專題20概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類（15大核心考點(diǎn)）（講義）

專題20概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類【目錄】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 5 11考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表 11考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征 12考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合 15考點(diǎn)四：非線性擬合處理 17考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn) 18考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì) 21考點(diǎn)七：正態(tài)分布 24考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布 25考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 26考點(diǎn)十：古典概型 27考點(diǎn)十一：條件概率與全概率 28考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問題 30考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題 31考點(diǎn)十四：新賽制概率問題 33考點(diǎn)十五：遞推型概率命題 35概率與統(tǒng)計(jì)小題是每年高考必考的內(nèi)容．一是求統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)；二是求古典概型；三是相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．多以選擇、填空題的形式考查，難度容易或中等．考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)、中位數(shù)2023年上海卷第14題，4分2022年甲卷第2題，5分2021年甲卷第2題，5分2021年I卷第9題，5分【命題預(yù)測】預(yù)測2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲透在解答題的表達(dá)之中，相對獨(dú)立．具體估計(jì)為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng)．（2）熱點(diǎn)是古典概型.古典概型2023年乙卷第9題，5分2023年甲卷第4題，5分2022年I卷第5題，5分2022年甲卷第6題，5分相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式2022年乙卷第10題，5分2021年天津卷第14題，5分回歸方程、正態(tài)分布2023年天津卷第7題，5分2021年II卷第5題，5分1、加強(qiáng)識圖能力，理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系；折線圖注意上升趨勢以及波動性；扇形圖數(shù)據(jù)可先用表格列出，再計(jì)算、判斷．2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的，小矩形的面積，所有小矩形的面積之和為1．3、求回歸方程（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過換元構(gòu)造線性相關(guān)．（2）利用公式，求出回歸系數(shù)．（3）待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)．4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．5、比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法（1）通過計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．（2）通過計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．6、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表．（2）根據(jù)公式，計(jì)算的觀測值．（3）比較與臨界值的大小關(guān)系，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷．7、概率分布與不同知識背景結(jié)合考查對實(shí)際問題的解決能力（1）與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問題（2）與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問題（3）與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問題（4）與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問題（5）與其他背景結(jié)合的實(shí)際問題1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性 B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān) C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān) D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245【答案】【解析】相關(guān)系數(shù)，且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布，花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245．故選：．2．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為A． B． C． D．【答案】【解析】某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本事件總數(shù)，其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本事件個數(shù)，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為．故選：．3．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學(xué)生來自不同年級包含的基本事件個數(shù)，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為．故選：．4．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對于進(jìn)出口貿(mào)易額描述錯誤的是A．從2018年開始，2021年的進(jìn)出口總額增長率最大 B．從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大 C．從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大 D．從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長率最小【答案】【解析】顯然2021年相對于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最大，對；統(tǒng)計(jì)圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故對；2020年相對于2019的進(jìn)口總額是減少的，故錯；顯然進(jìn)出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，且計(jì)算增長率時(shí)前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，正確．故選：．5．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】從2至8的7個整數(shù)中任取兩個數(shù)共有種方式，其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，故所求概率為．故選：．6．（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大 C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大【答案】【解析】選項(xiàng)，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，故錯誤；設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，，同理可得，，，，，最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．故選：．7．（2022?甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】根據(jù)題意，從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有，，，，，，共6種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率；故選：．8．（2022?甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于 B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于 C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差 D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】【解析】對于，講座前問卷答題的正確率從小到大為：，，，，，，，，，，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：，故錯誤；對于，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：，故正確；對于，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故錯誤；對于，講座后問卷答題的正確率的極差為：，講座前正確率的極差為：，講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故錯誤．故選：．9．（2021?甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為 B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為 C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】【解析】對于，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)正確；對于，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)正確；對于，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項(xiàng)錯誤；對于，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)正確．故選：．10．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等【答案】【解析】因?yàn)槟澄锢砹康臏y量結(jié)果服從正態(tài)分布，所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差越小，則分布越集中，對于，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)正確；對于，測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項(xiàng)正確；對于，由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)正確；對于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，故測量結(jié)果落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故選項(xiàng)錯誤．故選：．11．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】【解析】對于，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為，故錯誤；對于，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是，故錯誤；對于，標(biāo)準(zhǔn)差，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故正確；對于，，2，，，為非零常數(shù)，的極差為，的極差為，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故正確．故選：．12．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．【答案】；．【解析】一次活動中，甲獲勝的概率為，次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：；．考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表【例1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選?。?/p>

