正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(學(xué)案)

/正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c22bccosA；b2＝c2＋a22cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二、對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的探究正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：1．已知兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角；2．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角．第一類問題有唯一解，當(dāng)三角形的兩角和任一邊確定時(shí)，三角形就被唯一確定．第二類問題的三角形不能唯一確定，可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況．下面以已知a，b和A，解三角形為例加以說明．法一;由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性與三角形的性質(zhì)可得：(1)若sinB＝eq\f(bsinA,a)>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0，即無解；(2)若sinB＝eq\f(bsinA,a)＝1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；(3)若sinB＝eq\f(bsinA,a)<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.顯然由0<sinB＝eq\f(bsinA,a)<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)為鈍角，一個(gè)為銳角，考慮到“大角對(duì)大邊”、“三角形角和等于180°”等，此時(shí)需進(jìn)行討論．判斷三角形解的個(gè)數(shù)也可由“三角形邊對(duì)大角”來判定．設(shè)A為銳角，若a≥b，則A≥B，從而B為銳角，有一解；若a<b，則A<B，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)；①sinB>1，無解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，兩解．法二：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式①a＝bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解無解一解無解三、三角形的面積公式已知條件選用公式三角形的一邊與此邊上的高公式1：S△ABC＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別為邊a，b，c上的高)三角形的兩邊與夾角公式2：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsin三角形的兩角與一邊公式3：S△ABC＝eq\f(1,2)a2eq\f(sinBsinC,sinA)，S△ABC＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinAsinC,sinB)，S△ABC＝eq\f(1,2)c2eq\f(sinAsinB,sinC).三角形的三邊公式4：(海倫公式)S△ABC＝eq\r(pp－ap－bp－c)，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c).S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R、r分別是三角形外接圓、切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.高頻考點(diǎn)一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，則滿足條件的三角形有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．0個(gè) D．無法確定(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq\r(2)∶1，c2＝b2＋eq\r(2)bc，則三角A，B，C的度數(shù)依次是________．(3)設(shè)△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝________.【感悟提升】(1)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法①代數(shù)法：根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷．②幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù)．(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)．【變式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值圍是()A．x＞2 B．x＜2C．2＜x＜2eq\r(2) D．2＜x＜2eq\r(3)(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，則AB＝________.高頻考點(diǎn)二和三角形面積有關(guān)的問題例2、(2015·)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面積為3，求b的值．【感悟提升】(1)對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．【變式探究】四邊形ABCD的角A與C互補(bǔ)，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積．高頻考點(diǎn)三正弦、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形(2)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【舉一反三】(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．【感悟提升】(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變形，得出角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．(2)求解幾何計(jì)算問題要注意①根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；②選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理．【變式探究】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形練習(xí)：1．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，則△ABC的面積等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),8)2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C＝2B，則eq\f(c,b)為()A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC3．已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，則B＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)4．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則A＝()A．90°B．60°C．120°D．150°5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若3a＝2b，則eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值為()A．－eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1D.eq\f(7,2)6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且滿足csinA＝eq\r(3)acosC，則sinA＋sinB的最大值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．37.在△ABC中,若A=,B=,BC=3,則AC=()A. B. C.2 D.48.在△ABC中,若a2+b2<c2,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定9.已知△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且=,則B=()A. B. C. D.10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c.若C=120°,c=a,則()A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b的大小關(guān)系不能確定11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則cosB=.12.△ABC中,三個(gè)角A,B,C對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,則B=.13.△ABC中,點(diǎn)D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若·=2,且b=2,求a和c的值.15.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)(a,b)在直線x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的值.(2)若2cos2-2sin2=,且A<B,求.16.如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值.(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長.正余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題中的一些名稱、術(shù)語的含義的理解(1)坡角：坡向與⑧水平方向的夾角，如圖．(2)仰角和俯角：在視線和水平線所成角中，視線在水平線⑨上方的角叫仰角，在水平線⑩下方的角叫俯角，如圖．(3)方位角：指從正北方向?順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角，如圖中B點(diǎn)的方位角為α.(4)方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的?小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.如圖中∠ABC為北偏東60°或?yàn)闁|偏北30°.（4）（3）（3）（4）（3）（3）（2）（1）[知識(shí)點(diǎn)一]測(cè)量距離問題[例1](導(dǎo)學(xué)號(hào)：30280048)如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°.求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離．1．如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m[知識(shí)點(diǎn)二]測(cè)量高度問題[例2](導(dǎo)學(xué)號(hào)：30280050)某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米以后，望見塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為30°，求塔高．2．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以與∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m.[知識(shí)點(diǎn)三]測(cè)量角度問題[例3](導(dǎo)學(xué)號(hào)：30280052)如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為(eq\r(3)－1)