2022-2023學(xué)年河南省信陽(yáng)市高一年級(jí)上冊(cè)1月測(cè)試（二）數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年河南信陽(yáng)市高一上冊(cè)1月測(cè)試（二）數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、單選題（每小題5分，8小題，共40分）

L已知集合∕={（xj）lx+y≤2,x∕eN},則A中元素的個(gè)數(shù)為

A.4B.5C.6D.無(wú)數(shù)個(gè)

2.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,岡表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，例如

[√2]=1,[√3]=1,[-1,6]=-2,那么"岡=M"是x-y∣<1"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知偶函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,當(dāng)xw[0,+oo）時(shí)，=則/（x-l）<l的

解集為

4.函數(shù)y=的圖像大致是

5.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(x-4)=-/(x),且在區(qū)間［0,2］上是增函

數(shù)，則

A./(16)</(-17)</(18)B./(18)</(16)</(-17)

C√(16)<∕(18)<∕(-17)D.∕(-17)</(16)</(18)

6.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)X,J滿足x+y=個(gè)且存在這樣的X,y使不等式x+上</+3加有

4

解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

A.(-l,4)B.(-4,1)C.(-∞,-4)u(1,+∞)D.(-∞,-3)u(0,+∞)

7.若不等式1唯I+2'+?—"K'N(x-l)log23,xe(-8,1)恒成立,則實(shí)數(shù)a的范圍

是

A.[0,+∞)B.[l,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1]

8.若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角a(O<a<r)的弧

度數(shù)為().

AΛBΛC,√3D.√2

32

二、多選題(每小題5分，4小題，共20分)

9.設(shè)函數(shù)/(x)=In(X2-χ+l),則下列命題中正確的是()

A.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽B.函數(shù)/(x)是增函數(shù)

C.函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽D.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線X=；對(duì)稱

Io.已知函數(shù)f(x)=<一c,下列是關(guān)于函數(shù)y=∕"(x)]+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判

Iog2x,x>0

斷，其中正確的是()

A.當(dāng)QO時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)k<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)QO時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)k<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

IL已知正實(shí)數(shù)a,b滿足”+b=〃mb+〃，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若m=l,"=0,則αb≥4

B.若m=l,n=0,則α+b≤4

12?3+2√i

C.若w=0,M=1?則----------1--------≥------------

2a+bb+13

D.若m=1,/7=-1,則a+b≥2近+2

12.已知正數(shù)x,%z滿足3*=4□=6z,則下列說(shuō)法中正確的是()

A.—I------=-B.3x>4y>6zC.xy>2z2D.x+y>∣------F^?∕2z

X2yz12,

三、填空題(每小題5分，4小題，共20分)

13.函數(shù)y='4-X'的定義域?yàn)?

2X2-3X-2

M.設(shè)函數(shù)/⑴=號(hào)*在區(qū)間曰2]上的最大值為最小值為N,則

(A/+N-1)2°22的值為.

Sine-COSe

15.已知tan。=2,則

2sin6+cos6

16.若函/(x)=MTTI(α>0,且α≠l)在區(qū)間二Dj上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)α

的取值范圍是.

四、解答題

x_1

17.已知函數(shù)/(x)=e?^--

ev+1

(1)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性并加以證明；

(2)?x∈R,不等式/(0√+2)+∕(2x-l)>0成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

18.設(shè)函數(shù)y=∕nχ2-加X(jué)-L

(1)若對(duì)任意XeR,使得y<O成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若對(duì)于任意xe[l,3],y<-〃?+5恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

19.某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過(guò)程中使用了一種新材料.該產(chǎn)品的性能指

標(biāo)值是這種新材料的含量X(單位：克)的函數(shù)，且性能指標(biāo)值越大，該產(chǎn)品的

性能越好：當(dāng)0≤x<7時(shí)，y和X的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：

①y=or?+bx+c；②y=A?α”(α〉O,且awl)；③y=Alog"X(a>0,且。71)；

其中人,a,b,c均為常數(shù).當(dāng)xN7時(shí)，y=L，其中加為常數(shù).研究過(guò)程中部分

\3?

數(shù)據(jù)如下表:

x(單位：克)0210..........

6?

y-488a..........

(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0≤x<7)關(guān)系的一個(gè)，并說(shuō)明理由;

(2)求出y與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)求該新合金材料的含量X為多少時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳.

20.已知函數(shù)/(x)=3-21og2x,g(x)=Iog2x.

