人教版九年級數(shù)學上冊同步壓軸題專題01韋達定理的四種考法（原卷版+解析）

專題01韋達定理的四種考法【基礎知識點】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2類型一、直接運用韋達定理求代數(shù)式的值例1.已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是()A．0 B．1 C．2 D．-3【變式訓練1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，則x12﹣2017x1﹣2018x2的值為()A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【變式訓練2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的兩個實數(shù)根分別為，且，則k的值是()A．－2 B．2 C．－1 D．1【變式訓練3】設α、β是方程x2+x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，則α2+2α+β的值為_____．類型二、降冪思想求值例1.已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是(

)A． B． C． D．【變式訓練1】若，則的值為_________________．【變式訓練2】若a2+a﹣1=0，則代數(shù)式a4+3a的值為_____．【變式訓練3】若，那么代數(shù)式的值是_________.類型三、構(gòu)造方程思想求值例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，則的值為()A．﹣402 B． C． D．【變式訓練1】已知實數(shù)，滿足等式，，則的值是______．【變式訓練2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，則代數(shù)式m2+7mn－2n2的值為_______．【變式訓練3】若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的值為______．【變式訓練4】設實數(shù)s、t分別滿足，并且st≠1，求____類型四、根的取值范圍問題例1．方程的兩根分別為，，且，則的取值范圍是____．【變式訓練1】已知x1，x2是關(guān)于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的兩個實數(shù)根．(1)若x1≠x2，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a使得x12＝x22成立？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．【變式訓練2】已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．(1)若，求n的值；(2)已知等腰三角形的一邊長為7，若、恰好是△另外兩邊的長，求這個三角形的周長．【變式訓練3】關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求分別滿足下列條件的取值范圍：(1)兩根都小于0；(2)兩根都大于1；(3)方程一根大于1，一根小于1．【變式訓練4】設關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．(1)求的值；(2)求證：，且；(3)若，試求的最大值．專題01韋達定理的四種考法【基礎知識點】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2類型一、直接運用韋達定理求代數(shù)式的值例1.已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是()A．0 B．1 C．2 D．-3【答案】A【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴==0，故選：A．【變式訓練1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，則x12﹣2017x1﹣2018x2的值為()A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【答案】B【詳解】x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的兩根，，，．故選B．【變式訓練2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的兩個實數(shù)根分別為，且，則k的值是()A．－2 B．2 C．－1 D．1【答案】D【解析】關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，，，，，，整理得出：，解得：，故選：D．【變式訓練3】設α、β是方程x2+x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，則α2+2α+β的值為_____．【答案】2017【詳解】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，∴α2+α﹣2018＝0，∴α2＝﹣α+2018，∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，∴α+β＝﹣1，∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．故答案為2017．類型二、降冪思想求值例1.已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵a與b是方程的兩根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0，∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故選：D．【變式訓練1】若，則的值為_________________．【答案】【詳解】，①．①等式兩邊同乘得，代回原式．．故答案為．【變式訓練2】若a2+a﹣1=0，則代數(shù)式a4+3a的值為_____．【答案】2【詳解】∵，∴，，∴.【變式訓練3】若，那么代數(shù)式的值是_________.【答案】-6【詳解】由已知條件得到x2+x=1；再將所求的代數(shù)式變形為：x(x2+x)+x2-7，然后將其整體代入求值即可．解：∵，∴x2+x=1，∴x3+2x2?7=x3+x2+x2?7=x(x2+x)+x2?7=x+x2?7=1-7=?6.故答案為?6.類型三、構(gòu)造方程思想求值例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，則的值為()A．﹣402 B． C． D．【答案】C【詳解】將9n2+2010n+5=0方程兩邊同除以n2，變形得：5×()2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0，∴m與為方程5x2+2010x+9=0的兩個解，則根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得m?==．故選C【變式訓練1】已知實數(shù)，滿足等式，，則的值是______．【答案】【詳解】解：∵實數(shù)，滿足等式，，∴m，n是方程的兩實數(shù)根，∴，，∴，故答案為：【變式訓練2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，則代數(shù)式m2+7mn－2n2的值為_______．【答案】?21【詳解】∵，，∴原式=(m2＋mn)?2(n2?3mn)=?1?20=?21，故答案為：?21．【變式訓練3】若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的值為______．【答案】98【解析】∵實數(shù)、滿足，，∴、是方程的兩個根，∴，，∴==，故答案是：98．【變式訓練4】設實數(shù)s、t分別滿足，并且st≠1，求____【答案】-5【詳解】由題意得s與是方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系分別求出兩根的和與兩根的積，代入代數(shù)式即可求出結(jié)果．把方程轉(zhuǎn)化為∴s與是方程的兩個根∴，∴類型四、根的取值范圍問題例1．方程的兩根分別為，，且，則的取值范圍是____．【答案】【詳解】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣3，∵x1＜0＜x2＜1，∴x1x2＜0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，∴m﹣3＜0，(x1﹣1)(x2﹣1)＞0，x1x2﹣(x1+x2)+1＞0，即m﹣3+m+1＞0，解得m＞1，∴1＜m＜3．【變式訓練1】已知x1，x2是關(guān)于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的兩個實數(shù)根．(1)若x1≠x2，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a使得x12＝x22成立？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)且；(2)存在，a的值為1或-1【詳解】解：(1)由題意得，解得：a≠0且a≠1．故實數(shù)a的取值范圍是：a≠0且a≠1；(2)存在；①若x1＝x2，則，解得：a＝1；②若x1+x2＝0，則，解得：a＝﹣1．綜上所述，a＝1或﹣1．【變式訓練2】已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根．(1)若，求n的值；(2)已知等腰三角形的一邊長為7，若、恰好是△另外兩邊的長，求這個三角形的周長．【答案】(1)6；(2)17.【詳解】解：(1)由題意得：，∴解得：∵、是關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根，∴得：∴(2)①當7為底，即時，則，即解得把n=2代入方程得∴∵3+3＜7(舍去)②當7為腰，，即時，將x=7代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，解得當時，=22，解得，∴三角形的周長為3+7+7=17；當時，=10，解得∵7+7＜15(舍去)綜上，三角形的周長為17．【變式訓練3】關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求分別滿足下列條件的取值范圍：(1)兩根都小于0；(2)兩根都大于1；(3)方程一根大于1，一根小于1．【答案】(1)-2＜a＜-1；(2)2＜a＜3；(3)a＞3【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2-2ax+a+2=0有兩個不相等的實根，∴△=(-2a)2-4(a+2)＞0，∴a＜-1或a＞2．設方程x2-2ax+a+2=0的兩根為α，β，α+β=2a，αβ=a+2．(1)∵兩根都小于0，∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，解得：-2＜a＜0，又，a＜0；∵a＜-1或a＞2，∴-2＜a＜-1；(2)∵兩根都大于1，∴(α-1)(β-1)＞0，∴αβ-(α+β)+1＞0，∴a+2-2a＞-1，∴a＜3，又，a＞1；又a＜-1或a＞2，∴2＜a＜3；(3))∵一根大于1，一根小于1，∴(α-1)(β-1)＜0，∴αβ-(α+β)+1＜0，∴a+2-2a＜-1，∴a＞