）A．8人 B．6人 C．4人 D．2人【答案】D【解析】由題可知，男居民選取人，女居民選取人，則女居民比男居民多選取2人.故選：D.【變式11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．02 C．63 D．01【答案】D【解析】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍去，重復(fù)），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.即第5個數(shù)字為01.故選:D.【變式12】（2024·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）某飲料廠生產(chǎn)A，B兩種型號的飲料，每小時(shí)可生產(chǎn)兩種飲料共1000瓶，質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000瓶中抽取了60瓶進(jìn)行質(zhì)量檢測，其中抽到A型號飲料15瓶，則每小時(shí)B型號飲料的產(chǎn)量為（

）A．600瓶 B．750瓶 C．800瓶 D．900瓶【答案】B【解析】設(shè)每小時(shí)B型號飲料的產(chǎn)量為，所以有，故選：B考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征【例2】（多選題）（2024·江西·高三玉山一中校聯(lián)考階段練習(xí)）江西省2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（

）A．江西省2017年到2022年這6年的常住人口在2019年取得最大值B．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的極差為148.70萬C．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為4527.98萬D．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的第80百分位數(shù)為4647.60萬【答案】ABD【解析】由圖可知，將江西省2017年到2022年這6年的常住人口（單位：萬）按照從小到大的順序排列為4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，對于A項(xiàng)，這6年的常住人口在2019年取得最大值，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，極差為萬，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，中位數(shù)為萬，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)為4647.60萬，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【變式21】（多選題）（2024·廣東惠州·高三惠州一中?？茧A段練習(xí)）某地環(huán)境部門對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)均不大于100，則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天檢測所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，環(huán)境治理一定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是（

）A．甲地區(qū)：平均數(shù)為90，方差為10 B．乙地區(qū)：平均數(shù)為60，眾數(shù)為50C．丙地區(qū)：中位數(shù)為50，極差為70 D．丁地區(qū)：極差為20，80%分位數(shù)為80【答案】AD【解析】設(shè)每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為（，2，…，10），則方差.對于A，由，得，若這10天中有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，則必有，矛盾，所以這10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)都不大于100，故A正確；對于B，假設(shè)有8天為50，有1天為140，有1天為60，此時(shí)平均數(shù)為60，眾數(shù)為50，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo)，故B錯誤；對于C，假設(shè)第1天為120，后面9天為50，此時(shí)中位數(shù)為50，極差為70，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo)，故錯誤；對于D，如果最大值大于100，根據(jù)極差為20，則最小值大于80，這與分位數(shù)為80矛盾，故最大值不大于100，故D正確.故選：AD【變式22】（多選題）（2024·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考期末）某單位為了解職工健康情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從5000名職工中抽取了一個容量為100的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為，下列說法正確的是（

