所示，已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，=，=，則（

）A．+ B．+ C． D．+14．（2023·河南·平頂山市第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．15．（2023下·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知是平面內(nèi)兩個不共線的向量，下列向量中能作為平面的一個基底的是（

）A． B．C． D．16．（2023下·河南商丘·高一校聯(lián)考期末）已知D為△ABC所在平面內(nèi)一點，AD交BC于點E，且，則（

）A． B． C． D．17．（2023下·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，是平面內(nèi)的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是（

）．A．和 B．和C．和 D．和18．（2023下·高一課時練習(xí)）已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（

）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③19．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如果表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（

）A． B．C． D．20．（2023下·重慶·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在梯形中，且為上靠近點處的三等分點，則向量（

）A． B．C． D．21．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則等于（

）A． B． C． D．22．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，23．（2023上·吉林·高三吉化第一高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形圖中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．和能構(gòu)成一組基底24．（2023下·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）如圖，O是△ABC的重心，D是邊BC上一點，且，，則（

）A． B． C． D．25．（2023下·山東·高一階段練習(xí)）已知G是的重心，點D滿足，若，則為（

）A． B． C． D．126．（2023下·山西運城·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，分別是的中點，交于點，則（

）A． B．C． D．27．（2023上·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．28．（2023下·安徽宣城·高一統(tǒng)考期末）中，點為上的點，且，若，則（

）A． B． C． D．29．（2023·重慶江北·?？家荒＃┤鐖D，在中，點D是邊AB上一點且，E是邊BC的中點，直線AE和直線CD交于點F，若BF是的平分線，則（

）A．4 B．3 C．2 D．30．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點，記，則（

）A． B．C． D．31．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，，為線段的中點，為線段上靠近點的三等分點，兩條直線與相交于點，則=（

）A． B． C． D．32．（2023下·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？计谥校┰诮o出的下列命題中，錯誤的是（

）A．設(shè)是同一平面上的四個點，若，則點必共線B．若向量是平面上的兩個向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C．已知平面向量滿足，則為等腰三角形D．已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形33．（2023下·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）在中，為線段的中點，為線段上的一點且，若，，則的值為（

）A．12 B．6 C． D．34．（2023下·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）梯形ABCD中，，，，，，點E在線段BD上，點F在線段AC上，且，，則（

）A． B． C． D．二、多選題35．（2023下·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使36．（2023下·廣東湛江·高一校考階段練習(xí)）已知向量，是兩個不共線的向量，且向量與共線，則實數(shù)的可能取值為（

）A． B． C．4 D．337．（2023下·吉林長春·高一長春吉大附中實驗學(xué)校?？计谀┰O(shè)是已知的平面向量，向量在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，下列說法正確的是（

）A．給定向量，總存在向量，使；B．給定向量和，總存在實數(shù)和，使；C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實數(shù)，使；D．若，存在單位向量和正實數(shù)，使，則.三、填空題38．（2023上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）在平行四邊形中，，，若，，三點共線，則實數(shù).39．（2023·高一課時練習(xí)）已知是不共線的向量，若，則用與表示為.40．（2023下·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）已知下列四個命題：①若，，則；②設(shè)是已知的平面向量，則給定向量和，總存在實數(shù)和，使；③第一象限角小于第二象限角；④函數(shù)的最小正周期為.正確的有.41．（2023·全國·高一專題練習(xí)）平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使＝.我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.42．（2023下·吉林長春·高一統(tǒng)考期末）如圖，在長方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點，若，則43．（2023上·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在三角形ABC中，已知D，E分別為CA，CB上的點，且，，AE與BD交于O點，若，則mn的值為.四、解答題44．（2023高一練習(xí)）20232023學(xué)年高一數(shù)學(xué)系列（人教A版2023必修第二冊））設(shè)是兩個不共線的非零向量，且．（1）證明：可以作為一個基底；（2）以為基底，求向量的分解式．45．（2023