(1)求函數(shù)歹=/卜2)./(4)+28(N)在口,4]上的零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)A(X)=Lf(X)+l]?g(x)-左在[1,4]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)學(xué)的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(x)=S^η→α是奇函數(shù)

(1)求”的值；

(2)若"(x)-l]?lnx<0,且x>l求X的取值范圍

22.2知函數(shù)f(x)-x+--4,g(x)-kx+3

X

(1)對(duì)任意的α∈[4,6],函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,刈上的最大值為|/(⑼試求實(shí)數(shù)

m的取值范圍；

(2)對(duì)任意的αe[l,2],若不等式∣∕.(XJH/(9)∣<g(xj-g(w)任意

xt,x2∈[2,4](王<》2)恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

答案解析

1.C

解：∕={(x∕)lX+?≤2,%,y∈N}={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}.故集合A

中含有6個(gè)元素；故選：C

2.A

解：如果[x]=[y]=π,n∈Z,則有x=n+di,y=n+d2,dl,d2∈[0,l)，

:\x-y\=\d{-√2∣<1,所以IxI=3是IX-川<1的充分條件；反之，如果∣x-y∣<l,

比如x=3.9∕=4.1,則有IX-川=0.2<l,根據(jù)定義，[χ]=3,U]=4,[x]H[y],即

不是必要條件，故Ixl=IyI是IX-Nl<ι的充分不必要條件；故選：A.

3.D

解????(?)=W==(上午3=-ι+-?,∕ω在[o,+∞)上單調(diào)遞減，又/(%)為偶

函數(shù),∕f∣]=l,∕(χ-l)<l,.?./(|》一1|)<./(：),，|工一1|〉；解得》<1或》>1,

、

.?.∕(χ-l)<1的解集為[-∞,;)D?

,+∞,故選：D.

√

4.A

χ3

解：函數(shù)y=7三的定義域?yàn)棣枝帧纋

,3Q

當(dāng)x=2時(shí)，y=-=^=-^=>Q,可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤；當(dāng)x=-2時(shí)，

-VF≡1√15

y—~f====77=<O,可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)X=J時(shí),

,V(-2)4-l√152

可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤。選項(xiàng)A正確，故選：A.

5.D

解：由題意可知/(x+8)=-∕(x+4)=∕(x),故函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且周期為

8,則/(16)=∕(0)J(77)=/(T)J(18)=/(2),因?yàn)槠婧瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上

是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間［-2,0］上也為增函數(shù)，故函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,2］上為

增函數(shù)，所以/(T)</(O)</(2),即/(-17)<∕(16)<∕(18).故選：D.

6.C

解：4x+y=xy,—+—=↑,

yX

x+y=(x+f?.(l+L?=2+-+^-≥2+2^-?^-=4,當(dāng)且僅當(dāng)，

4()?yχ)y4xNy4x

把=Z,V=i6χ2j=4χ=8時(shí)等號(hào)成立，所以

y4x

m2+3次>4,w2+3∕w-4=(τw+4)(m-l)>O,解得團(tuán)<一4或加>1,所以m的取值

范圍是(-∞,-4)u(l,+GO).故選：C

7.D

解：題設(shè)不等式化為Iog1+2'+。-而Nlog”、，即1+2'+(l-α)3'23，，

2

l+2'≥α?3',α≤(;)+]|),已知y=(；)+(|)減函數(shù)，x<1時(shí)，y<g+?∣=1,

所以由不等式α≤J+[^∣J上恒成立得aW1.故選：D.

8.C

解：不妨設(shè)等邊aABC的外接圓的半徑為2,取BC的中點(diǎn)D,連接0D,0C,則

ZOCB=30°.由于ODLBC,在RtCD中，OD=-OC=?,：.CD=√3,/.i??

2

8C=2√L設(shè)該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為。，則由弧長(zhǎng)公式可得6=壟=TL

2

故選：C

9.AD

解：A正確，?.?x,-z=(X一；)+:〉°恒成立，二函數(shù)/U)的定義域?yàn)镽；

B錯(cuò)誤，函數(shù)/(x)=In(X2_*+1)在(；,+OO上是增函數(shù)，在(fo,g上是減函數(shù);

C錯(cuò)誤，由式Y(jié)-χ+l=(χ-g)+(≥q可得/(x)=In(X2-x+i)2]n；,

.?.函數(shù)/(x)的值域?yàn)閘∏∣,+∞?D正確，函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線X=；對(duì)稱,

故選：AD.

