專題05 解析幾何（解答題10種考法）專練（解析版）

專題05解析幾何（解答題10種考法）1．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.（i）求的面積與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.【答案】(1)(2)（i）1（ⅱ）證明見解析【解析】（1）∵、是橢圓，的兩個頂點，且，直線的斜率為，由，，得，又，解得，，∴橢圓的方程為；（2）

設(shè)直線的方程為，則，，聯(lián)立方程消去，整理得，，得設(shè)，，∴，.（i），，∴，∴的面積與的面積之比為1；（ii）證明：綜上，.2．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為是橢圓的中心，點為其上的一點滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)定點，過點的直線交橢圓于兩點，若在上存在一點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．【答案】(1)(2)或【解析】（1）設(shè)，在中，設(shè)，，，，，所以橢圓的方程為：（2）設(shè)，直線的方程為，，，，設(shè)，若為常數(shù)，則，即，而此時，又，即或，綜上所述，或，存在點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值3（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)與的面積之比為定值【解析】（1）由題意得，即①．當點為的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，所以，即②．聯(lián)立①②，得．故的方程為．（2）

與的面積之比為定值．由（1）可得，由題意設(shè)直線．聯(lián)立得，則，，所以．直線的方程為，令，得，即．同理可得．故與的面積之比為，即與的面積之比為定值．4．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【解析】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）

當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點當直線與軸不垂直時，可設(shè)直線為：由得，設(shè)，則則所以，即以為直徑的圓過點所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．5．（2023·江蘇南京·南京市第九中學?？寄M預(yù)測）橢圓E的方程為，左、右頂點分別為，，點P為橢圓E上的點，且在第一象限，直線l過點P(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點，若，求的長；(2)若直線l過點，且交橢圓E于另一點Q（異于點A，B），記直線與直線交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)點M在定直線上，理由見解析.【解析】（1）設(shè)，則①，②，由①②可得，，即，（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組，整理得，，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，因為，，由，得，得．所以.故點M在定直線上．

6．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，因為直線過點且斜率不為，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，．從而．（3）由（1）知，設(shè)，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上.7．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學?？寄M預(yù)測）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點G．試問點G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)在定直線上，理由見詳解.【解析】（1）因為曲線C是橢圓，所以，解得；.（2）是在定直線上，理由如下：當時，此時橢圓，設(shè)點與直線l聯(lián)立得，，且，所以易知，則，兩式作商得是定值，故G在定直線上.

8．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．

9．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，點，分別是其左右焦點，過點的直線交雙曲線的右支于P，A兩點，點P在第一象限.當直線PA的斜率不存在時，.(1)求雙曲線的標準方程.(2)線段交圓于點B，記，，的面積分別為S1，S2，S，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因為雙曲線的離心率為，所以，又過點的直線PA的斜率不存在時，，所以.解得，所以雙曲線的方程為：；（2）設(shè)，則，且，所以，，，由雙曲線定義得，所以，則，所以，，，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值.10．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點?若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.【答案】(1)(2)直線過定點【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點坐標為，依題意漸近線方程為，即，有，解得，；（2）由（1）可知右焦點，設(shè)直線：，，，由聯(lián)立直線與雙曲線，化簡得，，故，，，又，則，同理可得：，，化簡得，故直線過定點.11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.(1)求C的方程；(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】1）依題意，，周長，當且僅當三點共線時等號成立，故，

所以，所以的方程；（2）設(shè)，直線，代入，整理得，，，易知，令，得，同得，從而中點，以為直徑的圓為，由對稱性可知，定點必在軸上，令得，，，所以，即，因為，所以，即，解得，所以圓過定點.

12．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線：，過點作斜率互為相反數(shù)的直線，分別交拋物線于及兩點．(1)若，求直線的方程；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)，，∵，∴，，∵，∴，．又∵，∴，即，又∵，∴，或，當時，，∴，；當時，，∴，，此時直線AB的斜率不存在，舍去，∴，，∴直線的方程為：．（2）設(shè)直線：，則直線：，設(shè)，，，，

由，即，則，所以，，又∵，，∴，同理可證：，∴，∴，又∵，∴，∴．13．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）設(shè)，所以，，，因為點在線段上，且滿足，所以點，因為直線的斜率為1，所以，所以，因為，所以，解得，，.所以雙曲線的方程為.（2）假設(shè)在軸上存在與不同的定點，使得恒成立，