）A．樣本為該單位的職工 B．每一位職工被抽中的可能性為C．該單位職工平均體重 D．單位職工的方差【答案】BCD【解析】A項(xiàng)，樣本為該單位的職工的健康情況，所以A項(xiàng)錯誤；B項(xiàng)，由題可知，每一位職工被抽中的可能性為，所以B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，D項(xiàng)，設(shè)設(shè)男性人數(shù)為，女性人數(shù)為，該單位全體人員體重的平均數(shù)為：，方差，所以C、D項(xiàng)正確；故選：BCD.【變式23】（多選題）（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x）“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)．“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多，對與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高．如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖．根據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論正確的是（）A．這半年中，網(wǎng)民對與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化B．這半年中，網(wǎng)民對與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱C．從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2018年10月份的方差大于11月份的方差D．從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值【答案】CD【解析】在A中，這半年中，網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度沒有規(guī)律，故A錯誤；在B中，這半年中，網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈現(xiàn)出一定的波動性，而不是不斷減弱，故B錯誤；在C中，從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C正確；在D中，從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值，故D正確．故選：CD．【變式24】（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試成績前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，則（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．筆試成績的60%分位數(shù)為80C．參加面試的考生的成績最低為86分 D．筆試成績的平均分為76分【答案】BD【解析】對于A中，由年齡的扇形統(tǒng)計(jì)圖，可得90后的考生有人，00后的考生有人，可得人，所以A不正確；對于B中，由頻率分布直方圖性質(zhì)，可得，解得，則前三個矩形的面積和，所以試成績的分位數(shù)為分，所以B正確；對于C中，設(shè)面試成績的最低分為，由前三個矩形的面積和為，第四個矩形的面積為，則分，所以C不正確；對于D中，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得考試的平均成績?yōu)椋悍?，所以D正確.故選：BD.考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合【例3】某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個）與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度481018微生物數(shù)量（個）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為個.【答案】9【解析】由表格數(shù)據(jù)可知，，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，故當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為9個.故答案為：9【變式31】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)收集了變量，的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：x0.5233.545y15為了研究，的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正好經(jīng)過樣本點(diǎn)，則．【答案】69【解析】因?yàn)榫€性回歸方程經(jīng)過樣本點(diǎn)，所以.因?yàn)椋海?所以：.故答案為：69【變式32】某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)(元)銷量(件)由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為【答案】/【解析】由已知，，又樣本中心在回歸直線上，即，解得，所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線上；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線左下方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線左下方；所以個樣本點(diǎn)中在回歸直線右上方的有個，所以在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為，故答案為：.考點(diǎn)四：非線性擬合處理【例4】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B． C．35 D．21【答案】B【解析】由題意得，故，即，故，解得.故選：B【變式41】（2024·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型對與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測第7個月該物種的繁殖數(shù)量為（

）第個月123繁殖數(shù)量A．百只 B．百只C．百只 D．百只【答案】D【解析】由題意，兩邊取自然對數(shù)得，令，則，，，∵回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，∴，得，∴，則，當(dāng)時(shí)，．故選：D.【變式42】（2024·全國·高三專題練習(xí)）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到楊梅銷售價(jià)格（單位：Q元/千克）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間t/（單位：天）102070銷售價(jià)格Q（單位：元/千克）10050100根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選取一個描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：.利用你選取的函數(shù)模型，在以下四個日期末，楊梅銷售價(jià)格最低的日期為（

）A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日【答案】C【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系不可能是常數(shù)函數(shù)、也不可能是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)在時(shí)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格中的數(shù)據(jù)不吻合，所以應(yīng)選取進(jìn)行描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得，解得，所以，，所以當(dāng)時(shí)楊梅銷售價(jià)格最低，而6月5日時(shí)，6月15日時(shí)，6月25日時(shí)，7月5日時(shí)，所以時(shí)楊梅銷售價(jià)格最低.故選：C.考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)【例5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了解喜愛足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，抽取女性人數(shù)是男性的2倍，男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的，女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的，若本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查的男性至少有（

）人0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】設(shè)男性人數(shù)為，依題意，得列聯(lián)表如下：喜愛足球不喜愛足球合計(jì)男性女性合計(jì)則的觀測值為，因?yàn)楸敬握{(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，于是，即，解得，而，因此故選：B【變式51】（2024·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；根據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯誤；樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯誤.故選：C.【變式52】（2024·浙江溫州·高三蒼南中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7選3的模式，即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）選物理不選物理總計(jì)男生340110450女生140210350總計(jì)480320800表一選生物不選生物總計(jì)男生150300450女生150200350總計(jì)300500800表二試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（

）附:A．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別有關(guān)B．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別有關(guān)C．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無關(guān)D．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別無關(guān)【答案】C【解析】由題意，先分析物理課是否與性別有關(guān)：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合題干表格數(shù)據(jù)，，因此，有充分證據(jù)推斷選擇物理學(xué)科與性別有關(guān)再分析生物課是否與性別有關(guān)：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合題干表格數(shù)據(jù)，，因此，沒有充分證據(jù)推斷選擇生物學(xué)科與性別有關(guān)故選：C考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)【例6】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中，為了解某考生的成績在全體考生成績中的位置，通常將考生的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)．定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，其中為原始分?jǐn)?shù)，為原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，為原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差．已知某校的一次數(shù)學(xué)考試，全體考生的平均成績，標(biāo)準(zhǔn)差，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，記平均成績?yōu)?，?biāo)準(zhǔn)差為，則(

