2022年秋季高三開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試試卷（解析版）

絕密★考試結(jié)束前

2022年秋季高三開學(xué)摸底考試卷(新高考專用)03

(試卷滿分150分，考試用時120分鐘)

姓名班級考號

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.已知集合A合-2-1,0,1,2},8={y|y=e*,yeN},則AB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】由題可得，集合B為正整數(shù)集，從而與集合A求交集可得結(jié)果.

【詳解】xeR時，y=e*>0恒成立，又yiN,

故集合B為正整數(shù)集，8={1,2}.故選：C.

2.若z=-l+2i,貝！1—4^7=()

z-z-4

A.-l+3iB.-l-3iC.l+3iD.l-3i

【答案】A

【解析】

【分析】由共規(guī)復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可

【詳解】因?yàn)閦=—l+2i,

所以ze-4=(-l+2i)(-l-2i)-4=l+4-4=l,

所以=z+i=7+3i,

zz-4

故選：A

3.從2,4,6,8中任取2個不同的數(shù)則*可=4的概率是()

【答案】B

【解析】

【分析】

列舉從2,4,6,8中任取2個不同的數(shù)方的所有結(jié)果，共6個基本事件，符合條件的共

2個基本事件，結(jié)合古典概型計算結(jié)果.

【詳解】

從2,4,6,8中任取2個不同的數(shù)共有（2,4）,（2,6）,（2,8）,（4,6）,（4,8）,（6,8）6個基本事

件，取出的2個數(shù)之差的絕對值為4有（2,61（4,8）2個基本事件，所以所求概率為

63

故選：B.

4.一種藥在病人血液中的量不少于1500僅?才有效，而低于500〃琢病人就有危險.現(xiàn)

給某病人注射了這種藥2500,監(jiān)，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充

分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補(bǔ)充這種藥，

才能保持療效.（附：32。。3010,lg3?0.4771,結(jié)果精確到0.1〃）

A.8.8小時B.3.5小時C.5.6小時D.2.3小時

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可得不等式50042500x（1-20%）z1500,結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法

則解不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥x小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，

則50042500x(1—20%)，41500,整理可得：0.2408&0.6,

.■.loga80.6<x<loga80.2,

嗨…黔罌=喘號2啕3黔磊海2,

.?.2.34x47.2,即應(yīng)在用藥2.3小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.

故選：D.

5.設(shè)函數(shù)〃力=33（5+40>0,0<9<5圖象經(jīng)過點(diǎn)4片,-3）,直線》=堇向

左平移?個單位長度后恰好經(jīng)過函數(shù)“X）的圖象與x軸的交點(diǎn)B,若B是的圖

象與x軸的所有交點(diǎn)中距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)，則函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（）

71兀_兀/、_7171r

A.-J-TB.--,0C.-y---D.[f,0]

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)/（X）最小正周期和可求得④*,進(jìn)而得到“X）解析式；利

用余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法可求得了（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，驗(yàn)證選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】3是〃x）的圖象與x軸的所有交點(diǎn)中距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)，A為〃x）的最

小值點(diǎn)，

?.J(x)的最小正周期T=4x?=;r,即券="，解得：0=2,

3萬(31)(34)

—3cosI7-+9J=-3,即cosI——v(p\——\,

3元jr

；.工+5=九+Zk冗(kGZ),解得：(p=—+2k7r(<k￡Z),

又0<*苦，"=?,.?.〃x)=3cos(2x+?)；

rr5n-rr

令一%+2Z;rK2x+—4(ZcZ),解得：---+k7r<x<---卜k兀(kwZ)

488

rr

???/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為--+k^--+k7r(0Z),

OO

令％=0,則=，唉是“X）的一個單調(diào)遞增區(qū)間,

OO

-1-三是/（X）的一個單調(diào)遞增區(qū)間.

故選：C.

