新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性課件新人教A版選擇性必修第三冊

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解變量間的相關(guān)關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)散點圖，判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系．(直觀想象)3．了解相關(guān)系數(shù)的概念及公式，會判斷相關(guān)性的強弱．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01在校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題．”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系．我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？知識點1變量間的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系的定義：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去______決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．兩個變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．精確地思考1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么異同點？[提示]

相同點：兩者均是指兩個變量間的關(guān)系．不同點：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如圓的面積S與半徑r的關(guān)系，它可以用函數(shù)關(guān)系式S＝πr2來表示；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如人的體重y與身高x有關(guān)，一般來說，身高越高，體重越重，但不能用一個函數(shù)關(guān)系式來嚴(yán)格地表示它們之間的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．知識點2散點圖、線性相關(guān)(1)散點圖：為直觀地描述成對樣本數(shù)據(jù)中兩個變量間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個變量，縱軸表示另一個變量，則成對樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖．(2)散點圖的作用如果散點圖中變量的對應(yīng)點分布在某條曲線的周圍，我們就可以得出結(jié)論：這兩個變量具有相關(guān)性，如圖(1)(2)．如果變量的對應(yīng)點分布沒有規(guī)律，我們就可以得出結(jié)論：這兩個變量不具有相關(guān)性，如圖(3)．(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)____的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個變量______．(4)線性相關(guān)與曲線相關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在________附近，我們就稱這兩個變量____相關(guān)．一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．增加負(fù)相關(guān)一條直線線性思考2．相關(guān)性可以如何分類？[提示]

(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．知識點3樣本相關(guān)系數(shù)(1)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的特點一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在____象限、____象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號的居多；如果變量x和y______，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第二象限、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號的居多．第一第三負(fù)相關(guān)

，我們稱r為變量x和變量y的____________．①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)______．這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也____；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也____．②當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)______．這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會____；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會____．(2)樣本相關(guān)系數(shù)

樣本相關(guān)系數(shù)正相關(guān)變小變大負(fù)相關(guān)變大變小(3)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度|r|的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，|r|≤1．當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度____；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度____．當(dāng)|r|＝1時，表明成對樣本數(shù)據(jù)都落在一條直線上；當(dāng)r＝0時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．越強越弱思考3．能否說“r越大，兩個變量間的相關(guān)程度越強；r越小，兩個變量間的相關(guān)程度越弱”？[提示]

不能．|r|越大，兩個變量間的相關(guān)程度越強；|r|越小，兩個變量間的相關(guān)程度越弱．1．下列圖中的兩個變量是相關(guān)關(guān)系的是________．②③

[散點圖①中，所有的散點都在曲線上，所以①具有函數(shù)關(guān)系；散點圖②中，所有的散點都分布在一條直線的附近，所以②具有相關(guān)關(guān)系；散點圖③中，所有的散點都分布在一條曲線的附近，所以③具有相關(guān)關(guān)系；散點圖④中，所有的散點雜亂無章，沒有分布在一條曲線的附近，所以④沒有相關(guān)關(guān)系．]②③2．若對甲、乙、丙3組不同的成對數(shù)據(jù)作線性相關(guān)性檢驗，得到這3組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)依次為0.83，0.72，－0.90，則線性相關(guān)程度最強的組是________(填“甲”“乙”或“丙”)．丙[樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度就越強，結(jié)合題中所給的3組成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)知，－0.90的絕對值最接近1，所以丙組成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度最強．]丙3．某公司欲知詩詞日歷費用x(十萬元)與詩詞日歷銷售量y(千本)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的詩詞日歷中隨機抽取了10張，得到如下的資料：

0.3關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1相關(guān)關(guān)系類型2散點圖及其應(yīng)用類型3樣本相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用【例1】

(1)(2023·蘭州高二檢測)有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是(

)A．①②③

B．①②C．②③ D．①③④◆

類型1相關(guān)關(guān)系D

因為相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系，②是一種函數(shù)關(guān)系，所以具有相關(guān)關(guān)系的有①③④．√(2)(多選)某中學(xué)的興趣小組將在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數(shù)據(jù)繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是(

)A．沸點與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點與氣壓呈正相關(guān)C．沸點與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D．氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)BCD