)A． B． C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)平均數(shù)與方差公式，得，，即，．故選：BD．【變式61】（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“數(shù)”為：在點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)，如：，若點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)的“數(shù)”的平均值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)，可分為三類：（1）恰有3個相同數(shù)字的排列為種，則共有個；（2）恰有2個相同數(shù)字的排列為種，則共有個；（3）恰有0個相同數(shù)字的排列為種，則共有個；所以平均值為故選：A.【變式62】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差.下圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【解析】由給定的平均差公式可知：數(shù)據(jù)越集中于平均值附近，平均差越小.甲乙兩圖的縱坐標(biāo)表示的為頻率/組距，即指數(shù)據(jù)落在此處的概率，甲圖中，不同組距區(qū)間的概率相差不大，即指數(shù)據(jù)較為均勻的分布在各區(qū)間，而乙圖數(shù)據(jù)較為集中的分布在乙圖最高處指代的區(qū)間，其他區(qū)間分布的比較少，故乙圖平均差比較小.故選：C【變式63】（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）恩格爾系數(shù)(Engel’sCoefficien)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.給出三個結(jié)論：①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.其中正確的是（

）A．① B．② C．①② D．②③【答案】C【解析】由折線圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，結(jié)論①正確；恩格爾系數(shù)越小，居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟(jì)越富裕，結(jié)論②正確；家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問題，收入的大部分用來購買食品，結(jié)論③錯誤.故選：C考點(diǎn)七：正態(tài)分布【例7】已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（

）A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【解析】由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運(yùn)動總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為,故選：B.【變式71】（2024·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）阿鑫上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯誤的是（

）A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．【答案】D【解析】觀察圖象知，，對于A，的密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖，即隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差小于的標(biāo)準(zhǔn)差，即，因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對于B，顯然，則當(dāng)有34min可用時(shí)，坐公交車不遲到的概率大，B正確；對于C，顯然，則當(dāng)有38min可用時(shí)，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對于D，顯然，因此，D錯誤.故選：D【變式72】（2024·全國·模擬預(yù)測）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計(jì)300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是（

