不等式于不等式組的綜合應(yīng)用

不等式與不等式組的綜合應(yīng)用CATALOGUE目錄不等式基本概念與性質(zhì)一元一次不等式及其解法一元二次不等式及其解法含有參數(shù)的不等式問題探討絕對(duì)值不等式及其解法不等式組及其解法01不等式基本概念與性質(zhì)用不等號(hào)（<、>、≤、≥）連接兩個(gè)解析式而成的不等式不等式定義可以用文字語言、符號(hào)語言、圖形語言來表示表示方法不等式定義及表示方法不等式基本性質(zhì)如果x>y，那么可以推出y<x；反之，如果x<y，那么可以推出y>x如果x>y且y>z，那么可以推出x>z如果x>y，而a為任意實(shí)數(shù)或整式，那么可以推出x+a>y+a如果x>y>0，而a為大于0的實(shí)數(shù)或整式，那么可以推出ax>ay對(duì)稱性傳遞性可加性正乘性利用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示不等式解集的方法，如(a,b)表示a<x<b在數(shù)軸上標(biāo)出不等式的解集，用實(shí)心點(diǎn)表示包括該點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括該點(diǎn)，并用箭頭表示方向區(qū)間表示法與數(shù)軸表示法數(shù)軸表示法區(qū)間表示法02一元一次不等式及其解法一元一次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式。特點(diǎn)一元一次不等式的左右兩邊都是整式，不等號(hào)兩邊都是整式。一元一次不等式概念及特點(diǎn)系數(shù)化為1把不等式的兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，得到未知數(shù)的解集。合并同類項(xiàng)把不等式兩邊的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)。移項(xiàng)把不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式，使不等式的形式更簡潔。去分母根據(jù)不等式的性質(zhì)，把不等式的兩邊同時(shí)乘以各分母的最小公倍數(shù)，得到整式不等式。去括號(hào)根據(jù)去括號(hào)法則和分配律，把不等式中的括號(hào)去掉。一元一次不等式解法步驟123解不等式2x-1<5。例題1此題是一元一次不等式的簡單應(yīng)用，通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，可以求出未知數(shù)的解集。分析將不等式兩邊同時(shí)加1，得2x<6；再將兩邊同時(shí)除以2，得x<3。所以，不等式的解集為x<3。解答典型例題分析與解答分析此題是一元一次不等式組的綜合應(yīng)用，需要分別求出每個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共解集。例題2解不等式組{x-3<5,2x+1>7}。解答對(duì)于第一個(gè)不等式x-3<5，將兩邊同時(shí)加3，得x<8；對(duì)于第二個(gè)不等式2x+1>7，將兩邊同時(shí)減1，得2x>6，再將兩邊同時(shí)除以2，得x>3。所以，不等式組的公共解集為3<x<8。典型例題分析與解答03一元二次不等式及其解法只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式。一元二次不等式一元二次不等式的一般形式為$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$，其中$a,b,c$為常數(shù)，且$aneq0$。特點(diǎn)一元二次不等式概念及特點(diǎn)1.將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：$ax^2+bx+c>0$或$ax^2+bx+c<0$。2.計(jì)算判別式$Delta=b^2-4ac$。3.根據(jù)判別式的值，確定不等式的解集一元二次不等式解法步驟當(dāng)$Delta>0$時(shí)，不等式有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，解集為兩個(gè)解之間的區(qū)間或兩個(gè)解之外的區(qū)間。當(dāng)$Delta<0$時(shí)，不等式無實(shí)數(shù)解，解集為全體實(shí)數(shù)或空集。當(dāng)$Delta=0$時(shí)，不等式有一個(gè)重根，解集為根之外的區(qū)間。4.根據(jù)題目要求，寫出不等式的解集。一元二次不等式解法步驟

判別式在解一元二次不等式中的應(yīng)用判斷不等式是否有實(shí)數(shù)解當(dāng)$Deltageq0$時(shí)，不等式有實(shí)數(shù)解；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，不等式無實(shí)數(shù)解。確定不等式的解集范圍根據(jù)判別式的值，可以確定不等式的解集是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解之間的區(qū)間、一個(gè)重根之外的區(qū)間、全體實(shí)數(shù)或空集。判斷不等式的解的個(gè)數(shù)當(dāng)$Delta>0$時(shí)，不等式有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，不等式有一個(gè)重根；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，不等式無實(shí)數(shù)解。04含有參數(shù)的不等式問題探討參數(shù)影響不等式的解集01當(dāng)不等式中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致不等式的解集發(fā)生變化。因此，在解決這類問題時(shí)，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，以確定不等式的解集。