2022年北京各區(qū)(朝陽海淀豐臺東西城)數(shù)學高考二模試題匯編含答案 集合不等式、平面向量、數(shù)列

目錄

集合與不等式...................................................................13

1集合...........................................................................13

2不等式.........................................................................14

平面向量.......................................................................14

1基本概念及線性運算........................................................14

2平行與垂直.................................................................15

3平面向量數(shù)量積及應用......................................................15

敦列................................................................................16

1等差數(shù)列......................................................................16

2等出數(shù)列......................................................................17

3數(shù)列綜合應用18

集合不等式、平面向量、數(shù)列分類匯編

第一幸集合與不等式

1集合

一、選擇題

1.（202205海淀二模01）已知集合A={ψ<0或T>1},則CRA=

A.{x∣0<x<l}B.{x∣O≤x<l}C.{x∣0<x≤l}D.{x∣0≤x≤l}

2.（202205西城二模01）已知集合A={x∣-4<x<2},8={x,≤9},則AUB=

A.（-4,3]B.[-3,2）C.（-4,2）D.[-3,3]

3.（202205東城二模01）已知集合U=R,A={x∣√-2x-3<θ},則G,,A=

A.{x∣-l<x<3}B.{x∣-l<x≤3}

C.∣x∣x≤-IgJu≥3∣D.HXc-IgiU>3}

4.(202205朝陽二模01)設集合A={1,2,3,4},B={x∣x>2},則AlB=

A.{l,2}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

5.(202205昌平二模01)已知集合A={x∣0<x<2},B={x∣x≥l},則AUB=

A.∣Λ∣X>0}B.{X∣1≤X<2}C.{X∣X≥1}D.{X∣0<X<2}

6.(202205房山二模01汜知集合4=何-1<》<3},集合8=卜卜區(qū)2},則

A.ΛIB={x∣-2≤x<3}B.AUB={x∣-2≤x<3}

C.AIB=[x?-?<x<2?D.AUB={X∣JC<3}

2不等灰

1.(202205海淀二模04)已知x,yeR,且x+y>O,則

A」+^>0B.r,+?3>0C.lg(x+y)>OD.sin(x+y)>O

Xy

二、填空題

1.(202205海淀二模12)不等式(l)x>1的解集為.

平面向量

1義本概念及線性運算

1.(202205海淀二模07)已知向量α=(1,0),J=(T,我.若<c,α>=<c,>則C可能是

A.2a-bB.α+?C.2a+bD.?/?ɑ÷b

2平行與垂直

1.（202205豐臺二模11）已知向量”=（-2,3）,b=（6,m）.若q_L6,則機=

.3平面向量敷量積及應用

一、選擇題

1.（202205朝陽二模09）已知M為AABC所在平面內的一點，IMBI=IMCI=1,且

AB=MB+MC,MB-MC=-L則C4?CB=

2

A.0B.1C.√3D.3

2.（202205房山二模08）如圖，在同一平面內沿平行四邊形ABa＞兩邊A8,A。向外分別作

■rr

正方形ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=IZBAD=-貝IJAejN=

f4f

C.2√2

D.-2√2

FE

3.（202205西城二模06）已知e是單位向量，向量。滿足,≤α?e≤l,則Ial的取值范圍是

2

A.（0,+x）B.（0,l]C.∣,+oo]D.?,l

二、填空題

1.（202205東城二模12）已知向量°,6，C滿足"+6+c=0,且Ial=1,〃乃=0，則

a?c=?

2.（202205昌平二模13）己知。是446C的邊AB的中點，∣A3∣=3,?AC?=2f

Tr

ZCAB=-,則A5?AC=；DBDC=.

3

數(shù)列

1等差數(shù)列

一、選擇題

1.（202105西城二模03）已知I｛%｝為等差數(shù)列，首項α∣=25,公差d=3,若

an+%+2=28,則〃=

A.1B.2C.3D.4

2.（202105豐臺二模08）設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,.若昆<$3<0,則下列結論中正

確的是

A.a3<0B.α2-t7l<0

C.a2+αi<0D.α4>yJaia5

3.（202105房山二模09）已知數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，且各項均為正整數(shù)，如果

4=3,=45,那么"+d的最小值為

A.13B.14C.17D.18

4.（202105昌平二模04）記S,為等差數(shù)列｛αz,｝的前"項和，若S-s，a2-al=2,則q=

A.4B.7C.8D.9二、填空題

1.（202105朝陽二模14）“楊輝三角”是數(shù)學史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三

角”中，去掉所有的數(shù)字1,余下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列｛《,｝為

2,3,3,4,6,4,5,1（）,…，則數(shù)列｛《｝的前10項和為；若α,,,=10,mwN",貝∣J，”的

最大值為.

