北師大版初中數(shù)學(xué)八年級下冊導(dǎo)學(xué)案 第4章

4.1因式分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解因式分解的意義，理解因式分解的概念.

2.認(rèn)識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系一一互逆關(guān)系

本節(jié)重難點(diǎn)：

因式分解概念

預(yù)習(xí)作業(yè)：

請同學(xué)們預(yù)習(xí)作業(yè)教材P43~P44的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過程中請弄清以下幾個問題：

1.分解因式的概念:把一個多項(xiàng)式化成的形式，這種變形叫做把這個

多項(xiàng)式分解因式

2.分解因式與整式乘法有什么關(guān)系？

分解因式是把一個多項(xiàng)式化成積的關(guān)系。

整式的乘法是把整式化成和的關(guān)系，分解因式是整式乘法的逆變形。

例1、99^-99能被IOO整除嗎?還能被哪些數(shù)整除?你是怎么得出來的?

計算下列式子：

(1)3x*l)=；(2)m{a+b+c)-；

(3)(松)(πr4)-；(4)(廣3)2=；

(5)a(^÷l)(a-l)=.

根據(jù)上面的算式填空：

(1)ma+mb+mc=；(2)3Λ2-3Λ=；

(3)於16=；(4)a-a-：

(5)產(chǎn)6τ+9=.

議一議：兩種運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別：

因式分解的概念：.

例1：下列變形是因式分解嗎？為什么？

(1)a+b=b+a(2)4∕y-8x,+l=4xy(x-D+1

(3)a(a-6)=a-ab(4)a^-2aM?2=(a-A)^

區(qū)別與聯(lián)系：

(1)分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系；

(2)分解因式的結(jié)果要以積的形式表示；

(3)每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來的多項(xiàng)式的次數(shù)；

(4)必須分解到每個多項(xiàng)式不能再分解為止.

例2：若分解因式Y(jié)+如一15=。+3)(尤+〃)，求m的值。

變式訓(xùn)練：

已知關(guān)于X的二次三頊?zhǔn)?丁+mχ-∏=(x+3)(3x-5),求m,n的值。

能力提高：

1、已知χ-y=2010,孫二2：；；，求Yy-盯?的值

2、當(dāng)m為何值時，V-3曠+機(jī)有一個因式為y-4?

4.2提公因式法

第1課時直接提公因式因式分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解公因式的意義，并能準(zhǔn)確的確定一個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式；

2.掌握因式分解的概念，會用提公因式法把多項(xiàng)式分解因式.

3.進(jìn)一步了解分解因式的意義，加強(qiáng)學(xué)生的直覺思維并滲透化歸的思想方法

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

能觀察出多項(xiàng)式的公因式，并根據(jù)分配律把公因式提出來.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

正確識別多項(xiàng)式的公因式.

預(yù)習(xí)作業(yè)

1、一個多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有因式，叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的—

2、公因式是各項(xiàng)系數(shù)的與各項(xiàng)都含有的字母的的積。

3、如果一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個提出來，從而將這

個多項(xiàng)式化成兩個因式的乘積形式，這種分解因式的方法叫做

4、把首項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。

(1)-X2y-xy2=—()

(2)-27X2y+9xy2-ISxy=-()

(3)-anb+an~'b2+a"2b=—()

例1、確定下列各題中的公因式：

(1)-Acrbc3,Mac2,Sab3(2)-2ai(m-n),4a2(n-m)

(3)8%"'尸，-4尸、"

例2、用提公因式法分解因式

(1)Sa3b2-I2ab3c(2)3x2-6xy+x

(3)-4m3+16∕τι2-26m(4)χk+'+2??--xk~'

例3、利用分解因式簡化計算：57×99+44×99-99

例4、如果81—xn=(9+x~)(3+X)(3—?)>求〃的值

變式訓(xùn)練：

1.分解因式：

（1）Ix1-2Ix（2）8Λ3∕J2-?2ahic+abc

（3）-24X3-Ux2+28%（4）2a2n+a2n+l-2a2n~'

拓展訓(xùn)練：

1.利用分解因式計算：（一2）2°“+（—2）2°“χ（

2

2.己知多項(xiàng)式/-43+〃2可分解為（》+2）-0+〃），求加，〃值

3.證明：257一5口能被120整除。

?..Q2010.X?o2009Q2011

4計算：3+o×3-3

提公因式法小結(jié)：

1、當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時，一般要提出負(fù)號，使剩下的括號中的第一項(xiàng)的系數(shù)為正，括號內(nèi)其

余各項(xiàng)都應(yīng)注意改變負(fù)號。

2、公因式的系數(shù)取多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式的字母取各項(xiàng)相同字母的最低

次幕的積。

3、提取公因式分解因式的依據(jù)就是乘法分配律的逆用

4、當(dāng)把某項(xiàng)全部提出來后余下的系數(shù)是1,不是0（提公因式后括號內(nèi)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與原多

項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致）

4.2提公因式法

第2課時變形后提公因式因式分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握用提公因式法分解因式的方法

2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和化歸轉(zhuǎn)化能力

3.通過觀察能合理進(jìn)行分解因式的推導(dǎo)，并能清晰地闡述自己的觀點(diǎn)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

含有公因式是多項(xiàng)式的分解因式

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

整體思想的運(yùn)用以及代數(shù)式的符號變換的處理

預(yù)習(xí)作業(yè)

1.把4（》-3）+2。5-3）分解因式，這里要把多項(xiàng)式3）看成一個整體，則

是多項(xiàng)式的公因式，故可分解成

2.請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“一”號，使等式成立：

(1)2-a=_______(a-2)(2)y-X=__(_%_—__y_)_

(3)加a=__(M)(4)(b-d)2-__(α-O)?