當直線l的斜率不存在時，E在x軸上任意位置，都有；當直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)，直線l的方程為，直線與雙曲線的右支相交于，兩點，則且，設(shè)，，由，得，，，所以，，因為，即，所以平分，，有，即，得，所以，由，解得.綜上所述，存在與不同的定點，使得恒成立，且.14．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標；(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點【解析】（1）∴橢圓的標準方程為，不妨取，則；因為中，，所以的內(nèi)心在軸，設(shè)直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；（2）∵橢圓和弦均關(guān)于軸上下對稱．若存在定點，則點必在軸上∴設(shè)當直線斜率存在時，設(shè)方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，則①∵點的橫坐標為1，均在直線上，，整理得，因為點在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點滿足題意

15（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，為線段上異于的一動點，點滿足.(1)求點的軌跡的方程；(2)點是曲線上兩點，且在軸上方，滿足，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，，點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，，，點的軌跡的方程為：.（2）連接，延長交橢圓于點，連接，

由橢圓對稱性可知：，又，四邊形為平行四邊形，，，且三點共線四邊形的面積，設(shè)直線，，由得：，，，，又，點到直線的距離即為點到直線的距離，點到直線的距離，，設(shè)，則，，，又，當，即時，四邊形面積取得最大值，最大值為.16．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃┰O(shè)橢圓過點，且左焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）令橢圓的半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點的坐標分別為，

顯然均不為零，依題意，令，有且，又四點共線，從而，即，，于是，從而①，②，又點在橢圓上，即③，④，①+②并結(jié)合③，④得，即動點總在定直線上，因此直線方程為，由消去y得，，設(shè)，則，于是，設(shè)，則點到直線的距離，其中銳角由確定，因此，當且僅當時取等號，所以的面積最大值為.17．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃┰O(shè)橢圓過點，且左焦點為．(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，證明：面積為定值，并求出該定值．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)點的坐標分別為，，．由題設(shè)知，，，均不為零，記，則且又四點共線，從而，于是，，，從而①，②，又點在橢圓上，即③，④，①＋②×2并結(jié)合③、④得，即點總在定直線上．∴所在直線為上．由消去y得，，設(shè)，則，于是，又到的距離，∴∴面積定值為．

18（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，過點作直線交于點，.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點，且，，三點共線，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析.【解析】（1）依題意，橢圓的左焦點，當直線的斜率為0時，此時、兩點是橢圓長軸上的兩點，向量，或，均不滿足，不合題意，所以直線的斜率不為0.故可設(shè)直線的方程為，，，由得：，，則，①，由可得，所以，即②，由①②可得，，化簡整理得，所以，所以直線的斜率為.（2）證明：由，可得直線的方程為，由得：，所以，結(jié)合可得：，，即，又，則，所以，所以.19．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知點、，的內(nèi)切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為點、，的內(nèi)切圓與直線相切于點，所以，因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，設(shè)點的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點的軌跡方程C為（2）由題意，直線的斜率互為相反數(shù)，記，則，，，，，設(shè)，則直線，.聯(lián)立直線和雙曲線方程，整理得.該方程有兩個不等實根，，則根據(jù)韋達定理可得，，同理可得，.又因為，.，.則，同理可得即進而可得相似于，即，，也即A，B，Q，P四點共圓，可得從而得.因此20．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知橢圓，，為C的左右焦點.點為橢圓上一點，且.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點A，B，直線PA、PB的傾斜角互補，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點M滿足，求M的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，所以，即，把代入，得，所以，故橢圓C的方程為；（2）由題意，直線AB斜率存在，不妨設(shè)其方程為，設(shè)點，聯(lián)立橢圓方程，得，其中，則，所以，因為直線、的傾斜角互補，所以，所以，化簡得，即，所以，若，此時直線AB過點P，不合題意舍去；故，所以，所以直線AB方程為，設(shè)，因為，所以M為AB的中點，所以，則，消去m得，又，且，所以，所以，所以點M的軌跡方程為.21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的長軸長是短軸長的2倍，直線被橢圓截得的弦長為4．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)M，N，P，Q為橢圓上的動點，且四邊形MNPQ為菱形，原點О在直線MN上的垂足為點H，求H的軌跡方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意可得，則橢圓：，聯(lián)立，解得或，所以弦長，解得，所以，所以橢圓的方程為，即；（2）因為四邊形MNPQ為菱形，所以垂直且平分，設(shè)，則，兩式相減得，即，設(shè)菱形的中心為，若直線的斜率都存在，設(shè)直線的斜率分別為，由，得，所以，即，同理，所以，由得，所以，即菱形的中心為原點，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，同理，因為，所以，所以點在圓上；若直線中有一條直線的斜率不存在，由對稱性可知棱形的中心為原點，四點分別為橢圓的頂點，不妨設(shè)為右頂點，為上頂點，則，同理可得，點任在圓上，綜上所述，H的軌跡方程為.22（2023·海南?？凇ずＤ现袑W?？级＃┮阎^點的直線與雙曲線：的左右兩支分別交于、兩點.(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設(shè)點，過點且與直線垂直的直線，與雙曲線交于、兩點.當直線變化時，恒為一定值，求點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）當時，顯然符合題意，當時，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)、，與雙曲線方程聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線交于不同的兩支，所以，又，所以，解得，即，所以且，解得或，綜上可得；（2）由（1）知，因為，所以，設(shè)，則直線的方程為：，設(shè)，直線與雙曲線方程聯(lián)立可得，即，所以，所以，得，又因為，所以，當時，即時，為定值，所以或，又因為，所以點的軌跡方程為.23．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預(yù)測）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點【解析】（1）由題意，取漸近線，右頂點到該漸近線的距離，又，，解得，，，的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線：，與的方程聯(lián)立，消去得，易知，由韋達定理得，則.因為，所以，用代替（顯然此時），同理得，得，直線：，過定點.當時，直線的斜率不存在，易知直線的方程為，過左焦點.綜上，直線過定點.