由圖1知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，D正確；沸點與氣壓呈正相關(guān)，B正確；沸點與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，A錯誤，C正確．√√√反思領(lǐng)悟

(1)根據(jù)直觀感覺判斷，這時要用到已有的知識或生活、學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗等．(2)根據(jù)散點圖判斷，這時要由兩個變量相應(yīng)值的對應(yīng)關(guān)系，作出散點圖，通過觀察散點圖中各點是否分布在某條曲線的周圍，從而判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績?nèi)缦卤恚簞t數(shù)學(xué)成績與物理成績之間(

)A．是函數(shù)關(guān)系B．是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)學(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462√C

[數(shù)學(xué)成績x和物理成績y的散點圖如圖所示．

從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有較好的相關(guān)關(guān)系，且成正相關(guān)．]◆類型2散點圖及其應(yīng)用【例2】下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖；[解]

散點圖如圖．(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似呈什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？[解]

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的散點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似呈線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會一直隨施化肥量的增加而增加．反思領(lǐng)悟

(1)畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．(2)在這里利用散點圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某種樹木體積與樹木的樹齡之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：(1)請作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；樹齡2345678體積30344060556270[解]

以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點圖如圖所示．(2)你能由散點圖發(fā)現(xiàn)樹木體積與樹木的樹齡近似呈什么關(guān)系嗎？[解]

由散點圖發(fā)現(xiàn)樹木體積隨著樹齡的增加呈現(xiàn)增加的趨勢，且散點大致落在一條直線附近，所以樹木的體積與樹齡近似呈線性相關(guān)關(guān)系．◆

類型3樣本相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用角度1

判斷線性相關(guān)的強弱【例3】某廠的生產(chǎn)原料耗費x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：(1)畫出(x，y)的散點圖；x2468y30405070[解]

畫出(x，y)的散點圖如圖所示，

(2)計算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度．

反思領(lǐng)悟

線性相關(guān)強弱的判斷方法(1)散點圖：散點圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確地判斷相關(guān)的程度，其絕對值越大，相關(guān)性越強．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．現(xiàn)隨機抽取某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績x與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績y如表所示．學(xué)生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系？附：若|r|>0.75，則我們可以認(rèn)為y與x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系．

角度2

樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用【例4】以下是收集到的新房屋的銷售價格y(單位：萬元)和房屋的大小x(單位：m2)的數(shù)據(jù)．房屋大小x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖；[解]

畫出散點圖如圖所示．

(2)求樣本相關(guān)系數(shù)r，并作出評價．(精確到0.01，已知

反思領(lǐng)悟

(1)當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強，當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越弱．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r有時也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫了樣本點集中于某條直線的程度．當(dāng)r＝0時，只表明成對數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．我國北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中型城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣．推進(jìn)北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容．國家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價格扶持新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加，下面條形圖反映了某省連續(xù)7個月的煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．在給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點圖，并用散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)說明y與t之間具有線性相關(guān)性．

參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031．下列選項中，兩變量間具有相關(guān)關(guān)系的是(

)A．正方體的體積與棱長

B．勻速行駛的汽車的行駛距離與時間C．人的身高與視力

D．某人每日吸煙量與其身體健康情況1234√D

[對于A，正方體的體積與棱長是函數(shù)關(guān)系，不滿足題意；對于B，勻速行駛的汽車的行駛距離與時間是函數(shù)關(guān)系，不滿足題意；對于C，人的身高與視力沒有明顯的關(guān)系，不滿足題意；對于D，某人每日吸煙量與其身體健康情況有相關(guān)關(guān)系，滿足題意．]D

[對于圖(1)，圖中的點成帶狀分布，且從左下角到右上角上升，兩個變量正相關(guān)；對于圖(2)，圖中的點雜亂無章，沒有明顯的規(guī)律，兩個變量不相關(guān)；對于圖(3)，圖中的點成帶狀分布，且從左上角到右下角下降，兩個變量負(fù)相關(guān)．故選D．]2．如圖所示的散點圖分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是(

)A．正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)B．負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，正相關(guān)C．負(fù)相關(guān)，正相關(guān)，不相關(guān)D．正相關(guān)，不相關(guān)，負(fù)相關(guān)1234√3．兩個變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是(

)A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x