參數(shù)的取值范圍02在解決含有參數(shù)的一元一次不等式問題時(shí)，需要注意參數(shù)的取值范圍。如果參數(shù)取值范圍受到限制，那么不等式的解集也會(huì)受到限制。典型例題03例如，對(duì)于不等式$ax+b>0$（其中$a$和$b$是參數(shù)），當(dāng)$a>0$時(shí)，解集為$x>-frac{a}$；當(dāng)$a<0$時(shí)，解集為$x<-frac{a}$。含有參數(shù)的一元一次不等式問題參數(shù)影響二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)密切相關(guān)。當(dāng)二次函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的變化會(huì)影響二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，從而影響不等式的解集。判別式與參數(shù)的關(guān)系在解決含有參數(shù)的一元二次不等式問題時(shí)，需要關(guān)注判別式與參數(shù)的關(guān)系。判別式的正負(fù)決定了二次方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，從而影響不等式的解集。典型例題例如，對(duì)于不等式$ax^2+bx+c>0$（其中$a$、$b$和$c$是參數(shù)），當(dāng)$a>0$且判別式$Delta=b^2-4ac<0$時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)$a<0$且判別式$Delta=b^2-4ac<0$時(shí)，不等式無解。含有參數(shù)的一元二次不等式問題解不等式$(x-a)(x-a^2)<0$（其中$a$是實(shí)數(shù)）。例題一該不等式是一元二次不等式，含有參數(shù)$a$。根據(jù)一元二次不等式的解法，我們需要先求出對(duì)應(yīng)的二次方程的根，然后根據(jù)根的情況確定不等式的解集。分析當(dāng)$a=0$或$a=1$時(shí)，不等式變?yōu)?(x-a)^2<0$，顯然無解；當(dāng)$a<0$或$a>1$時(shí)，不等式的解集為$(a,a^2)$；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，不等式的解集為$(a^2,a)$。解答典型例題分析與解答05絕對(duì)值不等式及其解法絕對(duì)值定義對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，其絕對(duì)值$|x|$定義為：若$xgeq0$，則$|x|=x$；若$x<0$，則$|x|=-x$。絕對(duì)值性質(zhì)非負(fù)性、對(duì)稱性、三角不等式。絕對(duì)值概念及性質(zhì)回顧一元一次絕對(duì)值不等式形如$|ax+b|>c$或$|ax+b|<c$（$aneq0$）。求解方法：根據(jù)絕對(duì)值的定義，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組進(jìn)行求解。一元二次絕對(duì)值不等式形如$|ax^2+bx+c|>0$或$|ax^2+bx+c|<0$（$aneq0$）。求解方法：先求出$ax^2+bx+c=0$的根，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元二次不等式組進(jìn)行求解。分式絕對(duì)值不等式形如$|frac{ax+b}{cx+d}|>e$或$|frac{ax+b}{cx+d}|<e$。求解方法：先確定分母的符號(hào)，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分式不等式組進(jìn)行求解。絕對(duì)值不等式分類和求解方法例題1根據(jù)絕對(duì)值的定義，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組進(jìn)行求解。分析解答當(dāng)$2x-1geq0$時(shí)，有$2x-1>3$，解得$x>2$；當(dāng)$2x-1<0$時(shí)，有$-(2x-1)>3$，解得$x<-1$。因此，原不等式的解集為$xin(-infty,-1)cup(2,+infty)$。解不等式$|2x-1|>3$。典型例題分析與解答例題2解不等式$|x^2-4x+3|<1$。先求出$x^2-4x+3=0$的根，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元二次不等式組進(jìn)行求解。由$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0$得$x=1,3$。當(dāng)$x<1$或$x>3$時(shí)，有$x^2-4x+3>0$，此時(shí)不等式無解；當(dāng)$1<x<3$時(shí)，有$-(x^2-4x+3)<1$，解得$2-sqrt{2}<x<2+sqrt{2}$。因此，原不等式的解集為$xin(2-sqrt{2},2+sqrt{2})$。分析解答典型例題分析與解答06不等式組及其解法不等式組定義及表示方法定義由幾個(gè)含有相同未知數(shù)的不等式組成，并且未知數(shù)的值要同時(shí)滿足這幾個(gè)不等式的條件，這樣的不等式組稱為不等式組。表示方法不等式組通常用大括號(hào)“{}”將各個(gè)不等式連接起來，如$left{begin{matrix}x>1x<2end{matrix}right.$。步驟1.分別求出每個(gè)不等式的解集；3.將交集表示為解集的形式，即得出不等式組的解集。2.找出所有解集的交集；方法：解不等式組的主要方法是找出各個(gè)不等式的解集，然后求這些解集的交集。解不等式組的方法和步驟例題：解不等式組$left{begin{matrix}2x-1>3frac{x+1}{2}-1leqslantx-1end{matrix}right.$。分析：首先分別解出兩個(gè)不