24．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知是橢圓的右焦點，為坐標原點，為橢圓上任意一點，的最大值為.當時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點，點滿足，當與、不重合時，射線交橢圓于點，直線、交于點，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設(shè)點，則，，因為，所以，，設(shè)橢圓左焦點為，因為，所以.即，又因為，所以，所以，所以，所以，因為此時，所以，所以，所以.因為，所以，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點，，，因為點滿足，則，解得，所以，

由題知不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因為的方程為，的方程為兩直線方程聯(lián)立得：.因為.所以，解得，所以動點的軌跡方程為.由橢圓的對稱性不妨設(shè)，直線、的傾斜角為、，由圖可知，且，因為，則，因為，，所以，當且僅當時等號成立，此時，，所以的最大值為.25．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）中，是邊上的點，，且．(1)若，求面積的最大值；(2)若內(nèi)是否存在點，使得？若存在，求；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）由面積公式可得：，，因為，故，由可得即，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則，設(shè)，則，整理得到：，即點A的軌跡是以圓心，為半徑的圓，故的邊上的高的最大值為，故其面積的最大值為.（2）因為，故，又，故，故為直角三角形，且，假設(shè)內(nèi)存在點，使得，法一：如圖，設(shè)，則，故，

在中，由正弦定理可得，即，故，故，因為為銳角，故，故存在且．法二：如圖，設(shè)，則，故，同理，故，而，故，在中，由余弦定理可得：，整理得到：，所以，整理得到：，解得或，但為銳角，故，故，故存在且．26．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，過點作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點，求證：直線與直線所成的較小角相等．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意得，，解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，所以，即，且，，，因為直線平行于軸，所以要證直線與直線所成的較小角相等，即證直線的傾斜角互補，即證，下面進行證明：所以直線與直線所成的較小角相等.

27．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預(yù)測）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等邊三角形.過點的直線與橢圓C交于不同的兩點A，B.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為P，Q，直線PA與直線交于點F，試證明B，Q，F(xiàn)三點共線.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標準方程是.（2）（i）當直線的斜率不存在，易知，，或，，當，時，直線PA的方程為：，所以點，此時，，，顯然B，Q，F(xiàn)三點共線，同理，時，B，Q，F(xiàn)三點共線；（ii）當直線的斜率存在時，顯然斜率，設(shè)直線的方程：，設(shè)，，由整理可得：，，，由（1）可得左右頂點分別為，，直線PA的方程為，又因為直線與交于F，所以，所以，，因為，又，所以，所以，所以B，Q，F(xiàn)三點共線；28．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）橢圓的焦距為為橢圓右焦點，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2