6.已知a=*lnl.2,b=0.2e°2,c=g,則（）

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】A

【解析】

【分析】匕=0.2€。2=6。211^。2,令/（》）=*111以利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間,

令g（x）=e*-X-1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（X）的單調(diào)區(qū)間，從而可得出令和1.2的大小,

從而可得出的大小關(guān)系，將b,c兩邊同時取對數(shù)，然后作差，從而可得出b,C的大

小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：6=O,2e(,-2=e(,'2lneoSa=|lnl.2=1.21nl.2,

令/(x)=xlnx,則/"(x)=lnx+l,

當(dāng)0。/時，r(x)<0,當(dāng)x>4時，/'(x)>0,

ee

所以函數(shù)f(x)在卜)，j上遞減，在(，+8)上遞增,

令g(x)=e'-x-1,則g'(x)=e*-l,

當(dāng)x<0時，g'(x)<0,當(dāng)x>0時，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增,

所以g(0.2)>g(0)=0,

HPe02>1+0.2=1.2>-,

e

所以〃e02)>〃1.2),

即e°2|ne°2>1.21nl.2,所以

由0=0.2€。2,得ln6=ln(0.2e°2)=(+ln：,

由。=!，得Inc=In；,

625x5

>10>e,

243

所以|V>e1"所以ln5|>1.

所以lnc-ln6>0,即lnc>ln。，

所以c>。，

綜上所述a<Z><c.

故選：A.

7.如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相

切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到

的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意如圖所示，由球的半徑可得IBF|,|8。|的值，進(jìn)而可得=”的正

弦值，求出1。0的值，即求出〃的值，由圓柱的底面半徑可得2b的值，即求出的

值，進(jìn)而求出。的值，再求出離心率的值.

【詳解】如圖所示，BF=1,BO=2,sinNBOF=；,plljsinZ.ODM=—==~QQ9

OD=2,即〃=2,而26=2,BP/?=1,

所以c=y/a2—b1=,4-1=5/3,

所以離心率e=￡=—,

a2

故選：D.

8.已知定義在[Le]上的函數(shù)〃x)滿足/=且當(dāng)xe[Ll]時，/(x)=xlnr+l,

若方程/(力-3尤-。=0有三個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(J,1」]B.(]-5,1-C.(|_e_2>?--]D.(；l-j]

3ee1c2e1ce3e2e

【答案】B

【解析】

【分析】

由題設(shè)，求分段函數(shù)的解析式并畫出圖像，將方程有三個不同實(shí)根轉(zhuǎn)化為〃x)

和y=；x+a有三個不同的交點(diǎn)問題，由數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的交點(diǎn)情況,

進(jìn)而求參數(shù)。的范圍.

【詳解】

,當(dāng)xepl時，/(x)=xlnr+l,

...當(dāng)時，〃"=/(「=-：山+1,

,,r1/

x/nx+l,xe—,1

綜上，〃力=，]」，

——/nx+l,xe(l,e]

x

當(dāng)時，((x)=l+lnQO,則〃x)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)》€(wěn)(10時:/，(x)=^y(lnA--l)＜0,則/(x)在(l,e]上單調(diào)遞減，

f(力-1-0=0有三個不同的實(shí)數(shù)根，

的圖像和直線＞=]+〃有三個不同的交點(diǎn)，

作〃x)的大致圖像如圖所示，

當(dāng)直線＞和f(x)的圖像相切時，設(shè)切點(diǎn)為(毛,％),

I11_11

二尸(為)=1+1嗎＞=5，可得/=”，yo=]~2'e2,代入y=]X+a,

可得

當(dāng)丫=!》+。過點(diǎn)時，a=l-^~,

2\ee)2e

(-13]

由圖知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得

0分.

9.已知由樣本數(shù)據(jù)%)(，』，2,3,…，1。)組成的一個樣本，得到回歸直線方

程為R2X-0.4,且亍=2,去除兩個樣本點(diǎn)(-2,1)和(2,-1)后，得到新的回歸直線的斜

率為3.則下列說法正確的是()

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.去除兩個樣本點(diǎn)(-2,1)和(2,-1)后，回歸直線方程為a=3x-3

C.去除兩個樣本點(diǎn)(-2,1)和(2,-1)后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小

D.去除兩個樣本點(diǎn)(-2,1)和(2,-1)后，樣本(4,8.9)的殘差為0.1

【答案】AB

【解析】

【分析】

對于A,3>（）,則相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；

95

對于B,求出“=]-3X]=-3,故去除樣本點(diǎn)后的回歸直.線方程為y=3x-3,故B正

確；

對于C,由于斜率為3>2,隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變大，故C錯誤；

對于D,樣本（4,8.9）的殘差為8.9-9=-0』，故D錯誤.