11

2等出數(shù)列121

331

一、選擇題14641

110105

1.(202105房山二模16152015605)已知數(shù)列｛4,,｝滿足

(neN*),S,,為其前

〃項和.若4=2,貝∣JSs=

A.20B.30C.31D.62

2.(202105東城二模09)已知等差數(shù)列｛叫與等比數(shù)列也｝的首項均為-3,且4=1，

?=8?4,則數(shù)列｛α∕,,｝

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項3.(202105朝陽二模09)IS02016是

國際標準化組織所定義的紙張尺寸國際標準，該標準定義了A,B系列的紙張尺寸.設型

號為AO,Al,A2,A3,A4,A5,A6的紙張的面積分別是小,4,%,%,4，%，6，它們組

成一個公比為』的等比數(shù)列，設型號為Bl,B2,B3,B4,B5,B6的紙張的面積分別是

2

bi,b2,b3,b4,b5,b6,已知始=%4(i=1,2,3,4,5,6),則子的值為

h5

1?

A.-B.-C.y[2D.2

22

二、解答題

L(202105豐臺二模17)

已知數(shù)列｛七｝的前〃項和為S“，在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作

為已知.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(II)設數(shù)列，L的前〃項和為7；.若對任意“eN",不等式7；＜，〃恒成立，求，"的最小

值.

條件①:4=1且an-2q_I=O(〃≥2)；

條件②：Sn=2"-1,

條件③：2?-S,,=l.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

3敦列綜合應用

一、填空題

1.(202105西城二模14)已知數(shù)列｛%｝是首項為16,公比為;的等比數(shù)列，｛々J是公差

為2的等差數(shù)列.若集合4=｛neN*∣%〉〃｝中恰有3個元素，符合題意的々的一個

取值為.

2.(202105海淀二模15)在現(xiàn)實世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實數(shù)數(shù)列

｛%｝，｛〃,｝分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個節(jié)點處的信息強度，數(shù)列模型：

%=2a,,+b,,?+1=an+2b,l

(〃=1,2,…)，描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程.若兩組信息的初始信息

強度滿足4>乙，則在該模型中，關于兩組信息，給出如下結論：

①T〃eN*,an>bn；

②V"∈N*,an+l>an,bn+l>bn,?

③弘∈N*,使得當時，總有IKl(TK)；

a

(4)3Λ∈N?使得當時，總有∣%-2∣<1()T°.

其中，所有正確結論的序號是.

三、解答題

1.(202105西城二模21)

已知數(shù)列4:《,見「?,陶,，其中，〃是給定的正整數(shù)，且相≥2.

令.=min,i=?,"-,m,X(A)=max{6∣也,…也,},

q=max{%τ,<?}，i=l??,m,F(A)=max{cl,c2,-??,cm}.

這里，max{}表示括號中各數(shù)的最大值，min{}表示括號中各數(shù)的最小值.

(I)若數(shù)列A:2,(),2,1,-4,2,求X(A),F(A)的值;

(ID若數(shù)列A是首項為1,公比為4的等比數(shù)列，且X(A)=F(A),求q的值；

(III)若數(shù)列A是公差d=l的等差數(shù)列，數(shù)列B是數(shù)列A中所有項的一個排列，求

X(B)-Y(B)的所有可能值(用“表示).

2.(202105海淀二模21)

己知有限數(shù)列{對}共M項(M≥4),其任意連續(xù)三項均為某等腰三角形的三邊長，且

這些等腰三角形兩兩均不全等.將數(shù)列{%}的各項和記為S.

(I)若qw{l,2}(〃=1,2,…直接寫出M,S的值；

(II)若a,w{1,2,3}5=1,2,…,M),求M的最大值；

(In)若4∈N*5=1,2,???,M),M=I6,求S的最小值.

3.(202105東城二模21)

對于數(shù)列A:%…,可("≥3),定義變換T,T將數(shù)列A變換成數(shù)列

T(A):%,生,…4,,q,記Tl(A)=7(A),F,(A)=T(F'^1(A)),m≥2.