(5)-m-n=_____(Jn÷ri)(6)-52+t2=________Gv2-？2)

(7)(y-x)3=________(X-y)3(8)(一，-q)2=—______(.p+q)2

3.一般地，關(guān)于幕的指數(shù)與底數(shù)的符號有如下規(guī)律（填“+”或“一”）：

.（%—y）"（〃為偶數(shù)）

(>_1)"=V

?（%-y）"5為奇數(shù)）

例1X(Q+〃)+y(a+b)

例2把下列各式分解因式：

(1)6(∕n-n)3-12(n-∕n)2(2)3m(χ-y)-∏(y-X)

32

(3)?(l-jp)+2(∕7-l)

變式訓(xùn)練

1.下列多項(xiàng)式中，能用提公因式法分解因式的是()

A.x2-yB.x2+2xC.x2+3yD.x1-xy+γ2

2.下列因式分解中正確的是()

A3xm-↑2xm+'=r'(3-12%)B.(a-h)2-(b-a)3=(a-h)2(l-h+a)

C.2(x-2y)-(2y-x)2=(x-2y)(2-2y+x)D.Sx2y-4x=4xy(2x-1)

3.用提公因式法將下列各式分解因式

(1)(m+n)(p+q)_(m+n)(p_q)(2)x(x-y)2-y(x-y)

(3)(x-2y)(2x+3y)—2(2y—x)(5x—y)(4)x(a—x)(a—y)—y(x-d){y—d)

(5)先分解因式，再計算求值

3

(2x-l)2(3x+2)-(2x-1)(3X+2)2-x(l-2x)(3x÷2),其中1=5

拓展訓(xùn)練

1.若。-2=/7+。，則a(a-/7-(?)+b(b+c—。)一C(Q-b-C)=

2.長,寬分別為。，b的矩形,周長為14,面積為10,則。。(α+b)-。-b)的值為

3.三角形三邊長α,b,c^^a2h-a2c-ah2+ac2+h2c-hc2=O,試判斷這個三

角形的形狀

4.3公式法

第1課時平方差公式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解運(yùn)用公式法分解因式的意義；

2.會用平方差公式進(jìn)行因式分解；

本節(jié)重難點(diǎn)：用平方差公式進(jìn)行因式分解

中考考點(diǎn)：正向、逆向運(yùn)用平方差公式。

預(yù)習(xí)作業(yè)：

請同學(xué)們預(yù)習(xí)作業(yè)教材P54~P55的內(nèi)容：

1.平方差公式字母表示:_______________________________________

2.結(jié)構(gòu)特征：項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)、符號

活動內(nèi)容：填空：

(1)(X+3)(X-3)=：(2)(4x+y)(4χ-y)=

(3)(l+2x)(1-2%)=；(4)(3研2加(3加-2〃)=

根據(jù)上面式子填空：

(1)9Λ?2-4Λ2=；(2)16Λ,2-y=

(3)9=；(4)]-4上.

結(jié)論：a2-b2=(a+b)(a-b)

平方差公式特點(diǎn)：系數(shù)能平方，指數(shù)要成雙，減號在中央

例1：把下列各式因式分解：

(1)25-16/(2)9<?2--b2

4

變式訓(xùn)練：

(1)0.16a2M-49m4n2(2)-a2+-b2

9

例2、將下列各式因式分解：

(1)9(X-P)2-(x+y)2(2)2x-8x

變式訓(xùn)練:

(1)x2(m-n)+y2(n-m)(2)a5—a

注意：1、平方差公式運(yùn)用的條件：(1)二項(xiàng)式(2)兩項(xiàng)的符號相反(3)每項(xiàng)都能化成平

方的形式

2、公式中的a和b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式

3、各項(xiàng)都有公因式，一般先提公因式。

例3：已知n是整數(shù)，證明：(2〃+1)2-1能被8整除。

拓展訓(xùn)練：

1、計算：

-2、分解因式：2x2~~y2

(l-?/)(l3-?)4(l-÷)......(τI?UU))

3、己知a,b,c為aABC的三邊，且滿足6(2/-0202="-)4,試判斷AABC的形狀。

4.3公式法

第2課時完全平方公式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解運(yùn)用公式法分解因式的意義；

2.會用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

3.清楚優(yōu)先提取公因式，然后考慮用公式

本節(jié)重難點(diǎn)：

1、用完全平方公式進(jìn)行因式分解

2、綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式

中考考點(diǎn)：正向、逆向運(yùn)用公式，特別是配方法是必考點(diǎn)。

預(yù)習(xí)作業(yè)：

請同學(xué)們預(yù)習(xí)作業(yè)教材P57"P58的內(nèi)容：

1.完全平方公式字母表示:.