10.CD

解：令歹=∕I∕(x)]+l=O?得/"(X)]=T.設(shè)/U)=/，則方程/1/(切=T等價(jià)為

f(t)=-1,

①若k>0,作出函數(shù)f(X)的圖象如圖：

Vf(t)=-1,

.?.此時(shí)方程f(t)=-1有兩個(gè)根其中∕2<0,0<∕∣<1，由/(X)=L<0,此時(shí)X有兩

解，由/(x)=0∈(0,1)知此時(shí)X有兩解，此時(shí)共有4個(gè)解，即函數(shù)y=∕[∕(x)]+l

有4個(gè)零點(diǎn).

②若k<0,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖

Vf(t)=-1,此時(shí)方程f(t)=-1有一個(gè)根上其中0y<l,由/(x)=4∈(0,l),

此時(shí)X只有1個(gè)解，即函數(shù)y=∕[∕(x)]+l有1個(gè)零點(diǎn).故選：CD.

11.ACD

解：當(dāng)m=l,n=0時(shí)，a+h=ah≥2y[ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，解得ab24,故A正確;

a+b=ab<^~?),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，解得a+b24,故B錯(cuò)誤;

當(dāng)m=0,n=l時(shí)，α+Z>=l.所以

]2lf2a+b+h+?4α+2b+2b+2]

2a+bb+?3?2a+b6+1J

當(dāng)取僅當(dāng)

1Λb+?4a+2h}l(CIb+l4a+2h}3+2√2

3(2a+bb+lJ3?2a+bb+l3

6+1=3譽(yù)時(shí)取等號(hào)?所以C正確'

24+8

z1\2

當(dāng)m=l,n=-l時(shí)，a+b=ab-?≤?-1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，解得

I2)

α+6≥2√5+2(舍負(fù)),故D正確.故選:ACD.

12.ACD

解：正數(shù)X,y,Z滿足3'?=4''=6,設(shè)3*=4，=6，=?>>1),

則X=IOg3f,y=IogJ,z=Ioge/.對(duì)于A,?+?=log,3+?log,4=log,6=?,A正

x2y2z

確；

~τC2/X1/八3x3log,t31/I-/

對(duì)于B,3x=3Iog3t,4y=4Iog4t96z=6Iog6/,v——=-------=-Iog34<1,.?3x<4y9

~4y4Iog4/4

V—==-Iog46<1,/.4y<6Z9：.3x<4y<6z,故B錯(cuò)誤；

6z6Iog613

對(duì)于C,由！=1+-1->2」_(x02y),兩邊平方，可得孫>2Z2,故C正確；

zX2y]∣Ixy

對(duì)于D,由孫>2z?,∏TW?^+>,>2Λ∕XV>2y∣2z2=2A∕ΣZ>f^y^+Z(X≠y),故

D正確.故選：ACD

解：由題意得尸了』解得：-2≤x<J或」<x<2,所以函數(shù)的定義

2X2-3X-2≠022

「，1、

域是一2,—<J—,2

_2y\2>

14.1

丫^-L?yγ3-L-Oy

解：由題意知，/(X)=:li-+I(Xe[—2,2])，設(shè)g(x)=—二工，則f(x)=g(x)

X+1X+1

+1,因?yàn)間(-χ)=f,2x=-g(χ),所以g(X)為奇函數(shù)，g(x)在區(qū)間卜2,2]

-wzI1

上的最大值與最小值的和為0,故M+N=2,所以("+N-嚴(yán)=(2-產(chǎn)=1.故

答案為：1

15.L##02

sinθ-cosθtan8-12-1

解：分子分母同除以COSe得:

2sin8+cos。2tanO+l4+15

35

4,6

解：函數(shù)_y=/T-l(α>0,且α≠l)的圖像是將函數(shù)

y=α'(α>0,且α≠l)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位

得到的，故函數(shù)/(x)=,ι-l∣(α>0,且的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0).