對于數(shù)列…,α,與B西也,…也,定義A?B=qb∣+a2b2+???+an?n.

若數(shù)列4：4，叼…(心3)滿足卬€{-1,1}?=1,2「-,〃)，則稱數(shù)列4為見數(shù)列.

(I)若U,T,1,1,寫出T(A),并求A72(A);

(H)對于任意給定的正整數(shù)"("≥3),是否存在%數(shù)列A,使得A?T(A)=〃-3?若存

在，寫出一個數(shù)列A,若不存在，說明理由；

(In)若見數(shù)列A滿足Tk(A)TM(A)=〃一4(左=1,2,…,〃一2),求數(shù)歹IJA的個數(shù).

4.(202105昌平二模21)

已知數(shù)列｛七｝,給出兩個性質：

①對于任意的ieN",存在自eR,當j>i,∕eN*時，都有為-q≥K(∕-i)成立；

②對于任意的ieN,i≥2,存在仁∈R,當j<i,JwN*時，者B有力-q≥K(j-i)

成立.

(I)己知數(shù)列滿足性質①，且匕=2(iwN*),4=1,a4=7,試寫出生,％的值；

(II)已知數(shù)列出｝的通項公式為b,,=3χ2"τ,證明：數(shù)列｛〃,｝滿足性質①；

(In)若數(shù)列｛%｝滿足性質①②，且當ieN,i≥2時，同時滿足性質①②的勺存在且唯

一.證明：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

集合與不等為

1.1集合

一、選擇題

1.(202205海淀二模01)已知集合A={x∣x<O或r>l},則CRA=

A.{x∣()<x<l}B.∣x∣0≤x<l}C.{X∣()<X≤1}D.{X∣0≤X≤1}

【答案】D

2.(202205西城二模01)已知集合A={x∣-4<x<2},8={ψ2≤9卜則AUB=

A.(-4,3]B,[-3,2)C.(-4,2)D.[-3,3]

【答案】A

3.(202205東城二模01)已知集合U=R,A={x∣x2-2x-3<θ),貝IJcUA=

A.{x∣-l<x<3}B.{x∣-l<x43}

C.∣x∣x≤≥3∣D.^x∣x<-IsJU>3∣

【答案】C

4.(202205朝陽二模01)設集合A={1,2,3,4},8={x∣x>2},則AlB=

A.{l,2}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4)

【答案】B

5.(202205昌平二模01)已知集合A={x∣0<x<2},B={x∣x≥l},則AUB=

A.{x∣x>()}B.{x∣l≤x<2}C.{x∣x≥l}D.{x∣()<x<2}

【答案】A

6.(202205房山二模01)己知集合A={止l<x<3},集合3=卜卜區(qū)2},則

A.AIB={x∣-2≤x<3}B.AUB={x∣-2≤x<3}C.

AIβ={x∣-l<x<2}D.AUB={x∣x<3}

【答案】B

1.2不等式

1.(202205海淀二模04)已知x,yeR,且x+y>0,則

AΛ+-J->OB.X3+√>0C.lg(x+y)>0D.sin(x+y)>0

Xy

【答案】B

二、填空題

1.(202205海淀二模12)不等式(?)?>1的解集為.

【答案】(f°)

平面向量

6.1家本概念及線性運算

一、選擇題

1.(202205海淀二模07)已知向量α=(l,0),fe=(-l,√3).^<c,a>=<c,b>,則C可能是

A.2α-bB.α+8C.2a+bD.√f3α+b

【答案】C

【解析】方法一：設C=(X,y),因為vc,α>=vc,>>,所以cos<c,O>=cosvcb>,即

由"=(l,0),?=(-hV3),所以c?a=x,c?0=-x+Gy,

ICHal?c???b?

∣α∣=l.?b?=2,由J；；：:'整理得V=百X-下面逐個驗證答案：

A選項C=2。一)=(3,-G)不符合；B選項c=α+6=((),6)不符合；

C選項c=2α+?=(l,√3)符合；

c=?/?ɑ+b=(?/?-1,?/3)不符合.

故選C.