【詳解】

解:對于A,去除兩個樣本點(diǎn)（-2,1）和（2,T）后,得到新的回歸直線的斜率為3,3>0,

則相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；

對于B,由嚏=2代入>=2+-4得亍=3.6,則去除兩個樣本點(diǎn)（一2,1）和（2,-1）后，得到

新的又=爭=，歹=二譬=>?=^-3X|=-3,故去除樣本點(diǎn)后的回歸直線方

o2o222

程為y=3x-3，故B正確；

對于C,由于斜率為3>2,故相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系且去除樣本點(diǎn)后，隨x

值增加相關(guān)變量》值增加速度變大，故C錯誤，

對于D,當(dāng)x=4時，y=3x4-3=9,則樣本（4,8.9）的殘差為8.9-9=-0.1,故D錯誤.

故選：AB.

10.設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足機(jī)+〃=2,則下列說法正確的是（）

A.二+工的最小值為3B.的最大值為1

mn

C.+冊的最小值為2D.田+〃2的最小值為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式判斷.

【詳解】

因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n,

n2nm+nnm,nm八.3

所以一+-=一+----=—+—+1>2/-----=2+1=3,

mnmnmnVmn

當(dāng)且僅當(dāng)'='且m+n=2,即m=n=l時取等號，此時取得最小值3,A正確；

mn

由nm<=1,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=l時，mn取得最大值1,B正確；

+=m+n+2\[mn=2+2\[mn<2+m+n=4,當(dāng)且僅當(dāng)in=n=l時取等號，

故標(biāo)+GS2即最大值為2,C錯誤；

nr+n2=（w+n）2-2/nn=4-2/nn>4-2x=2,當(dāng)且僅當(dāng)=〃=1時取等號，此處

取得最小值2,故D正確.

故選：ABD

11.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2=2px（p>（））焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B

兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)"（P，0）,若IAFHAMI,則（）

A.直線AB的斜率為2指B.|OB|=|OF|

C.\AB|>4|OF|D.AOAM+AOBM<\^°

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由|AFk及拋物線方程求得4生,血），再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示

出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線求得8（§,_冬），即可求出|。即判斷B選項(xiàng)；由拋

物線的定義求出|A8|=答即可判斷C選項(xiàng)；由。4.OB<0，求得ZAO8,

為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

對于A,易得F（冬0）,由|AF|=|AM|可得點(diǎn)A在電的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)

為憶P=3P,

2~4

瓜P

代入拋物線可得丁=2p.*|p2,則A號,季），則在線他的斜率為，y=2幾，

彳一5

A正確;

對于B,由斜率為2而可得直線AB的方程為|=壺）'+與，聯(lián)立拋物線方程得

y2-^py-p2=0,

設(shè)8區(qū)方），則仝p+貝尸_苧，代入拋物線得「管J=2pw，解

26

得％=（，則8（冬-零）,

則如J馴倒=等。

1=5,B錯誤；

對于c,由拋物線定義知：|力邳=學(xué)+?+P=^>2p=4|OF|,C正確；

對于D—芥冬咚普3哼個攀卜季卜-乎<。，則加B為

鈍角，

又MA-MB=J&粵）?（-q「警）=TTH4-與卜干。，則

ZAMB為鈍角，

又ZAOB+AAMB+ZOAM+NOBM=360,則NOAM+NOBMC180,D正確.

故選：ACD.

12.已知正方體ABCQ-ABCR棱長為2,P為空間中一點(diǎn).下列論述正確的是（）

D

uuniuuirh

A.若AP=：AA，則異面直線BP與G。所成角的余弦值為史

26

uuuiwuuu

B.若BP=/IBC+84(/1w[0,1]),三棱錐P-ABC的體積為定值

uuruun\uuurz、

C.若8P=48C+5BB12e[0,l]),有且僅有一個點(diǎn)P,使得AC,平面AB,

UUUUUU/、「7T燈一

D.若42=/^。(九€[0』)，則異面直線BP和G。所成角取值范圍是[丁]

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)向量關(guān)系式確定動點(diǎn)位置或軌跡，然后判斷各個選項(xiàng)正誤.

