高中數(shù)學 切線問題

專題1:切線問題

1.若函數(shù)，（x）=lnx與函數(shù)g（x）=x2+2x+a*<0）有公切線，則實數(shù)"的

取值范圍是（

A.(In—,+oo)B,(T,+°°)C.d,+8)D.(-In2,+oo)

1.A

【解析】設公切線與函數(shù)，(x)=lnx切于點4不1呻)(西>0),則切線方

程為y-lnx|=：(x-x)；設公切線與函數(shù)g(x)=f+2尤+a切于點

x\

B(X2,X[+2X2+a)(x2<0),貝1」切線方程為丫一0；+2*2+。)=2(々+1)。一工2),

；—=2(%+1)，1

所以有｛3-Vx2<0<x1,0<—<2.

ii2玉

InXj-]二—%2+a

，]丫11f1Y1

Q=InX]+----1—1=—In—I-2—1,.二,二?

'3JX)%

1

0v，<2,a=-t9—t—In/,

設/z(f)=，*T_]n?0<t<2),則/〃⑺在

42tIt

(0,2)上為減函數(shù)，貝11砥)>//(2)=-1112-1=皿；，aefln-!-,+oo\

2eyZeJ

故選A.

2.已知直線y=2x與曲線〃x)=ln(依+。)相切，則曲的最大值為

()

A.—B.—C.eD.Ie

42

2.C

【解析】設切點（如ln（方。+切，則由r（x°）=后=2得

ax()+b=—a[a>0),

又由In?+。)=2/，得Xo=gln?)+b)=g嗚，則

,aaa.a

b=ax.=---In—,

2°(222

^ah=^a2-^a2ln^(a>0),令g(a)=g/,則

g'(a)=a

22r

故當()<a<2加時g'(a)>0；當a>2八時g'(a)<0,故當a=2加時g(a)

取得極大值也即最大值gQ&)=e.

故選：C.

3.已知P是曲線G：y=靖上任意一點，點。是曲線。2：y=叱上任

X

意一點，則歸。|的最小值是()

A[In2n11n2

A.1---B.1+—

22

C.2D.V2

3.D

【解析】(1)曲線G：y=e;求導得y，=e;易知G在點A(O,1)處切

線方程為y=x+i.

下面證明e，x+l恒成立：

構(gòu)造函數(shù)/(x)=e，7-l,求導得r(x)=e-l,則,0)時，

制尤)<0,/(X)單調(diào)遞減；XG(0,+oo)時,f^X)>0,/(X)單調(diào)遞增.

故函數(shù)/(力2/(0)=0,即爐。+1恒成立，有G為下凸曲線

(2)曲線G：y=—,求導得y'=上墳，當x=l時，/=1,且。2

Xr

過點B(LO)

故G在點(1,0)處的切線方程為y=x-1.

下面證明x-1之一在(0，+?)上恒成立：

令尸(x)=M_》_in%,則F(x)=2x-l-i=2/一1=已出但。,

XXX

當0<x<l時，F(xiàn)(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減；當x>l時，F(xiàn)(x)>0,F(x)

單調(diào)遞增，

所以尸(力,=-1)=。，即以》*1)=0,

則f—x—inxNO,即犬-后手在(。,+?)上恒成立，有。2為上凸曲線

(3)由。在A(O,1)處切線y=x+i與。2在3(1,0)處的切線y=x-i,

知：它們相互平行

又直線43的斜率Z=-1,即可知：直線A5與兩條切線同時垂直

綜上，知：|「。|最小時，4即為尸點，B即為。點，故

IPQImSA例

IPQImin=|=Ji?+/=\/2

故選：D

4.若曲線y=^+2cosx上存在兩條切線相互垂直，則實數(shù)。的取值

范圍是()

A.[SV3]B.[-1,1]C.(…，1]D.[一百，1]

4.A

【解析】y="-2sinx,要使曲線y=6+2cosx上存在兩條切線相互垂

直，

只需切線斜率最小時，其負倒數(shù)仍在導函數(shù)值域內(nèi)取值，即

一「min，，>'，y,顯然y'mn<0,

故只需(y)“而*-i,

因為y'=a-2sinx最小值為a—2<(),最大值為a+2>(),

2

所以3-2)3+2)?-1,即a?3,

解得-G融G.

故選：A.