方法二：因為<c,α>=<c.Z>>,所以C所在直線為Ca,力>的角平分線，因為∣b∣=2∣α∣=2,

所以可延長。為原來的2倍并將2a和〃平移至同起點，此時C所在直線垂直于以2α,

力為鄰邊的三角形的第三邊，即c?(2α-b)=0.下面逐個驗證答案：

A選項(2a-A)?(2α-∕>)=12≠0,不符合；

B選項(α+Z>)?(2a-6)=-3wO,不符合；

C選項(2α+0)?(2α-Z>)=0符合；

D?t^(√3α+?)?(2α-?)=3√3-6≠O,不符合.

故選C.

6.2平行與垂直

二、填空題

1.(202205豐臺二模11)已知向量@=(-2,3),b=(6,m).若n_Lb,則m=.

【答案】4

6.3平面向量數(shù)量積及應用

一、選擇題

1.(202205朝陽二模09)已知M為aABC所在平面內的一點，IMBl=IMCl=1,且

AB=MB+MC,MBMC=--,則C4?CB=

2

A.0B.lC.√3D.3【答案】D

2.(202205房山二模08)如圖，在同一平面內沿平行四邊形ABeO兩邊A8,AO向外分別作

Tr

正方形ARE產，ADMN,其中AB=2,AD=I,NBAD=-,則ACbN二

4

A.0

BTN(

C.2√2

D.-2√2

【答案】A

【解答】解：由題意知，AC=AB+AD

FN=FA+AN,

所以AC?EV=(AB+AD)(FA+AN)

=ABFA^ABAN+AD?FA^-AD?AN

__?__3TT_Ti.

=2×2×cos—+2×1×cos—+11×2×cos—+1×Ixcos-=O

2442

故選：A.

3.(202205西城二模06)已知e是單位向量，向量α滿足1≤α?e≤l,貝IJlal的取值范圍是

2

A.(0,-κo)B.(0,l］C.g，+∞∣D.1,1

【答案】C

【解析】

方法一：

e是單位向量，所以α?e=?α∣?∣elcosvα,e>=?αlcosvα,e>,因為向量夾角范圍［0,兀］,

其余弦值范圍為［-1,1］，又因為;≤α?e≤l,cos<α,e>應為正數(shù)，

因此CoS<°,e>∈(0,l］；

因為』≤|ɑ|?cos<ɑ,e>≤l,所以-----------≤∣4∣≤---------------?

22cos<α,e>cos<a,e>

因為COSVde>∈(0,l］,所以---------≥l,

cos<α,e>

因此∣∈；,+oo］.故選C.

方法二：

由題，可設e=(l,0),a=(x,y)(?,y∈R),則〃?e=x.由g≤α?e≤l,所以;≤x≤l?

22

Ia∣=y∣x+y,因為g≤x≤l且y∈R,一方面，當X=Ly=O時，Ial有最小值,；另一

方面因為y2≥0,所以Ial無最大值，因此Iale∣,+∞j.

故選C.

二、填空題

1.(202205東城二模12)已知向量0,b，C滿足α+力+c=0,且Ial=I,α.b=0,貝IJ

a?c=?

【答案】-1

【解析】因為“+b+c=o,所以c=-(α+"

所以“?c=α?[一(α+Z2)]=-α2-a?b=-｝?

故答案為：-1.

2.(202205昌平二模13)己知。是的邊AB的中點，∣AB∣=3,∣AC∣=2,

ZCAB=-,貝∣JAS?AC=；DBDC=.

3

【解答】解：由I48∣=3JAo2,NCAB=工，則ABAC=IABlIAClCoSNc4δ=3x2χ'=3;

32

DBDC=(-AB)(AC--AB)=-AB-AC--AB2=---×9=~~,

2224244

故答案為：3；.

4

教到

8.1等差數(shù)列

一、選擇題L(202105西城二模03)已知｛%｝為等差數(shù)列，首項q=2,公差d=3,

若氏+。“+2=28,則〃=

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

2.（202105豐臺二模08）設等差數(shù)列｛α,,｝的前〃項和為S,,.若S?<S3<°，則下列結論中正

確的是

A.a3<0B.a2-al<0

C.4+%V0D.a4>y∣ai-a5

【答案】D

3.（202105房山二模09）已知數(shù)列｛為｝是公差為”的等差數(shù)列，且各項均為正整數(shù)，如果

α∣=3,an=45?那么n+d的最小值為

A.13B.14C.17D.18

【答案】B

4.（202105昌平二模04）記為等差數(shù)列｛6｝的前”項和，若S3=G，a2-aι=2>貝∣J4=

A.4B.7C.8D.9

【答案】B

二、填空題

1.（202105朝陽二模114）“楊輝三角”是數(shù)

學史上的一個偉大成11就.在如圖所示的

121

“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1,余

1331

下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列｛4｝

14641

為151010512,3,3,4,6,4,5,10,…，

1615201561

則數(shù)列｛4｝的前10項:和為_________；若

am=10,m∈N*，則加的最大值為.

