新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)探究課2代數(shù)基本定理學(xué)生用書(shū)新人教A版必修第二冊(cè)

代數(shù)基本定理1．代數(shù)基本定理任何一元n(n∈N*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程f(x)＝0至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根．它說(shuō)的是：任何一元n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)集中有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì))．2．一元多項(xiàng)式方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系(1)設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，則x3．設(shè)實(shí)數(shù)系一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)①在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，可以得到，方程①可變形為a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，開(kāi)放得a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0．②比較①②可以得到x【典例】(1)(多選)(2022·浙江金華一中期中)在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)，若ω是x3＝1的一個(gè)根，則ω2＋ω＋1＝()A．0 B．1C．2 D．3(2)(2022·江蘇鹽城期末)設(shè)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，依據(jù)代數(shù)基本定理可知方程f(x)＝0有n個(gè)根x1，x2，…，xn．則x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝________．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，則x12+xA．－2 B．0C．2 D．42．(多選)設(shè)實(shí)系數(shù)一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，x4，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＋x3＋x4＝－bB．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－cC．x1x2x3x4＝eD．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝d探究課2代數(shù)基本定理典例(1)AD(2)－an-1an(－1)na0an[(1)由于x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝當(dāng)ω＝1時(shí)，ω2＋ω＋1＝3；當(dāng)ω＝-1±3i2時(shí)，故選AD．(2)由題意知：f(x)＝an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)，∴an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，∴an∴x1對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．A[∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，∴x12+x22+x32＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x22．AC[由題設(shè)知：ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－