【詳解】

選項(xiàng)A：由題，如下圖，P為AQ中點(diǎn)，取BQ的中點(diǎn)O,連接PO,B。，則尸O〃CQ,

所以28PO或其補(bǔ)角即為異面直線BP與GD所成的角，易得

BP=y/f>,PO=y/2,BO=y/6,所以cos/BPO=立,A正確；

選項(xiàng)B：由條件3P=48C+四(2日0,1])，可知P點(diǎn)的軌跡為線段AG,因?yàn)锽￡〃BC,

故P到平面ABC的距離為定值，且三角形ABC面積為定值，故三棱錐P-ABC體

4

積為定值§.故選項(xiàng)B正確.

選項(xiàng)C：由BP=/lBC+g網(wǎng)(/le[O,l])可知點(diǎn)P在線段E尸上(E、F分別為四、CQ中

點(diǎn))，因?yàn)?C_L平面A8Q,所以平面ABF即為平面A8Q,點(diǎn)p即為平面ABQ與

直線即交點(diǎn)，此交點(diǎn)在FE延長線上，故選項(xiàng)C錯誤.

選項(xiàng)D：由A尸=2A〃(/l€[0,l])可知點(diǎn)P的軌跡為線段AA.建系如圖，得

C,D=(-2,0,2),B(2,0,2),設(shè)尸(0,a,2-a),aw[0,2],則8P=(-2,a,-a),所以

4一2」2-a

cos〈BP,CQ),令2_a=xe[0,2],

2⑸4+2/2J2+Y

當(dāng)a=2,即x=0時，cos(BP,C,D)=0,此時更線成和G。所成角是]：

當(dāng)"2,即xe（0,2］時，則cos〈BP,CQ〉="4令L/e；收），

2匕一x12J

cos〈8P，G?！?2及2二+］，所以當(dāng)/=，=g，即。=0時，cos〈BP,CQ〉取最大值為今,

直線外和CQ所成角的最小值為g,故選項(xiàng)D正確.

4

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知+的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-3,則該展開式中x的系數(shù)為

【答案】-120

【解析】

【分析】令x=l，求得a,再利用通項(xiàng)公式求得x項(xiàng)求解.

【詳解】因?yàn)椋ǜ?+1），-21的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-3,

所以令尤=1,得一（〃+1）=-3,

解得a=2,

所以二項(xiàng)式為（2/+W，

C>3（_2）=—120X,

則展開式中含x的項(xiàng)為2X2XC；《1J+1X

故x的系數(shù)為-120,

故答案為：-120

2

14.在邊長為4的等邊..ABC中，已知=點(diǎn)尸在線段C。上，且

AP=mAC+^AB,則網(wǎng)=________.

【答案】布

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得AP=mAC+=3AO,求出根=1；,所以AP=,AC+LAB,即

4442

卜=+,求解即可.

【詳解】

―.23I

因?yàn)?所以A3=；AO,yiAP=mAC^-AB,

i3

即4P=〃?AC+5AB=mAC+]A。，因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段CD上，

所以P,C,。三點(diǎn)共線，由平面向量三點(diǎn)共線定理得，m+33=1,即〃2=1；,

44

所以AP=；1AC-+：1A2,又A8C是邊長為4的等邊三角形，

42

所以,耳，=[；AC+；A8)=a|AC『+；k4k@cos60

=—xl6+-x4x4xl+-xl6=7,故

1642411

故答案為：戶.

15.過點(diǎn)(1,0)的直線/截圓C：f+y2-2x+y-i=0得至IJ的最短弦長為.

【答案】2H

【解析】

【分析】

由圓的一般方程求得圓的圓心和半徑，設(shè)點(diǎn)P(LO)，要使所得的弦長最短，則直線/

垂直于直線PC,由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理可求得答案.

【詳解】

由圓C：f+y2-2x+y-l=0得(x-l)2+(y+￡j-=',所以圓心半徑為r=|,

設(shè)點(diǎn)P(LO)，則尸。=-；-0=；,要使過點(diǎn)(1,0)的直線/截圓C：d+y2-2x+y-l=0

得到的弦長最短，則直線/垂直于直線PC,

此時最短弦長為2

故答案為：2&.

16.已知函數(shù)/(x)=J,g(x)=x2,若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍__________.

【答案】(-8,0)=—,+??

