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山東省臨沂市溫泉中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.某校有高一學(xué)生n名,其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為6:5,為了解學(xué)生的視力情況,現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為的樣本,若樣本中男生比女生多12人,則n=(
)A.990 B.1320 C.1430 D.1560參考答案:B【分析】根據(jù)題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為和,于是得出樣本中男生與女生人數(shù)之差為,于此可求出的值?!驹斀狻恳李}意可得,解得,故選:B?!军c(diǎn)睛】本題考考查分層抽樣的相關(guān)計(jì)算,解題時(shí)要利用分層抽樣的特點(diǎn)列式求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。2.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a的概率是()A. B. C. D.參考答案:D【考點(diǎn)】等可能事件的概率.【分析】由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有5×3種結(jié)果,而滿足條件的事件是a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3共有3種結(jié)果.【解答】解:由題意知本題是一個(gè)古典概型,∵試驗(yàn)包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有5×3種結(jié)果,而滿足條件的事件是a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3共有3種結(jié)果,∴由古典概型公式得到P==,故選D.3.長(zhǎng)方體,,則異面直線與所成角的余弦值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A異面直線與所成的角即為與所成的角.在中,本題選擇A選項(xiàng).4.已知數(shù)據(jù)是上海普通職工個(gè)人的年收入,設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,平均數(shù)為,方差為,如果再加上世界首富的年收入,則這個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說(shuō)法正確的是
A.年收入平均數(shù)大大增加,中位數(shù)一定變大,方差可能不變B.年收入平均數(shù)大大增加,中位數(shù)可能不變,方差變大C.年收入平均數(shù)大大增加,中位數(shù)可能不變,方差也不變D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變參考答案:B略5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,若△ABC為銳角三角形,則下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:6.已知函數(shù)f(x)=()x,a,b∈R+,A=f(),B=f(),C=f(),則A、B、C的大小關(guān)系為()A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A參考答案:A【考點(diǎn)】4B:指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn);7F:基本不等式.【分析】先明確函數(shù)f(x)=()x是一個(gè)減函數(shù),再由基本不等式明確,,三個(gè)數(shù)的大小,然后利用函數(shù)的單調(diào)性定義來(lái)求解.【解答】解:∵≥≥,又∵f(x)=()x在R上是單調(diào)減函數(shù),∴f()≤f()≤f().故選A7.下列條件能推出平面平面的是
A.存在一條直線
B.存在一條直線
C.存在兩條平行直線
D.存在兩條異面直線參考答案:D8.二次不等式ax2+bx+1>0的解集為{x|-1<x<},則ab的值為()A.-6
B.6C.-5
D.5參考答案:B9.拋物線x2=y上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M到x軸的距離是()A. B. C.1 D.參考答案:B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】由拋物線方程,求出焦點(diǎn)F.設(shè)M(x0,y0),利用拋物線的定義,列式并解之即可得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo).【解答】解:∵拋物線方程為x2=y,∴拋物線的焦點(diǎn)F(0,)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),得y0+=1,解之得y0=故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,求該點(diǎn)的橫坐標(biāo).考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.10.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn),則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線,弦AB過(guò)焦點(diǎn),為阿基米德三角形,則的面積的最小值為(
)A. B. C. D.參考答案:B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí),可得,即三角形為直角三角形,利用基本不等式,可得當(dāng)直線垂直軸時(shí),面積取得最小值.【詳解】設(shè),過(guò)A,B的切線交于Q,直線的方程為:,把直線的方程代入得:,所以,則,由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得:,所以,所以,所以,因?yàn)椋?dāng)時(shí),可得的最大值為,故選B.【點(diǎn)睛】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題,如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論,即當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),則切線與切線互相垂直,能使運(yùn)算量變得更小.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=________.參考答案:212.若曲線與直線始終有交點(diǎn),則的取值范圍是___________;若有一個(gè)交點(diǎn),則的取值范圍是________;若有兩個(gè)交點(diǎn),則的取值范圍是_______;參考答案:;;