【答案】52,45

8.2等出數(shù)列

一、選擇題

1.(202105房山二模05)已知數(shù)列｛α,,｝滿足qM=2α,,5∈N*),S.為其前"項和.若

a2=2,則邑=

A.20B.30C.31D.62

【答案】C

2.(202105東城二模09)已知等差數(shù)列｛4｝與等比數(shù)列｛2｝的首項均為-3,且％=1,

“4=8打，則數(shù)列｛《也J

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】A

3.(202105朝陽二模09)ISO2016是國際標準化組織所定義的紙張尺寸國際標準，該標準定

義了A,B系列的紙張尺寸.設型號為AO,Al,A2,A3,A4,A5,A6的紙張的面積分

別是小嗎,4,6%，%，%，它們組成一個公比為g的等比數(shù)列，設型號為Bl,B2,B3,

B4,B5,B6的紙張的面積分別是仇力,自也也也，已知42=4τ4(i=l,2,3,4,5,6),則粵

4

的值為

A」B.-C.√2D.2【答案】D

22

二、解答題

1.(202105豐臺二模17)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作

為己知.

(I)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(Il)設數(shù)列的前〃項和為I,.若對任意不等式7；＜〃?恒成立，求小的最小

值.

條件①：q=1且4-=0(n≥2)；

條件②：Sn=T~\；

條件③：2α,,-S,,=l.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(I)選擇條件①：

由題意得見=2”,ι(〃22),

且4=1*0,所以為≠θ.

所以2=2,

an-｝

即數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，首項4=1,公比4=2.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式是%=44"τ=2小............5分

選擇條件②：

當〃=1時，由題意得α∣=s∣=2-1=1；

當〃22時，?=ξ,-ξ,.∣

=(2n-l)-(2π^l-l)=2"^'

檢驗：當〃=1時，4=2-=1依然成立.

所以數(shù)列｛為｝的通項公式是q=2"，

選擇條件③：

當〃=1時，由題意得2α∣-S∣=1,即4=1；

2α,,-S,,=1,

當〃N2時，由可得2%-2%T-⑸—S,τ)=O,

Ha1.-，I=1，

即α,,=2%.

又q=1x0,所以4工0,

所以2=2,

an-?

即數(shù)列｛4“｝是等比數(shù)列，首項4=1,公比＜7=2.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式是4,=αq"τ=2"τ.

(H)由(I)可得J-=Jτ=d)i.

a“2H-'2

所以],=-^+'+-^+L+—

a?a2。3a∣t

W+5++5

2

=2∏-(∣Γ].

當"wN"時，有o<g)"wg,

所以一'w-d)”<o,

22

即J.wi—d)"<l，于是lW2(l-(1)")<2.

222

因為對任意〃GN',不等式7；,＜加恒成立，

所以加22,即〃?的最小值為2............14分

8.3數(shù)列蹤合應用

一、填空題

1.（202105西城二模14）已知數(shù)列｛α,,｝是首項為16,公比為;的等比數(shù)列，｛2｝是公差

為2的等差數(shù)列.若集合A=｛〃eN"|ɑ“〉a｝中恰有3個元素，符合題意的伉的一個

取值為.

【答案】一1（答案并不唯一，只要々G[T0））?

2.（202105海淀二模15）在現(xiàn)實世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實數(shù)數(shù)列

｛%｝，｛〃,｝分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個節(jié)點處的信息強度，數(shù)列模型：

2

?÷l=?+?>?÷∣=aπ+2bn

(n=l,2,-??),描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程.若兩組信息的初始信息

強度滿足則在該模型中，關于兩組信息，給出如下結論：

ΦVn∈N*?an>bn；

②V〃eN*,aπ+t>a?,?,,+l>bιι；

③兼eN*,使得當時，總有IM-Il<1(Γ∣°;

④又wN*,使得當〃>無時，總有∣%-2∣<1()T°.