L4)

【解析】

【分析】

分”0與。>0兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)”>0時，轉(zhuǎn)化為xe(0,+°o)時，有解，構(gòu)

a

造函數(shù)/?(x)=m，xe(0,+8),求出單調(diào)性及極值，最值情況，求出a的取值范圍.

e

【詳解】

當(dāng)。>0,若存在一條直線同時與兩函數(shù)圖象相切,

則xe(0,+(?)時，《=/有解，

-1r2

所以一=—,X￡(0,+8),

ae

令h(x)=￡(0,+8),因?yàn)椤?x)=產(chǎn)="(2"),

eee

則當(dāng)x￡(0,2)時，"(x)>0,力(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)X￡(2,+OO)時，”(x)v0,h(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；

所以〃(x)在x=2處取得極大值，也是最大值，

4

最大值為〃⑵=r,且久x)>0在XE(。,”)上恒成立,

e~

所以Xy-2\

,即ae(y,0)u—,+<?.

L4)

故答案為：?￡(-<?,0)U

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.在①A2=2后，②ZADB=135。，③/R4Q=NC這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在

下面的問題中，使得問題成立，并求80的長和.ABC的面積.如圖，在二ABC中，D

2R

為5c邊上一點(diǎn)，AD±AC,AD=l,sinZBAC=,求8。的長和45C的

面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

選條件①：根據(jù)sinNBAC=sin（90。+NBAD）求得sinNBA。，再在△A3。中用正余弦定

理分別求得BD和sinZADB,進(jìn)而求得AC與,ABC的面積；

選條件②:根據(jù)$11/明。=$出（90。+/64￡））求得$出/&4￡）,再求sin3,再在△AB￡）中,

由正弦定理得AB=石，BD=4i，進(jìn)而求得面積；

選條件③：根據(jù)《11/34?=S皿（90。+/84））求得411/84）,即sinC,再根據(jù)

4118=411（/8/1。+44。8）計算注18,再在4粒。中，由正弦定理得48,8。，進(jìn)而求

得面積

【詳解】

2R

選條件①，sinABAC=sin（90°+NBA。）=cosABAD=，

在△ABD中，由余弦定理，得g￡）=/20+1-2x26xlx半=內(nèi).

RD2加

在△A3。中，由正弦定理，得一嘿AR至=一外有，即sinZAftBF，

sinZADBsin4BAD—

5

WsinZADB=

13

所以sinNAOC=^^,cosNAOC=^,所以tan/AOC=],所以AC=].

131333

所以一ABC的面積為Lx2石x2x述=&.

2353

選條件②，sinABAC=sin(90°+NBA。)=cosABAD=,

所以sinNBA。=

5

y/5(四)2右庭歷

所以sinB=sin(ZBAD+135°)--x----4------x=

512J5---2----10

在中，由正弦定理，得~4^=毀=.B得A8=石，BD=V2.

sin135°smBsin/上.BAD

因?yàn)閆ADB=135。，所以NA0C=45。，所以AC=1,

所以ABC的面積為L括xlx逋=1.

25

2Is

選條件③，sinABAC=sin(90°+NBA。)=cosABAD=管.

所以sinNa40H竽)=昌

因?yàn)镹BAQ=NC,所以sinC=(,

在&AAC￡)中，可得cos/AQC=,所以cos/AOB=sinZADB=.

555

3

所以sin8=sin(ZBAD+/ADB)=

5

在△ABO中，由正弦定理，得.普=氣=.多得AB=*BD$

sinZ.ADBsin3sin/.BAD33

因?yàn)閟inC=更，所以co$C=3叵，所以tanC=:，所以AC=2.

552

所以一ABC的面積為1拽X2X"M

2353

18.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足4=-3,S“,1+2S“+3"+3=0,n&K.

(1)證明：數(shù)列也,+1｝是等比數(shù)列；

⑵記min{a,6}=J；~,設(shè)2=,求數(shù)列{2}的前2〃項(xiàng)和&.

IU,CC*****U

【答案】⑴證明見解析；(2)&=乂三2_〃+〃2

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)"=1時可求得。2；當(dāng)“22時，由冊與S,,關(guān)系可得4M+1=-2(a“+l),驗(yàn)證知

生+1=-2(4+1),由此可證得結(jié)論；

(2)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到見；當(dāng)”為奇數(shù)時，由見<0<"-1知”=(-2)"-1；

當(dāng)”為偶數(shù)時，令q=《-("T)，可知4遞增，得到知瓦=〃T：采用

分組求和的方式對奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，結(jié)合等比和等差數(shù)列求和公式可求得

結(jié)果.