解析:曲線代表半圓13.雙曲線C與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),直線y=x為C的一條漸近線.求雙曲線C的方程.參考答案:【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo);據(jù)雙曲線的系數(shù)滿足c2=a2+b2;雙曲線的漸近線的方程與系數(shù)的關(guān)系列出方程組,求出a,b,寫出雙曲線方程.【解答】解:設(shè)雙曲線方程為(a>0,b>0)由橢圓+=1,求得兩焦點(diǎn)為(﹣2,0),(2,0),∴對(duì)于雙曲線C:c=2.又y=x為雙曲線C的一條漸近線,∴=
解得a=1,b=,∴雙曲線C的方程為.14.給出下列3個(gè)命題:①若,則;②若,則;③若且,則,其中真命題的序號(hào)為
▲
.參考答案:
15.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,若8a+kb與ka+2b共線,則實(shí)數(shù)k=________.參考答案:416.已知x,y滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為.參考答案:6【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【專題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求最大值.【解答】6解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直線y=﹣2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線y=﹣2x+z的截距最大,此時(shí)z最大.由,解得,即A(2,2),代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×2+2=6.即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6.故答案為:6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.17.若實(shí)數(shù)滿足條件則的最大值是________參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA=PD=DA=2,∠BAD=60°.(Ⅰ)求證:PB⊥AD;(Ⅱ)若PB=,求點(diǎn)C到平面PBD的距離.參考答案:【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算;直線與平面垂直的性質(zhì).【專題】計(jì)算題;空間位置關(guān)系與距離.【分析】(Ⅰ)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,證明AD⊥平面OPB,即可證明PB⊥AD;(Ⅱ)證明OP⊥平面CBD,利用等體積求點(diǎn)C到平面PBD的距離.【解答】(Ⅰ)證明:取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,則∵四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA=PD=DA,∠BAD=60°,∴OP⊥AD,OB⊥AD,∵OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB,∵PB?平面OPB,∴PB⊥AD;(Ⅱ)解:∵PA=PD=DA=2,∴OP=OB=,∵PB=,∴OP2+OB2=PB2,∴OP⊥OB,∵OP⊥AD,AD∩OB=O,∴OP⊥平面CBD,△PBD中,PD=BD=2,PB=,∴S△PBD==設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為h,則==.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算,考查體積的計(jì)算,屬于中檔題.19.(本大題滿分12分)已知命題p:方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;命題q:雙曲線的離心率,若p、q有且只有一個(gè)為真,求m的取值范圍.參考答案:解:將方程改寫為,只有當(dāng)即時(shí),方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,所以命題p等價(jià)于;………4分因?yàn)殡p曲線的離心率,所以,且1,解得,所以命題q等價(jià)于;…………8分若p真q假,則;若p假q真,則
綜上:的取值范圍為……………12分20.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性.(Ⅲ)若對(duì)任意及任意,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí),
2分當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),無(wú)極大值.4分(Ⅱ)5分當(dāng),即時(shí),在定義域上是減函數(shù);當(dāng),即時(shí),令得或令得當(dāng),即時(shí),令得或令得
綜上,當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在和單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí),在上單減,是最大值,是最小值.
10分而經(jīng)整理得,由得,所以12分略21.已知函數(shù)若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),不等式恒成立,則函數(shù)的值域是
(
)
A.[1,5)
B.[2,10)
C.
D.參考答案:B22.近年來(lái)空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關(guān),在市第一人民醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到了如表的列聯(lián)表:
患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男
5
女10
合計(jì)
50
已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為.參考格式:,其中.下面的臨界值僅供參考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)是否有99%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由.參考答案:(1)答案見(jiàn)解析,(2)有99%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān),理由見(jiàn)解析?!痉治觥浚?)由題意可知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到患心肺疾病
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