其中，所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

三、解答題

1.(202105西城二模21)

已知數(shù)列A:q,4,…,<?M，其中，”是給定的正整數(shù)，且加≥2.

令-=min{%._”%?}，i=?,??-,m,X(A)=max{4也,…也},

c.=max{?.l,a2l.},i=?,?,m,K(A)=max{cl,c2,???,cm}.

這里，max{}表示括號中各數(shù)的最大值，min{}表示括號中各數(shù)的最小值.

(I)若數(shù)列A:2,0,2,l,Y,2,求X(A),F(A)的值；

(II)若數(shù)列A是首項為1,公比為q的等比數(shù)列，且X(A)=Y(A),求q的值；

(III)若數(shù)列A是公差”=1的等差數(shù)列，數(shù)列8是數(shù)列A中所有項的一個排列，求

X(B)-Y(B)的所有可能值(用機表示).

【答案】(I)X(A)=I,Y(A)=2.------------------4分

(II)若數(shù)列A中任意兩項互不相等，則

當i=l,,加時,由e=min{%τ,%},Cj=max{%τ,%}可知,bi≠ci,

當i,jw{l,2,,m}且-j時,{%τ,%}Q{%τ,%}=0'

又bi=min{?.l,a2l}∈{a2,,l,a2i},cj=max{a2j_t,a2j}∈{a2j_t,a2j},

所以％#J.

綜上,{4也，,bm}[ct,c2,,cnι}=0,

所以X(A)≠y(A),不合題意.

所以存在e{1,2,,2m},使4=勺，即∕τ=∕τ.

因為q≠0,所以夕T=1.

所以4=±1.

若“=一1,則X(A)=-1,Y(A)=1,不舍題意，舍.

若q=l,則數(shù)列A為：I,I,,I,X(A)=Y(A)=1,符合題意.綜上，q=l.

---------10分

(III)X(B)-V(B)的所有可能值為一1,1,2,,2m-3.

證明如下：因為d=l>0,所以A遞增且A中各項(即3中各項)兩兩不等，

所以同(H)可知X(B)KY(B).

由定義,存在i,j∈{l,2,,2m),i≠j,X(B)=ai,Y(B)=aj,

X(B)-Y(B)=a.-aj=i-j,

因為X(B)比{α,,}中機一1個項大,故X(3)'α,,,,同理，Y(B)≤am+l,

所以X(B)-Mb)"。,“-4的=-1.

因為X(B)至少比{4}中的一項小,故X(B)Wa2rnτ,同理，Y(B)^a2.

所以X(B)-Y(B)W%z-g=2相-3.

綜上，X(S)-F(B)∈{-l,l,2,,2m-3).

令B?.X?,X[,下面證明TL2,,2機-3各值均可取得.

①??τ=4?,??=α,"i=l,2,,m,由{?！皚是遞增數(shù)列,

%=min{j?τ,x2i]=xmn{ai,am^i}=ai,

ci=max{?.l,x,,}=max{ai,am+i}=am+i,i=?,2,,m.

此時，X(8)=max{4也，,?m}=max{αl,o2,.am}=am,

y(β)=min{cl,c2,,?,1}=min{<z,π+1,am+2,,a2m}=am+l,

此時X(B)-F(B)=am-0m+1=-l.

②當k=1,2,?,∕n-l時,令Λ?jt.l=ak,x2k=am,x2m,i=am+lc,x2m=a2m,

則瓦=ak,ck=am,bm=am+k,cm=a2nι.

當i∈{1,2,,m},i≠k,m時,令x2,..l=ai,x2i=am+i,

則bi=ai≤αm.l.ci=0,,,+,.≥αra+l.所以

X(B)=max{b∣也，,?,π}=max{α,,α2,,am^,am+t]=amtk,

y(B)=min{cl,c2,,cm}=min{am+1√,am^i,am,am+k+l,,a2m}=am,

此時X(B)-y(B)=q“+?-4,=k,Z=l,2,,m-?.