當(dāng)0<a<l時(shí)，結(jié)合函數(shù)f(X)的圖象：若函數(shù)F(X)在區(qū)間(α,“2"1)、

0<α<l

上單調(diào)遞減，則a/NT),解得3≤α≤3,當(dāng)a>l時(shí)，結(jié)合函數(shù)/(x)

246

3(2"%

2

的圖象：若/(X)在區(qū)間(1［上單調(diào)遞減.則α<∕2α一］),無(wú)實(shí)數(shù)解。

V2√2

3(2。-%

2

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

146J

17.(1)解：函數(shù)f(X)為奇函數(shù)，證明如下:

γ

e_1

在=中，定義域?yàn)镽，

.?.∕(x)為R上的奇函數(shù)；

v_12

(2)解：?.?∕(x)=el--=-,/(x)=l+e'在定義城上單調(diào)遞增，且

ex+11+e

2

y=~-

/(x)=l+ev>l,又/在(l,+∞)上單調(diào)遞增，所以/(x)在R上單調(diào)遞增

則不等式/(62+2)+/(2x-l)>0恒成立，

即/(o√+2)>一/(2%一1)恒成立，

即/(ox?+2)〉/(l-2x)恒成立，

.?.ax1+2>l-2x恒成立，即ax2÷2x÷l〉O恒成立，

"八解得a>l,所以a的范圍為(l,+8)?

18.解(I)解：要使陽(yáng)？_Znrτ<o,對(duì)任意χ∈R恒成立，

?.一fm<0

若m=0,顯然-IVO,滿足題息；右m≠0,則<2，解得4<m<0,

Δ=∕77+4/77<O

綜上，-4<∕"≤0,即m的取值范圍是(-4,0].

(2)當(dāng)x∈[l,3]時(shí),y<τn+5恒成立,

即當(dāng)xe[l,3]時(shí)，”,(Y-x+l)-6<O成立.

VX2-x+?=x~2j+^>0，且加-χ+l)-6<0

./6

..m<----------

x2-x+?

YM==J=-―J—在［1,3］上的最小值為2

X-x+l(1Y37

.?.只需加<2即可，即實(shí)數(shù)的取值范圍為1-00,?f?

7I7,

19.解［(1)模型①最能反映y和X(0≤x<7)的關(guān)系,

由題可知X=O時(shí)，y=-4,顯然模型③不合題意，

若為模型②y=kax,則k=-4,y=-4a'<O不合題意，

故模型①最能反映y和X(0≤x<7)的關(guān)系；

(2)當(dāng)0Wx<7時(shí)，y=ax1+bx+c,(a≠0),

由x=0,y=-4可得c=-4,

由x=2,y=8得4a+2b=12,

由x=6,y=8得36a+6b=12,

解得a=-l,b=8,

??y=-x~+8x4，

/［?x-m］Z］、10-加1

當(dāng)xN7時(shí)，?=-,由X=Ioj=—，可得一=9-

??y9V3y

解得加=8,即有y=—，

-X2+8x-4,0≤x<7

綜上，可得N=CY-8

(3)當(dāng)04V7時(shí)，?=-X2+8x-4=-(x-4)2+12,

即有x=4時(shí)，性能指標(biāo)值取得最大值12；

(18

當(dāng)x27時(shí)，y=-單調(diào)遞減，

.?.當(dāng)x=7時(shí)，性能指標(biāo)值取得最大值3；

綜上可得，當(dāng)x=4時(shí)產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳.

20.解(1)由/(χ2).∕(4)+2g(χ)=0,得(3-41og2x)(3-log2x)+2iog2X=O.

令f=l0g2X,

Vx∈[l,4],

.,.t∈[0,2],

則原式可轉(zhuǎn)化為(3-4f)(3T)+2/=O,

化簡(jiǎn)為4/一131+9=0,

解得t=l或t=2(舍去),

Iog2x=l,

.?.x=2,即函數(shù)y=∕(χ2).∕(4)+2g(χ)在[1,4】上的零點(diǎn)為x=2.

(2)h{x}=(4—2Iog2x)?log2%-A：=-2(log2X-I)?+2—左

令/=Iog2X,

''x∈[l,4],

.,.t∈[0,2],

令h(x)=0,^k=-2(t-↑)2+2

V∕∈[0,2]

Λ-2(/-1)2+2∈[0,2]

,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[0,2]

21.解(1)Vf(x)是奇函數(shù)，且定義域?yàn)閧x∣X∈R,XHO},

Λf(-1)=-f(1),

解得：

2

經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)

(2)由(1)得，/(X)=占+1,Q[∕?(x)-l]?lnx<0,;，4+:一l]?lnx<0

2121212,

Λ

又Qx>l,.?.lnx>O,.?.—-----，<0,即2—1>2,??Wx>Iog23,

2'—12

綜上，X∈(log23,+∞).

22.解(1)由/(x)=x+@-4,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)f(x)在(O,G)上單調(diào)

X

遞減，在(、7,+00)上單調(diào)遞增，

?，?∕,(x)=x+--4≥2y[a-4

X

又?「Q∈[4,6],/.f