(1)當(dāng)力=1時，邑+2S]+6=—3+%—6+6=0,解得：4=3；

當(dāng)〃22時，由S向+2S〃+3〃+3=0得：S〃+2Se+3〃=0,

兩式作差得：《川+2勺+3=0,即1I+1=_2&+1)；

經(jīng)檢驗(yàn)：％+l=-2(q+l),滿足a,用+l=—2(q+l)；

數(shù)列｛%+1｝是以％+1=-2為首項(xiàng)，—2為公比的等比數(shù)列.

，ln

⑵由(1)得:a?+l=-2.(-2)"=(-2)\.-.an=(-2)-l；

則當(dāng)"為奇數(shù)時，%<0,?-1>0,=a?=(-2)n-l；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，

+2

令%=2"—1一(“一1)=2"—〃，則c?+2-cn=2"-^+2)-2"+n=3-2"-2>0,

?.?c“=2>0,即2"_]>〃_[,：-bn^n-\.

'-T2n=3+4+a+…+)+(4+"+4+…+4”)

=[(-2)'+(-2)3+(-2)5+...+(-2廣-小[1+3+5+...+(2〃-1)]

-2(1-4")+1)2(1-4")

—九+-n+n2

1-42——3-

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC,底面ABCD,ABCD是直角梯形，AD1DC,

AB〃DC,AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).

R

DC

⑴證明：平面EAC_L平面PBC；

(2)若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為當(dāng)；

①求三棱錐P-ACE的體積；

②求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)①;；②乎

【解析】

【分析】

(1)由線面垂直性質(zhì)得PC1AC,已知條件可得AC=8C=0,BPAC2+BC2=AB2W

ACLBC,根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)即可證平面E4C,平面尸3c.

(2)①由(1)知N8PC即為直線m與平面PAC所成角，即可求PC,又

Vp“F=~V即可求三棱錐P-ACE的體積?

1-AC匕2>P一/tCo

②取AB的中點(diǎn)G連接CG,構(gòu)建以CG、CD、CP為x軸、y軸、z軸正方向的空間直

角坐標(biāo)系，根據(jù)已知線段長度確定C,P,A,B,E,分別求面PAC、面ACE的

一個法向量，即可求二面角P-AC-E的余弦值.

⑴證明：：PCJ?平面ABC。，ACu平面ABC。，

PC1AC.

'：AB^2,有A￡)=C￡>=1,ADLZJC且ABCD是直角梯形，

AC=BC=近,即AC2+BC2=AB2,

：.AC±BC.

,:PCcBC=C,PCu平面PBC,BCu平面PBC,

AC，平面PBC.

ACu平面E4C,

平面E4CJL平面PBC

(2)①由(1)易知BC_L平面PAC,

28PC即為直線尸8與平面PAC所成角.

BC_近

sinNBPC=

:.PB=R,則尸C=2

??%-*c￡=5%-ACB=萬(§(萬x1x2)x2)=].

②取AB的中點(diǎn)G,連接CG,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CG、CD、CP為x軸、y

軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),P(o,o,2),A(1,1,O),5(1,TO)，嗚'-別,

.,.C4=(1,1,0),CP=(O,0,2),CE=l-,--,ll

設(shè)〃?=(%,y,zj為平面PAC的法向量，貝U〃?-C4=%+y=0,”CP=2ZI=0,得4=0,

取%=1,X=T,得加=(1,一1,0)

設(shè)〃=(&,y2，Z2)平面ACE的法向量，則〃-C4=^+y2=0，n-CE=^x2-^y2+z2^0,

取x?=l,y2=-1,z2=-1,得〃

lxl+(-l)x(-l)+0x(-l)76

cos<m,n>==

6?拒一3

所求二面角為銳角，二面角P-AC-E的余弦值為9.