2、形如/+2α6+/或Y一的式子稱為

3.結(jié)構(gòu)特征：項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)、符號

填空：

(1)Qa+b)(a-b)=；(2)(a^b):=；

(3)(a-?)2=；

根據(jù)上面式子填空：

(1)a-A=；(2)a-2a?+b=；

(3)J+2ab^B=；

結(jié)論：形如a2+2a9^與a?-2a加毋的式子稱為完全平方式.

a^-2ab+b^=(a-b)jaz+2ab+b^=(a+b)^

完全平方公式特點(diǎn)：首平方，尾平方，積的2倍在中央，符號看前方。

例1：把下列各式因式分解：

(1)X-4A÷4(2)9a‰Δ+A2

2??

(3)m——m+—(4)(m+n)2+8(m+n)+16

例2、將下列各式因式分解:

(1)3aV+6a切3戰(zhàn)(2)-X-4y+4xy

注：優(yōu)先提取公因式，然后考慮用公式

例3：分解因式

（1）X2-7ι+6

x~+3x+2

（3）X2+2%—15（4）%2-4x-2l

點(diǎn)撥：把/+pχ+g分解因式時：

1、如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)P的符

號相同

2、如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)

系數(shù)P的符號相同

3、對于分解的兩個因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)的系數(shù)P

變式練習(xí)：

⑴Λ4+6Λ2+8⑵X2-3xy+2y2

⑶√-3√-28√

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，

叫做十字相乘法

口訣：首尾拆，交叉乘，湊中間。

拓展訓(xùn)練：

1、若把代數(shù)式Y(jié)—2x—3化為*-〃。2+%的形式，其中m,k為常數(shù)，求m+k的值

2、已知X2+/-4x+6y+13=0,求x,y的值

3、當(dāng)X為何值時，多項(xiàng)式f+2x+l取得最小值，其最小值為多少？

第四章因式分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

知道因式分解的意義。明白因式分解與整式乘法的關(guān)系。會用提取公因式

法分解因式。清楚添括號法則。會用平方差公式分解因式。會用完全平方公式分

解因式。初步會綜合運(yùn)用因式分解知識解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重難點(diǎn)：會綜合運(yùn)用因式分解知識解決數(shù)學(xué)問題。

知識點(diǎn)1基本概念

把一個多項(xiàng)式化成的形式，這種變形叫做把這個

多項(xiàng)式,也叫做把這個多項(xiàng)式O如：

()、

A

ma+mb+mc?m(a+b+c)

()

?提公因式法

多項(xiàng)式ma+mb+mc中的各項(xiàng)都有一個公共的因式,我們把這個因式

叫做這個多項(xiàng)式的公因式.ma+mb+mc=就是把ma+mb+mc分解成兩個

因式乘積的形式，其中一個因式是各項(xiàng)的公因式,另一個因式

是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法.

例如：X2-X=X()>

8a?-4ab+2a=2a_(

?公式法

⑴平方差公式：a2-b2=()().

例如：4χ2-9=()2-()2=()().

⑵完全平方公式：a2±2ab+b2=()2

例如：4x?T2xy+9yJ()2

A層練習(xí)

1.下列由左到右的變形哪些是因式分解，哪些不是(是的打“V”，不是的打

“X”)：

(1)(x+3)(X-3)=x2-9;();(2)x2+2x+2=(x+l)2+l;()

(3)x2-χ-12=(x+3)(χ-4);();(4)x2+3xy+2y2=(x+2y)(x+y)；()

(5)l-?=(l+i)(l-?);();(6)m2+L+2=(m+L)2；()

X~XXtntn

(7)a3~b3=(a-b)(a2÷ab+b2).()

B層練習(xí)

2、檢驗(yàn)下列因式分解是否正確？

(l)2ab2+8ab3=2ab2(1+4b)()

(2)2χ-9=(2X+3)(2X-3)()

(3)x2-2x-3=(x-3)(x+l)()

(4)36a2-12a-l=(6a-1)2()

C層練習(xí)

1.若x2+mχ-n能分解成(X-2)(χ-5),貝∣Jm=,n=

2.x2-8x+m=(χ-4)(),且m=。

知識點(diǎn)2基本方法

因式分解的方法：1、

2、①

②___________

3、________________

1.公因式確定

系數(shù)、字母、相同字母指數(shù)

2.變形規(guī)律：

(1)χ-y=(y-χ)(2)-χ-y=(x+y)

(3)(χ-y)2=(y-χ)2(4)(χ-y)J(y-χ)3

知識點(diǎn)3一般步驟

(1)確定應(yīng)提取的公因式;

(2)多項(xiàng)式除以公因式，所得的商作為另一個因式;

(3)把多項(xiàng)式寫成這兩個因式的積的