已知關于％不等式ae'x+b對任意xwR和正數(shù)枚恒成立，貝的

5.b

最小值為()

A.1B.1C.V2D.2

5.B

【解析】設/(x)=ae,，g(x)=x+b,

若ae*2x+b,對任意xeR和正數(shù)/?恒成立，

則"x)Ng(x),對任意xeR和正數(shù)。恒成立，

如圖，

aWO時，aex>x+b,對任意xeR和正數(shù)。不恒成立;

如圖,

Q>0時，

f(x)=aex,則f'(x)=』,

設/'(%0)=。1=1,解得x0=-lna,且/(/)=四"=a/n"=1,

.?.當〃力=絲，的切線斜率為1時，切點坐標為(-Ina,1),

由直線的點斜式方程可得切線方程為>-l=x+lna,

即y=x+ln〃+l,

若/(x"g(x)=x+8,對任意xwR和正數(shù)〃恒成立，則Ina+lNZ?

/.}na-\nb>b-\-\nb

?a、^b-\-\nb

??:乙e，

b

設/z?=〃-1-In/?,b>0

//(。)=1一！=自，

')bb

：,b=l,h'(b)=O,b>\,h'(b)>Q,b<l,h'(b)<Q,

貼)訓1)=0,

b

故選：B.

6.若存在實數(shù)使不等式2elnxWax+匕弓x?+e對一切正數(shù)x都成

立(其中。為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)。的最大值是()

A.4eB.IeC.2&D.2

6.C

【解析】存在實數(shù)。，以使不等式2elnxV"+b[x2+e對一切正數(shù)x都

成立，要求。的最大值，臨界條件即為直線恰為函數(shù)

f(x)=2eInx,g(x)=^x2+e的公切線.

設f(x)=2eInx的切點為(石,y)(%>0),a=^-.

設g(x)=；%2+e的切點為(%,%)(工2>°),g'(x)=x，，a=X2,

2e

所以。=—=x2,.\xIx2=2e.

%

由題得上上1七L”3.2i呻+4一3=。?

x}-x2再

設/?(%)=21n%+~~3(x,>0),

X]

所以以“=2-々=紐吉，

芯X；不

所以函數(shù)〃(%)=21呻+4-3在(0,2小上單調(diào)遞減，在(2&,+8)單調(diào)遞

%

增.

又/z(&)=21n&+，-3=l+2-3=0,

e

當％—>-Foo時，h(x)=2In再H———3>0

}x\?

所以方程另外一個零點一定大于2〃.

所以方程小的零點為“，

所以《nax=%=2&.

故選：C

7.若對函數(shù)〃x)=2x-sinx的圖象上任意一點處的切線4,函數(shù)

g(x)=me、+W-2)x的圖象上總存在一點處的切線上使得/JL則

機的取值范圍是()

A.卜卦)B.巧

C.(-1,0)D.(0,1)

7.D

【解析】由/(x)=2x-sinx,得/"(x)=2-cosxe[l,3],所以

---------€-1,=A,

2-cosxL3_

由g^x)=mex+(m-2)x,得g'(x)=〃箔'+加一2.

⑴當機＞0時，導函數(shù)單調(diào)遞增，g'(x)w(/〃-2,”),

由題意得"，切，,(西必'(“2)=-1；4(工2)=-77夫

J(%)

故〃？一2＜-1,解得0＜〃？＜1；

(2)當加＜0時,導函數(shù)單調(diào)遞減，g，(%)?,,加-2),同理可得

加-2＞一；,與機＜0矛盾，舍去；

(3)當〃7=0時，不符合題意.

綜上所述：〃，的取值范圍為(。，1).

故選：D.

8.若過點P(l,根)可以作三條直線與曲線c：y=xe'相切，則根的取值

范圍是()

C.（0,+。）D.

8.A

【解析】設切點為M(Xo，%)，:y=xe*,，y'=(x+l)e",

.??M處的切線斜率上=(x°+l)e",則過點尸的切線方程為

)=(/+1)6%(%-毛)+/6%,

代入點P的坐標，化簡得加=(-片+%+l)e*,

過點P(L根)可以作三條直線與曲線C：y=xe‘相切，

/.方程加=(-片+/+l)e”有三個不等實根.

令〃力=(―/+》+19,求導得到尸(x)=(-x2-x+2)ec,

可知/(x)在(―,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，在(1,+?)上單

調(diào)遞減，

如圖所示，故/(-2)<機<0,gp-A<m<0.