20.社會生活日新月異，看紙質(zhì)書的人越來越少，更多的年輕人(35歲以下)喜歡

閱讀電子書籍，他們認(rèn)為電子書不僅攜帶方便，而且可以隨時隨地閱讀，而年長者

(35歲以上)更喜歡閱讀紙質(zhì)書.現(xiàn)在某書店隨機(jī)抽取4()名顧客進(jìn)行調(diào)查，得到了

如下列聯(lián)表:

年長者年輕人總計

喜歡閱讀電子書1620

喜歡閱讀紙質(zhì)書8

總計40

⑴請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡閱讀電子書與年

齡有關(guān)；

(2)若在年輕人中按照分層抽樣的方法抽取了7人，為進(jìn)一步了解情況，再從抽取的

7人中隨機(jī)抽取4人，求抽到喜歡閱讀電子書的年輕人人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：舞馬其中

0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

【答案】⑴列聯(lián)表答案見解析，沒有90%的把握認(rèn)為喜歡閱讀電子書與年齡有關(guān)

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為今

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，得出2x2的列聯(lián)表，求得尸引.905,結(jié)合附表，即可求解；

(2)由題意得到隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4,求得相應(yīng)的概率，列

出分布列，利用期望的公式求得期望值.

⑴根據(jù)題意，可得如下的2x2的列聯(lián)表：

年長者年輕人總計

電子書41620

紙質(zhì)書81220

總計122840

則片=也七處竺“9。5<2.7。6

12x28x20x20

所以沒有90%的把握認(rèn)為喜歡閱讀電子書與年齡有關(guān).

（2）按照分層抽樣的方法在年輕人中抽取7名，

則抽到喜歡閱讀電子書的年輕人數(shù)為4名，喜歡閱讀紙質(zhì)書的年輕人數(shù)為3名,

所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為I,2,3,4,

可得P（X=1）=警總；尸（x=2）=警卷；

P（X=3）=^^=C；P（X=4）=g」，

所以X的分布列為

X1234

418121

P35353535

則期望為后”)=1*奈+2*^|+3*||+4**=4

21.已知雙曲線c：（?>0,b>0）實(shí)軸端點(diǎn)分別為Aja。），4（。，0），

右焦點(diǎn)為F,離心率為2,過A點(diǎn)且斜率1的直線/與雙曲線C交于另一點(diǎn)B,已知

△AB尸的面積為

⑴求雙曲線的方程；

⑵若過e的直線/'與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，試探究直線A"與直線&N的交點(diǎn)。

是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由.

2I

【答案】⑴⑵在定直線方程x上

【解析】

【分析】

（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，可得點(diǎn)8,進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求出

a，b，c的值；（2）分直線斜率和不存在兩種情況討論，求出兩直線交點(diǎn)，代入化簡

即可求解.

y=x+a）

⑴設(shè)直線/的方程為y=x+a,聯(lián)立Jy2得〉=華紇，

i

又6=￡=2,C2=a2+b2,代入上式得y=3a,即為=3%

in、,2

=K(〃+C)，3"=5，解得a=l,?二〃=6，c=2，???雙曲線的方程為元之一=1.

/Nj

(2)當(dāng)直線0點(diǎn)的斜率不存在時，“(2,3),N(2,-3),直線4M的方程為y=x+l,直

線4N的方程為y=-3x+3,聯(lián)立直線\M與直線&N的方程可得的嗚目，

當(dāng)直線/'的斜率存在時，設(shè)直線/'的方程為y=%(x-2),M(%，x),"(々，為)，

y=A(x-2)22

22

聯(lián)立“0y得(3-左~卜2+4Kx-44-3=。，x]+x2=—,=4.+3,

x—1K—3k—3

3

...直線AM的方程為y=Tj(x+i),直線4N的方程為、=上(》-1),

玉十Ix2~~1

聯(lián)立直線A"與直線AN的方程可得:

言二宗甘’兩邊平方得員（3+1「

力（七-1）2'

又”(5,乂)，N^,%)滿足彳2-《=1,

.』a+i『3（3-i）a+i）-（々+1）（占+1）/w+a+wHi

yf（-^2—O-3（X：—1）（電—1）-（芭―1）（“2-1）-（X]+Xj）+1

4公+34匕

40+后三+14公+3+4/+&2-3

=9,

4^+34k24k2+3-4k2+k2-3

-------Z——+1

k2-3k2-3

X+1|=9,：.x=^,或x=2,（舍去）

x-1

綜上，Q在定直線上，且定直線方程為x=g

22.已知函數(shù)/?（x）=x-alnx（qeR）.

⑴若力(力有兩個零點(diǎn)，。的取值范圍;