）（若隨機(jī)變量，則，，）A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【解析】由題可知，，，.所以300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個的天數(shù)大約是天．故選：B．考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布【例8】（2023上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為（結(jié)果精確到0.01）．【答案】0.25【解析】從這批產(chǎn)品中抽取3件，則事件總數(shù)為，其中恰好有一件二等品的事件有，所以恰好有一件二等品的概率為.故答案為：0.25【變式81】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為．【答案】【解析】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)成功試驗(yàn)的概率，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，所以重復(fù)做這樣的試驗(yàn)4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為，故答案為：．【變式82】（2023上·江蘇常州·高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．【答案】17【解析】繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時(shí)概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故答案為：17.考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差【例9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)參加學(xué)校數(shù)學(xué)知識競賽，規(guī)定每個同學(xué)答20道題，已知該同學(xué)每道題答對的概率為0.6，每道題答對與否相互獨(dú)立．若答對一題得3分，答錯一題扣1分，則該同學(xué)總得分的數(shù)學(xué)期望為，方差為．【答案】2876.8【解析】設(shè)該同學(xué)答對題目的數(shù)量為，因?yàn)樵撏瑢W(xué)每道題答對的概率為，共答道題，所以，所以，．設(shè)該同學(xué)總得分為，則，，．故答案為：；.【變式91】（2024·全國·高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則，．【答案】【解析】由題意得服從二項(xiàng)分布，且每次取到次品的概率為，所以，所以，．故答案為：；.【變式92】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為．【答案】1.2【解析】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中，，，于是次品件數(shù)X的期望，故答案為：1.2考點(diǎn)十：古典概型【例10】（2024·全國·模擬預(yù)測）某藝術(shù)展覽會的工作人員要將A，B，C三幅作品排成一排，則A，B這兩幅作品排在一起的概率為．【答案】【解析】根據(jù)題意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6種情況，A，B這兩幅作品排在一起的情況有ABC，BAC，CBA，CAB，共4種，則A，B這兩幅作品排在一起的概率.故答案為：【變式101】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，三個開關(guān)控制著號四盞燈，其中開關(guān)控制著號燈，開關(guān)控制著號燈，開關(guān)控制著1，2，4號燈．開始時(shí)，四盞燈都亮著．現(xiàn)先后按動這三個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，則其中1號燈或2號燈亮的概率為．【答案】【解析】先后按動中的兩個不同的開關(guān)，有（種）按法．若要1號燈亮，則先按第一個開關(guān)時(shí)，1號燈滅，再按第二個開關(guān)時(shí)，1號燈亮，此時(shí)對應(yīng)的按法有2種，即；同理可得，若要2號燈亮，有，即2種按法．綜上，要1號燈或2號燈亮有（種）按法，故所求的概率．故答案為：【變式102】（2024·全國·模擬預(yù)測）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家?！薄吧呈[牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設(shè)在上菜的過程中服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為．【答案】/0.25【解析】服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜有種排法，“沙蔥牛肉”，“北京烤鴨”相鄰有種排法，所以所求概率．故答案為：.考點(diǎn)十一：條件概率與全概率【例11】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）甲和乙兩個箱子中各裝有10個除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球、2個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則【答案】【解析】由題意得，，，若發(fā)生，此時(shí)乙箱中有6個紅球，2個白球和3個黑球，則，先發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個紅球，3個白球和3個黑球，則，先發(fā)生，此時(shí)乙箱中有5個紅球，2個白球和4個黑球，則．，；.故答案為：【變式111】（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件A，B滿足，，，則.【答案】/0.375【解析】由，得；由全概率公式：，則.故答案是：.【變式112】某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學(xué)生對勞動教育重要性的認(rèn)識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動技能學(xué)習(xí)，恰有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的概率則為；在至少有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的概率．【答案】【解析】由題設(shè)，抽取2人，恰有一名女生參加，其概率，至少有一名女生參加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率，所以，在至少有一名女生參加條件下，恰有一名女生的概率.故答案為：，考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問題【例12】（2024·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板．上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內(nèi)．若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會均等，則小球最終落入④號球槽的的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)這個球落入④號球槽為時(shí)間，落入④號球槽要經(jīng)過兩次向左，三次向右，所以.故選：D.【變式121】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國實(shí)行個人所得稅專項(xiàng)附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老年、中年、青年員工分別有90人、270人、180人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的情況，再從這6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由分層抽樣等比例性質(zhì)知：老年、中年、青年員工分別抽取了1人、3人、2人，所以6人中任選2人中恰有一名是中年員工的概率為.故選：B【變式122】（2024·四川綿陽·鹽亭中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知、的對應(yīng)值如下表所示:xy與具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，可用回歸直線方程近似刻畫，則在的取值中任取兩個數(shù)均不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，所以這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上，所以，解得，所以的取值分別為、、、、，在這個數(shù)中，任取兩個，取到的兩個數(shù)都不大于的概率為.故選：B.考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題【例13】（2024·浙江寧波·效實(shí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個數(shù)記為，則（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，，∵，∴.∵，，，∴，故選：C.【變式131】（2024·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可先算出10個元素中取出3個的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個有種情況，則可由古典概率得；考點(diǎn)：古典概率的算法．【例14】（2024·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）盒中有a個紅球，b個黑球，c個白球，今隨機(jī)地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球d個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)事件“第一次抽出的是紅球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”.由全概率公式知由題意，，，，，，則,故選：A考點(diǎn)十四：新賽制概率問題【例15】（2024·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)與法國隊(duì)在120分鐘比賽中戰(zhàn)平，經(jīng)過四輪點(diǎn)球大戰(zhàn)阿根廷隊(duì)以總分戰(zhàn)勝法國隊(duì)，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內(nèi)斯撲出法國隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇，撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點(diǎn)球的個數(shù)X的期望為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為．門將在前四次撲出點(diǎn)球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，4．，，，1，2，3，4．期望．故選：C．【變式151】通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢.單檢，是將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨(dú)檢測；混檢，是將多個人