9.已知丁=依+匕是函數(shù)/(x)=lnx+x的切線，則2攵+Z?的最小值為

9.2+ln2

【解析】根據(jù)題意，直線與函數(shù)/(%)=/辦+%相切，設切

點為(機，lnm+m},

函數(shù)/(%)—lnx+x,其導數(shù)/(%)=g+l，則/(m)=\+1，

則切線的方程為：J-(lnm+m)=(\+1)(x-m),變形可得)=

(—+1)x+lnm-1,

m

又由切線的方程為y=^+6

貝I」k=—+1,b=bim-1,

m

22

貝ij2k+b=—+2+bim-1=/〃〃/+—+1,

mm

212m-2

設g(m)=lnm+—+1,其導數(shù)g'(m)=----r=——,

mmm~m

2

在區(qū)間(0,2)上，g'(m)<0,則g(m)=/〃/n+—+1為減函

m

數(shù)，

2

在(2,+co)上，g'(m)>0,則g(m)=方加+—+1為增函數(shù)，

m

貝(m)min=g(2)=勿2+2,即2%+b的最小值為力2+2；

故答案為出2+2.

10.存在A>0">0使丘-2左+)21nx對任意的x>0恒成立，則1?的最

K

小值為.

10.1

【解析】存在攵>°，臺>°使履一2k+b21nx對任意的x>0恒成立，

則等價于等價于存在4>0，b>0,y=2)+。在y=Inx的上方.

直線丁=上(％-2)+匕過定點(2⑼，即定點在直線x=2上，

設直線y=左(％-2)+匕與y=lnx相切于點(%,%),

y=(lnx),=-,所以氏=；,

%Ao

必必=也坐In——h

得人-

出x-2x-2

00--2

k

化簡得》=2%_l_lnA:,故？=2-1-竽.

kkk

構(gòu)造函數(shù)g(A)=2-J-乎(Z>0),

KK

r/1/,\1l-ln&\nk

則g⑷=hk=記，

所以當0<女<1時，所A)<0,函數(shù)g(左)遞減,

當Q1時，g⑻>0,函數(shù)g(4遞增,

所以g(比n=g(l)=2-1=1.所以白勺最小值為1.

K,

故答案為：1

11.若直線、=履+力是曲線丫=寸的切線，也是曲線丁=3尤+2)的切

線，則仁.

11.1或，

e

【解析】設丫=丘+〃與丫=。'和y=ln(x+2),分別切于點(x"“)，

(x2,ln(x2+2)),

由導數(shù)的幾何意義可得：%=-=+，即々+2=《，①

則切線方程為y-e"=屋1(*-演)，即y=e"x-e*,X|+ex',

^y-ln(x+2)=-(x-x),gpy-ln(x+2)=-(x-x),②

2X)~1~L22X-y~l~L2

將①代入②得y=e"x+2d-1-司，

又直線y=^+b是曲線y=e'的切線，也是曲線y=ln(x+2)的切線,

則-+eA1=2e*-1-苞,

r

即(e--l)(xl+l)=0,

則石=T或X=0,

即女=e°=l或

e

故答案為：1或

e

12.已知直線產(chǎn)質(zhì)+。與函數(shù)產(chǎn)"的圖像相切于點P（%,yJ,與函數(shù)

y=lnx的圖像相切于點2（孫%）,若電＞1,且+neZ,則

n=.

12.4

【解析】依題意，可得X=e'=3+小，整理得

y2=\nx2=kx2-^-h

x2lnx2-lnx2-x2-1=0

令/(x)=xlnx-lnx—x-l(x>l),貝I」/''(x)=Inx—,在(l,+<?)單調(diào)遞增

X

且/'(l)J(2)<0,.?.存在唯一實數(shù)〃ze(l,2),使廣㈣=0

/5焉=/(加)<八1)<°,〃2)=M2-3<0,/⑶=21n3-4<0,

/(4)=31n4-5<0,/⑸=41n5-6>0,,-.%2￡(4,5),故〃=4.

13.若直線產(chǎn)質(zhì)+〃既是曲線y=lnx的切線，又是曲線廣小2的切

線，則》=.

13.。或-1

【解析】令/(x)=lnx,g(x)=e"2,則尸(無)=—,g，(x)="-2.

設切點分別PQ，%),。(工2,%)，

則切線方程為yTn%=；(x-xJ,即y=J.x+lnx「1；

x\x\

X22X22X22X22

y-e~=e~(x-x2),即y=e~-x+(l-x2)e~,

_=e*-?flnx.-2-X

，E，即I732-2，

(1-%2>(1-/—)=0,々=1或%2=2.

當W=1時,切線方程為y=L,.?"=()；