③給定/w{l,2,,m-2},

令x,i.∣=ai,X2i=al+i,i=1,2,,t,且x2,..l=α2,.l,x2,?=?,z=r+l,,m,

則bi=min{x2,τ，W,?}=q,i=LJ，

bi=min{?,l,x2J=o,,.∣,Z=r+l,,∣n,

又{0,,}是遞增數(shù)列，X(A)=max{b∣,62,也}=。2,,1>

ci=max{,x2,}=α,+,,Z=?,,t,

m

ci=max{x2"∣,X2j=%,,i=f+l,>，

又{4,,}是遞增數(shù)歹U,y(A)=min{C1,C2,，cm}=al+l,

此時X(B)-y(B)=?πτ-*=2m-2-r,fw{l,2,.,m-2}.

所以2m一2—f=m,∕n+l,,2m-3,

綜上，X(B)-Y(B)=k,Jt=-1,1,2,,2m一3各值均可取得.-----15分

2.(202105海淀二模21)

已知有限數(shù)列｛%｝共M項(M≥4),其任意連續(xù)三項均為某等腰三角形的三邊長，且

這些等腰三角形兩兩均不全等將數(shù)列{七}的各項和記為S.

(I)若q∈{l,2}(n=l,2,???,Λ∕),直接寫出M,S的值；

(ID若％∈{1,2,3}5=1,2,求M的最大值；

(In)若∈N'(zι=l,2,…,M),M=I6,求S的最小值.

【答案】(I)M=4,S=J.

(∏)M的最大值為8.

①構造數(shù)列：1,2,2,2,3,3,3,1,此時M=8.

②當存在連續(xù)三項為1,1,1時，

本題中有兩條邊為1，1的等腰三角形僅有1，1，1，

與M24矛盾，舍.

③當不存在連續(xù)三項為1,1,1時，

連續(xù)三項(不考慮這三項的順序)共以下6種可能：

1,2,2；1,3,3；2,2,2；2,2,3；2,3,3；3,3,3.

所以M≤6+2=8.

④由①②③，M的最大值為8.

(HI)S的最小值為50.

①構造數(shù)列：1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,3,3,1,

此時S=50.

②設T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項的和的和，則

3S=7+2q+2α∣6+4+α∣5?

③連續(xù)三項(不考慮這三項的順序)及這三項的和(標注在下面的括號內)有以下

可能：

2,2,1⑸;2,2,2(6)；2,2,3(7)；

3,3,1(7)；3,3,2(8)；........；3,3,5(11)；

4,4,1⑼;4,4,2(10)；4,4,3(II)；.........；4,4,7(15)；

5,5,1(11)；5,5,2(12)；5,5,3(13)；.......；5,5,9(19)；

6,6,1(13)；6,6,2(⑷;6,6,3(15)；.......；6,6,II(23)；

其中畫橫線的連續(xù)三項必為數(shù)列的首三項或尾三項，

故其對應的三角形至多出現(xiàn)兩個.

④由③，7,≥(5+7)+(6+7+8+9+10+11+11+12+13+13+14+14)=140,

26ΓI+26fl6+?+al5≥2×1+2×1+2+3=9,

又由②，3S≥140+9=149

所以SN50.

⑤由①④，S的最小值為50.

3.(202105東城二模21)

對于數(shù)列A:%,%，…，/(〃23),定義變換T,T將數(shù)列A變換成數(shù)列

T(A):%,%…4,4，記T(4)=7(4),L(A)=TL(A)),m≥2.

對于數(shù)列A?.ax,a1,??,an與B.?bi,b2,??,bn,定義A?B=a∣b∣+a2b2+■??+aκbn.

若數(shù)列4:6,〃2「-，4,(〃￡3)滿足4.e{-l,l}(i=1,2,…,〃)，則稱數(shù)列A為次"數(shù)列.

(I)若A:-l,-1,1,-1,1』，寫出T(A),并求A?∕2(A);

(II)對于任意給定的正整數(shù)〃("≥3),是否存在鞏，數(shù)列A,使得A1(A)=〃-3?若存

在，寫出一個數(shù)列A,若不存在，說明理由；

(III)若見數(shù)列A滿足尸(A)7"(A)="-4(%=1,2,…,〃-2),求數(shù)列A的個數(shù).

【答案】⑴由A-HLl,

可得T(A)TlTLL-I,

T2(Λ):1,-1,1,1,-1,-1,

.?.A-T2(A)=-1+1+1-1-1-1=-2；

,

(2).?A-T(A)=aia2+a2a3+???+anal,

由數(shù)列4為%數(shù)列，所以《G{T,1}(i=1,2,…,

對于數(shù)列A：q,的,…，”,,中相鄰的兩項q,q+ι(